成对数据的统计分析

9.2成对数据的统计分析2015—2024年高考全国卷考情一览表

考点2015~2019年2020年2021年2022年2023年2024年合计全国卷地方卷全国卷地方卷全国卷地方卷全国卷地方卷全国卷地方卷全国卷地方卷全国卷地方卷112.变量的相关性、一元线性回归模型33002000001366113.独立性检验30101110200081命题分析与备考建议(1)命题热度:本专题是历年高考命题常考的内容,属于中低档题目,三种题型都有考查,分值约为4~5分或12分.(2)考查方向:一是一元线性回归模型的分析,以社会实际生产生活问题为情境的回归直线方程的求解与应用;二是独立性检验,实际生活背景下的两类变量之间的相关性检验.上述两个方面多与概率问题相结合,综合进行考查.(3)明智备考:一是要准确提取具体情境下的相关数据;二是要区分统计数据与估计数据;三是要灵活利用相关公式求解回归系数或卡方.(4)主编提示:命题的兴趣点在于高科技、五育以及社会热点问题情境下的一元回归分析模型与独立性检验,考查数据分析、数学运算、逻辑推理的核心素养,高三备考,抓住两点,一是准确提取数据,二是注意计算技巧——先化简后运算,此类问题便可迎刃而解!!!变量的相关性、一元线性回归模型

考点112考点113考点112考点113考点112考点1133.(2020·全国1,理5文5,5分,难度★★)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和x(单位:℃)的关系,在20个不同的件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:由此散点图,在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和x的回归方程类型的是(

D

)A.y=a+bx B.y=a+bx2

C.y=a+bex D.y=a+blnx解析

结合题中散点图,由图像的大致走向判断,此函数应该是对数函数模型,故应该选用的函数模型为y=a+bln

x.

4.(2017·山东,理5,5分,难度★★★)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归的脚长为24,据此估计其身高为(

C

)A.160 B.163

C.166

D.170考点112考点1135.(2015·湖北,文4,5分,难度★★)已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是(

A

)A.x与y负相关,x与z负相关B.x与y正相关,x与z正相关C.x与y正相关,x与z负相关D.x与y负相关,x与z正相关解析由y=-0.1x+1知y与x负相关,又因为y与z正相关,故z与x负相关.考点112考点113考点112考点113考点112考点113考点112考点113考点112考点113考点112考点113考点112考点1138.(2022·全国乙,理19文19,12分,难度★★★★)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:考点112考点113(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.考点112考点113考点112考点1139.(2020·全国2,理18文18,12分,难度★★★★)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加,为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积考点112考点113(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法.并说明理由.考点112考点113(3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分层抽样.理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.考点112考点11310.(2018·全国2,理18文18,12分,难度★★★)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型考点112考点113②:y=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.解(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为考点112考点113(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下:(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用20102010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.考点112考点113(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.(以上给出了2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)考点112考点11311.(2016·全国3,理18文18,12分,难度★★★★)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.注:年份代码1—7分别对应年份2008—2014.(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.考点112考点113考点112考点113解(1)由折线图中数据和附注中参考数据得

因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.考点112考点113所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨.考点112考点11312.(2015·重庆,文17,13分,难度★★★★)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.考点112考点113解(1)列表计算如下:考点112考点113(2)将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为考点112考点113考点112考点113独立性检验

3.(2022·全国甲,文17,12分,难度★★★)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营,为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表:(1)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?考点112考点113考点112考点113(2)根据已知数据得到列联表如下:考点112考点1134.(2021·全国甲,理17文17,12分,难度★★★)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差?P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828考点112考点113考点112考点113

5.(2020·全国3,理18文18,12分,难度★★★)某学生兴趣小组随机调某省市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):

锻炼人次空气质量等级

[0,200](200,400](400,600]1(优)216252(良)510123(轻度污染)6784(中度污染)720(1)分别某省市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);考点112考点113(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人某省市当天的空气质量有关?

人次≤400人次>400空气质量好

空气质量不好

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828考点112考点113解

(1)由所给数某省市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表:空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为

(3)根据所给数据,可得2×2列联表:

人次≤400人次>400空气质量好3337空气质量不好228由于5.820>3.841,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人某省市当天的空气质量有关.考点112考点1136.(2020·山东,19,12分,难度★★★★)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部某省市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:μg/m3),得下表:SO2PM2.5

[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估计事某省市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;考点112考点113(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表:

SO2PM2.5

[0,150](150,475][0,75]

(75,115]

(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握某省市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关?P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828考点112考点113解

(1)根据抽查数某省市100天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的天数为32+18+6+8=64,因一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的概率的估计值为(2)根据抽查数据,可得2×2列联表:SO2PM2.5

[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010(3)根据(2)的列联表得K2的观测值k=≈7.484.由于7.484>6.635,故有99%的把握某省市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.考点112考点1137.(2019·全国1,文17,12分,难度★★★)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:满意不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?考点112考点113考点112考点1138.(2017·全国2,理18,12分,难度★★★★)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:旧养殖法

新养殖法(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;考点112考点113(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).考点112考点113解(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50

kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50

kg”.由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).旧养殖法的箱产量低于50

kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50

kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66.故P(C)的估计值为0.66.因此,事件A的概率估计值为0.62×0.66=0.409

2.考点112考点113(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表

由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50

kg的直方图面积为(0.004+0.