数列极限基础专项测试试卷

数列极限基础专项测试试卷考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：高一/数学班

数列极限基础专项测试试卷

一、选择题

1.下列数列中，收敛的是

A.{(-1)^n}

B.{n^2}

C.{1/n}

D.{n}

2.若数列{a_n}收敛于A，数列{b_n}发散，则数列{a_n+b_n}一定

A.收敛

B.发散

C.可能收敛也可能发散

D.无法确定

3.数列{a_n}的定义为a_1=1，a_n=a_(n-1)+2，则a_5的值为

A.5

B.7

C.9

D.11

4.数列{a_n}的定义为a_n=(-1)^n*(n/2)，则该数列的极限为

A.0

B.1/2

C.-1/2

D.不存在

5.若数列{a_n}的通项公式为a_n=1/n，则当n趋于无穷大时，a_n的极限为

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

6.数列{a_n}的定义为a_n=n/(n+1)，则该数列的极限为

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

7.若数列{a_n}收敛于A，数列{b_n}收敛于B，则数列{a_n*b_n}的极限为

A.A+B

B.A*B

C.A/B

D.不存在

8.数列{a_n}的定义为a_n=2^n，则该数列的极限为

A.0

B.1

C.2

D.不存在

9.若数列{a_n}的通项公式为a_n=(-1)^n，则当n趋于无穷大时，a_n的极限为

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

10.数列{a_n}的定义为a_n=1/(n^2)，则该数列的极限为

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

二、填空题

1.数列{a_n}的定义为a_1=2，a_n=3a_(n-1)-1，则a_4的值为

2.若数列{a_n}收敛于3，则数列{2a_n-1}的极限为

3.数列{a_n}的定义为a_n=n/(2n+1)，则当n趋于无穷大时，a_n的极限为

4.若数列{a_n}的通项公式为a_n=1/(n+1)，则当n趋于无穷大时，a_n的极限为

5.数列{a_n}的定义为a_n=(-1)^n*(n/3)，则该数列的极限为

6.若数列{a_n}收敛于2，数列{b_n}收敛于0，则数列{a_n/b_n}的极限为

7.数列{a_n}的定义为a_n=3^n，则该数列的极限为

8.若数列{a_n}的通项公式为a_n=(-1)^n*(1/n)，则当n趋于无穷大时，a_n的极限为

9.数列{a_n}的定义为a_n=n^2/(n^2+1)，则当n趋于无穷大时，a_n的极限为

10.若数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n/3^n，则当n趋于无穷大时，a_n的极限为

三、多选题

1.下列数列中，收敛的是

A.{1/n}

B.{(-1)^n}

C.{n^2}

D.{1/(n^2)}

2.若数列{a_n}收敛于A，数列{b_n}收敛于B，则下列结论正确的是

A.数列{a_n+b_n}收敛于A+B

B.数列{a_n-b_n}收敛于A-B

C.数列{a_n*b_n}收敛于A*B

D.数列{a_n/b_n}收敛于A/B（B≠0）

3.数列{a_n}的定义为a_n=n/(n+1)，则下列说法正确的是

A.该数列收敛

B.该数列的极限为1

C.该数列的极限为0

D.该数列的极限不存在

4.若数列{a_n}的通项公式为a_n=1/(n+1)，则下列说法正确的是

A.该数列收敛

B.该数列的极限为0

C.该数列的极限为1

D.该数列的极限不存在

5.数列{a_n}的定义为a_n=(-1)^n*(1/n)，则下列说法正确的是

A.该数列收敛

B.该数列的极限为0

C.该数列的极限为1

D.该数列的极限不存在

四、判断题

1.数列{a_n}收敛于A，则对于任意ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|a_n-A|<ε。

2.数列{a_n}的通项公式为a_n=1/n，则该数列收敛。

3.若数列{a_n}收敛，数列{b_n}发散，则数列{a_n*b_n}一定发散。

4.数列{a_n}的定义为a_n=(-1)^n，则该数列收敛。

5.数列{a_n}的定义为a_n=n^2，则当n趋于无穷大时，a_n的极限为无穷大。

6.若数列{a_n}收敛于A，数列{b_n}收敛于B，则数列{a_n+b_n}收敛于A+B。

7.数列{a_n}的定义为a_n=1/(n^2)，则该数列收敛。

8.若数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n，则当n趋于无穷大时，a_n的极限为0。

9.数列{a_n}的定义为a_n=(-1)^n*(n/2)，则该数列收敛。

10.数列{a_n}的定义为a_n=n/(n+1)，则当n趋于无穷大时，a_n的极限为1。

五、问答题

1.举例说明一个收敛的数列，并写出其通项公式。

2.解释什么是数列的极限，并给出一个数列极限不存在的例子。

3.若数列{a_n}和数列{b_n}都收敛，讨论数列{a_n*b_n}的收敛性。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C

解析：数列{1/n}当n趋于无穷大时，1/n趋于0，故收敛。

2.B

解析：收敛数列加发散数列必发散，例如1/n收敛，1/n+1发散。

3.D

解析：a_1=1，a_2=a_1+2=3，a_3=a_2+2=5，a_4=a_3+2=7，a_5=a_4+2=9。

4.A

解析：当n趋于无穷大时，(-1)^n交替取-1和1，n/2趋于无穷大，故a_n在-无穷大到无穷大之间震荡，极限为0。

5.A

解析：1/n当n趋于无穷大时，1/n趋于0，故收敛于0。

6.B

解析：n/(n+1)=1-1/(n+1)，当n趋于无穷大时，1/(n+1)趋于0，故收敛于1。

7.B

解析：根据极限的乘法法则，收敛数列的乘积仍收敛，极限为A*B。

8.D

解析：2^n当n趋于无穷大时，2^n趋于无穷大，故发散。

9.D

解析：(-1)^n当n趋于无穷大时，在-1和1之间交替，故极限不存在。

10.A

解析：1/(n^2)当n趋于无穷大时，1/(n^2)趋于0，故收敛于0。

二、填空题答案及解析

1.26

解析：a_1=2，a_2=3*2-1=5，a_3=3*5-1=14，a_4=3*14-1=41。

2.5

解析：根据极限的线性法则，2*a_n-1趋于2*3-1=5。

3.1/2

解析：n/(2n+1)=1/(2+1/n)，当n趋于无穷大时，1/n趋于0，故极限为1/2。

4.0

解析：1/(n+1)当n趋于无穷大时，1/(n+1)趋于0，故极限为0。

5.不存在

解析：(-1)^n*(n/3)当n趋于无穷大时，在-n/3和n/3之间交替，故极限不存在。

6.不存在

解析：a_n/b_n=2/0，分母趋于0，故极限不存在。

7.不存在

解析：3^n当n趋于无穷大时，3^n趋于无穷大，故发散。

8.0

解析：(-1)^n*(1/n)当n趋于无穷大时，1/n趋于0，故极限为0。

9.1

解析：n^2/(n^2+1)=1-1/(n^2+1)，当n趋于无穷大时，1/(n^2+1)趋于0，故极限为1。

10.0

解析：2^n/3^n=(2/3)^n，0<2/3<1，故(2/3)^n趋于0。

三、多选题答案及解析

1.A、D

解析：1/n当n趋于无穷大时，1/n趋于0，故收敛；1/(n^2)当n趋于无穷大时，1/(n^2)趋于0，故收敛。-1^n在-1和1之间交替，故发散；n^2趋于无穷大，故发散。

2.A、B、C、D

解析：根据极限的加法、减法、乘法、除法法则，均正确。

3.A、B

解析：n/(n+1)=1-1/(n+1)，当n趋于无穷大时，1/(n+1)趋于0，故收敛于1。

4.A、B

解析：1/(n+1)当n趋于无穷大时，1/(n+1)趋于0，故收敛于0。

5.A、B

解析：(-1)^n*(1/n)当n趋于无穷大时，1/n趋于0，故极限为0。

四、判断题答案及解析

1.正确

解析：这是数列极限的ε-N定义的精确表述。

2.正确

解析：1/n当n趋于无穷大时，1/n趋于0，故收敛于0。

3.错误

解析：例如a_n=1/n收敛，b_n=(-1)^n发散，则a_n*b_n=(-1)^n/n发散；但若a_n=1/n收敛，b_n=n发散，则a_n*b_n=-1发散；若a_n=1/n收敛，b_n=1发散，则a_n*b_n=1/n收敛。故不一定发散。

4.错误

解析：(-1)^n在-1和1之间交替，故极限不存在。

5.正确

解析：n^2当n趋于无穷大时，n^2趋于无穷大。

6.正确

解析：根据极限的加法法则，收敛数列的加法仍收敛，极限为A+B。

7.正确

解析：1/(n^2)当n趋于无穷大时，1/(n^2)趋于0，故收敛于0。

8.错误

解析：2^n当n趋于无穷大时，2^n趋于无穷大，故发散。

9.错误

解析：(-1)^n*(n/2)当n趋于无穷大时，n/2趋于无穷大，故发散。

10.正确

解析：n/(n+1)=1-1/(n+1)，当n趋于无穷大时，1/(n+1)趋于0，故收敛于1。

五、问答题答案及解析

1.举例说明一个收敛的数列，并写出其通项公式。

解：数列{1/n}是一个收敛的数列，其通项公式为a_n=1/n。

2.解释什么是数列的极限，并给出一个数列极限不存在的例子。

解：数列{a_n}的极限A是指，对于任意ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|a_n-A|<ε。例如数列{(-1)^n}的极限不存在，因为当n趋于无穷大时，数列在-1和1之间交替。

3.若数列{a_n}和数列{b_n}都收敛，讨论数列{a_n*b_n}的收