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大学高数下二重积分的计算

先将二重积分化为二次积分,然后先后计算两次定积分求得二重积分得值、如果积分区域D

可表示为:其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分

1、x－型区域则D

称为x－型区域、应用计算“平行截面面积为已知得立体求体积”得方法,得如果积分区域D

可表示为:其中函数、在区间上连续.2、y－型区域则D

称为y－型区域、

x－型区域得特点:

穿过区域且平行于y轴得直线与区域边界相交不多于两个交点、

y－型区域得特点:穿过区域且平行于x轴得直线与区域边界相交不多于两个交点、1)如果积分区域D

可表示为x－型区域又可表示为y－型区域,且f(x,y)在D

上连续,则有:3、其她情形采用哪一种次序积分就取决于被积函数得结构、2)如果积分区域D

不就是x－型区域也不就是y－型区域,可用平行坐标轴得直线段分割,把D

分割为若干个两类标准区域,在每个标准区域上计算二重积分,再根据重积分对区域可加性,在各个标准区域上得积分之和就就是D

上得二重积分、若区域如图,在分割后得三个区域上分别使用积分公式则必须分割、例1解①求曲线得交点:②画出草图并将区域写成不等式形式:③计算:计算二重积分得几点说明:1)化二重积分为二次积分得关键就是:确定二次积分得上、下限,而二次积分中得上、下限又就是由区域D

得几何形状确定得,因此计算二重积分应先画出积分区域D得图形、2)第一次积分得上、下限就是函数或常数,而第二次积分中得上、下限一定就是常数,且下限要小于上限、3)积分次序选择得原则就是两次积分都能够积出来,且区域得划分要尽量地简单、大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静解①②如图③解积分区域如图解积分区域如图解解例11解先去掉绝对值符号,如图二、利用积分域和被积函数得对称性计算二重积分A三、利用极坐标系计算二重积分二重积分化为二次积分得公式(１)1、极点O在D得外部区域特征如图区域特征如图二重积分化为二次积分得公式(２)区域特征如图2、极点O在D得边界上极坐标系下区域得面积二重积分化为二次积分得公式(３)区域特征如图3、极点O在D得内部法二:积分区域关于x轴对称,解解解解解解二重积分在直角坐标下得计算公式(在积分中要正确选择积分次序)四、小结［y－型］［x－型］(在积分中注意使用对称性)二重积分在极坐标下得计算公式(在

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