函数理论闭卷综合考核卷

函数理论闭卷综合考核卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高一（1）班

试标题是:“函数理论闭卷综合考核卷”

一、选择题

1.函数f(x)=ax^2+bx+c的图像是一条抛物线，以下说法正确的是（）

A.当a>0时，抛物线开口向上

B.当a<0时，抛物线开口向下

C.b决定了抛物线的对称轴位置

D.c决定了抛物线的顶点纵坐标

E.抛物线的对称轴方程为x=-b/2a

F.抛物线的顶点坐标为(-b/2a,c)

G.抛物线与x轴的交点个数由判别式Δ决定

H.抛物线与y轴的交点为(0,c)

I.抛物线的顶点是抛物线上的最高点或最低点

J.抛物线关于其对称轴对称

2.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是（）

A.0

B.1

C.2

D.-1

E.|0-1|

F.|2-1|

G.1/2

H.3/2

I.-2

J.-3

3.函数f(x)=2^x在实数域R上的性质包括（）

A.定义域为R

B.值域为(0,+∞)

C.是增函数

D.是奇函数

E.图像经过点(0,1)

F.图像经过点(1,2)

G.图像经过点(-1,1/2)

H.图像关于原点对称

I.图像在y轴右侧上升

J.图像在y轴左侧下降

4.函数f(x)=log_2(x+1)的定义域是（）

A.(-∞,-1)

B.(-1,+∞)

C.[-1,+∞)

D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

E.(-∞,+∞)

F.(-1,+∞)

G.[-1,+∞)

H.(-∞,-1)∪(1,+∞)

I.[0,+∞)

J.(-∞,0)∪(0,+∞)

5.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的值域是（）

A.[-√2,√2]

B.[-1,1]

C.[0,√2]

D.[-√2,0]

E.[-1,√2]

F.[-√2,1]

G.[-√2/2,√2/2]

H.[-1/2,1/2]

I.[-√3/2,√3/2]

J.[-π/2,π/2]

6.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的极值点是（）

A.-2

B.-1

C.0

D.1

E.2

F.-√3

G.√3

H.-1/2

I.1/2

J.-√2

7.函数f(x)=e^x在实数域R上的性质包括（）

A.定义域为R

B.值域为(0,+∞)

C.是增函数

D.是奇函数

E.图像经过点(0,1)

F.图像经过点(1,e)

G.图像经过点(-1,1/e)

H.图像关于原点对称

I.图像在y轴右侧上升

J.图像在y轴左侧下降

8.函数f(x)=tan(x)在区间(-π/2,π/2)上的性质包括（）

A.定义域为(-π/2,π/2)

B.值域为R

C.是奇函数

D.是增函数

E.图像经过点(0,0)

F.图像经过点(π/4,1)

G.图像经过点(-π/4,-1)

H.图像关于原点对称

I.图像有垂直渐近线

J.图像有水平渐近线

9.函数f(x)=arcsin(x)在区间[-1,1]上的性质包括（）

A.定义域为[-1,1]

B.值域为[-π/2,π/2]

C.是奇函数

D.是增函数

E.图像经过点(0,0)

F.图像经过点(1,π/2)

G.图像经过点(-1,-π/2)

H.图像关于原点对称

I.图像有垂直渐近线

J.图像有水平渐近线

10.函数f(x)=arctan(x)在区间(-∞,+∞)上的性质包括（）

A.定义域为(-∞,+∞)

B.值域为(-π/2,π/2)

C.是奇函数

D.是增函数

E.图像经过点(0,0)

F.图像经过点(1,π/4)

G.图像经过点(-1,-π/4)

H.图像关于原点对称

I.图像有垂直渐近线

J.图像有水平渐近线

二、填空题

1.函数f(x)=x^2-4x+3的图像的顶点坐标是________，对称轴方程是________，与x轴的交点坐标是________，与y轴的交点坐标是________。

2.函数f(x)=|x|在区间[-2,2]上的最大值是________，最小值是________，图像关于________对称。

3.函数f(x)=2^x-1在区间[0,1]上的取值范围是________，当x=________时取得最大值________，当x=________时取得最小值________。

4.函数f(x)=log_3(x-1)的定义域是________，值域是________，当x=________时取得最小值________。

5.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是________，当x=________时取得最大值________，当x=________时取得最小值________。

6.函数f(x)=x^3-3x的导数f'(x)=________，驻点为________，极值点为________，极大值为________，极小值为________。

7.函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的平均值是________，函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的积分是________。

8.函数f(x)=tan(x)在区间(-π/3,π/3)上的不连续点是________，函数f(x)=tan(x)在区间(-π/3,π/3)上的积分是________。

9.函数f(x)=arcsin(x)在区间[-1,1]上的导数f'(x)=________，函数f(x)=arcsin(x)在区间[-1,1]上的积分是________。

10.函数f(x)=arctan(x)在区间(-∞,+∞)上的导数f'(x)=________，函数f(x)=arctan(x)在区间(-∞,+∞)上的积分是________。

三、多选题

1.函数f(x)=ax^2+bx+c的图像是一条抛物线，以下说法正确的有（）

A.当a>0时，抛物线开口向上

B.当a<0时，抛物线开口向下

C.b决定了抛物线的对称轴位置

D.c决定了抛物线的顶点纵坐标

E.抛物线的对称轴方程为x=-b/2a

F.抛物线的顶点坐标为(-b/2a,c)

G.抛物线与x轴的交点个数由判别式Δ决定

H.抛物线与y轴的交点为(0,c)

I.抛物线的顶点是抛物线上的最高点或最低点

J.抛物线关于其对称轴对称

2.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是（）

A.0

B.1

C.2

D.-1

E.|0-1|

F.|2-1|

G.1/2

H.3/2

I.-2

J.-3

3.函数f(x)=2^x在实数域R上的性质包括（）

A.定义域为R

B.值域为(0,+∞)

C.是增函数

D.是奇函数

E.图像经过点(0,1)

F.图像经过点(1,2)

G.图像经过点(-1,1/2)

H.图像关于原点对称

I.图像在y轴右侧上升

J.图像在y轴左侧下降

4.函数f(x)=log_2(x+1)的定义域是（）

A.(-∞,-1)

B.(-1,+∞)

C.[-1,+∞)

D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

E.(-∞,+∞)

F.(-1,+∞)

G.[-1,+∞)

H.(-∞,-1)∪(1,+∞)

I.[0,+∞)

J.(-∞,0)∪(0,+∞)

5.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的值域是（）

A.[-√2,√2]

B.[-1,1]

C.[0,√2]

D.[-√2,0]

E.[-1,√2]

F.[-√2,1]

G.[-√2/2,√2/2]

H.[-1/2,1/2]

I.[-√3/2,√3/2]

J.[-π/2,π/2]

6.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的极值点是（）

A.-2

B.-1

C.0

D.1

E.2

F.-√3

G.√3

H.-1/2

I.1/2

J.-√2

7.函数f(x)=e^x在实数域R上的性质包括（）

A.定义域为R

B.值域为(0,+∞)

C.是增函数

D.是奇函数

E.图像经过点(0,1)

F.图像经过点(1,e)

G.图像经过点(-1,1/e)

H.图像关于原点对称

I.图像在y轴右侧上升

J.图像在y轴左侧下降

8.函数f(x)=tan(x)在区间(-π/2,π/2)上的性质包括（）

A.定义域为(-π/2,π/2)

B.值域为R

C.是奇函数

D.是增函数

E.图像经过点(0,0)

F.图像经过点(π/4,1)

G.图像经过点(-π/4,-1)

H.图像关于原点对称

I.图像有垂直渐近线

J.图像有水平渐近线

9.函数f(x)=arcsin(x)在区间[-1,1]上的性质包括（）

A.定义域为[-1,1]

B.值域为[-π/2,π/2]

C.是奇函数

D.是增函数

E.图像经过点(0,0)

F.图像经过点(1,π/2)

G.图像经过点(-1,-π/2)

H.图像关于原点对称

I.图像有垂直渐近线

J.图像有水平渐近线

10.函数f(x)=arctan(x)在区间(-∞,+∞)上的性质包括（）

A.定义域为(-∞,+∞)

B.值域为(-π/2,π/2)

C.是奇函数

D.是增函数

E.图像经过点(0,0)

F.图像经过点(1,π/4)

G.图像经过点(-1,-π/4)

H.图像关于原点对称

I.图像有垂直渐近线

J.图像有水平渐近线

四、判断题

1.函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的最大值是1，最小值是0。

2.函数f(x)=sin(x)是周期函数，其最小正周期是2π。

3.函数f(x)=log_a(x)（a>1）在其定义域内是增函数。

4.函数f(x)=e^x是指数函数，其图像经过点(0,1)。

5.函数f(x)=tan(x)在其定义域内是奇函数。

6.函数f(x)=arcsin(x)是其反函数，其值域为[-π/2,π/2]。

7.函数f(x)=arctan(x)是其反函数，其值域为(-π/2,π/2)。

8.函数f(x)=|x|是偶函数，其图像关于y轴对称。

9.函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上是增函数。

10.函数f(x)=1/x在其定义域内是奇函数。

五、问答题

1.求函数f(x)=x^2-4x+3的图像的顶点坐标、对称轴方程、与x轴的交点坐标以及与y轴的交点坐标。

2.求函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期，并分别求出其在x=0和x=π/4时的函数值。

3.求函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的平均值，并计算定积分∫[0,1]e^xdx。

试卷答案

一、选择题

1.ABCDEFGHJ

解析：抛物线f(x)=ax^2+bx+c的图像开口方向由a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下，故A、B正确；对称轴方程为x=-b/2a，故C正确；顶点纵坐标为f(-b/2a)=c-b^2/4a，故D错误；顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)，故F错误；与x轴交点个数由Δ=b^2-4ac决定，故G正确；与y轴交点为(0,c)，故H正确；顶点是抛物线的最高点或最低点，故I正确；抛物线关于对称轴对称，故J正确。

2.AB

解析：f(0)=|0-1|=1，f(1)=|1-1|=0，f(2)=|2-1|=1，故最小值为0，最大值为1。

3.ABCEGI

解析：定义域为R，故A正确；值域为(0,+∞)，故B正确；2^x是增函数，故C正确；2^x是指数函数，不是奇函数，故D错误；图像经过点(0,1)，故E正确；图像经过点(1,2)，故F正确；图像在y轴右侧上升，故I正确；图像在y轴左侧下降，故J错误。

4.C

解析：x+1>0，故x>-1，定义域为(-1,+∞)。

5.A

解析：sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，值域为[-√2,√2]。

6.CD

解析：f'(x)=3x^2-3，驻点为x=±1；极值点为x=-1,1；极大值为f(-1)=2，极小值为f(1)=-2。

7.ABCE

解析：定义域为R，故A正确；值域为(0,+∞)，故B正确；e^x是增函数，故C正确；图像经过点(0,1)，故E正确；图像关于原点对称，故D错误；图像在y轴右侧上升，故I正确；图像在y轴左侧下降，故J错误。

8.AB

解析：定义域为(-π/2,π/2)，值域为R。

9.AB

解析：f'(x)=1/√(1-x^2)，值域为[-1,1]。

10.AB

解析：定义域为(-∞,+∞)，值域为(-π/2,π/2)。

二、填空题

1.(2,-1),x=2,(1,0),(0,3)

解析：顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)=(2,-1)，对称轴方程为x=2，与x轴交点为解x^2-4x+3=0得x=1,3，故(1,0),(3,0)，与y轴交点为(0,3)。

2.2,0,y轴

解析：f(-2)=2，f(0)=1，f(1)=1，f(2)=2，故最大值为2，最小值为0，图像关于y轴对称。

3.[1,3],1,2^1-1=1,0,2^0-1=0

解析：f(0)=1，f(1)=2，故取值范围为[1,3]，最大值1，最小值0。

4.(1,+∞),R,0

解析：x-1>0，故x>1，定义域(1,+∞)，值域R，最小值为f(1+)=+∞，但最小值在定义域内为0。

5.2π,π/4+kπ,√2,π/4+kπ

解析：最小正周期为2π，最大值√2，最小值-√2，当x=π/4+kπ时取得最大值，当x=5π/4+kπ时取得最小值。

6.3x^2-3,-1,1,2,-2

解析：f'(x)=3x^2-3，驻点为x=±1，极值点为x=-1,1，极大值为f(-1)=2，极小值为f(1)=-2。

7.1/e,e-1

解析：平均值(1/e^1-1/e^0)/(1-0)=1/e，积分∫[0,1]e^xdx=e^x|_0^1=e-1。

8.π/6,-√3/3

解析：不连续点为x=π/2，积分∫[-π/6,π/6]tan(x)dx=ln|sec(x)|[-π/6,π/6]=ln|sec(π/6)|-ln|sec(-π/6)|=ln(2/√3)-ln(2/√3)=0。

9.1/√(1-x^2),π/2

解析：f'(x)=1/√(1-x^2)，积分∫[-1,1]arcsin(x)dx=xarcsin(x)|_(-1)^1-∫[-1,1]1/√(1-x^2)dx=π/2。

10.1/(1+x^2),π/4

解析：f'(x)=1/(1+x^2)，积分∫[-∞,+∞]arctan(x)dx=π/2。

三、多选题

1.ABCDEFGHJ

解析：同选择题第1题解析。

2.AB

解析：同选择题第2题解析。

3.ABCEGI

解析：同选择题第3题解析。

4.BC

解析：x+1>0，故x>-1，定义域(-1,+∞)。

5.A

解析：同选择题第5题解析。

6.CD

解析：同选择题第6题解析。

7.ABCEGI

解析：同选择题第7题解析。

8.ABCDE

解析：同选择题第8题解析。

9.ABCDE

解析：同选择题第9题解析。

10.ABCDE

解析：同选择题第10题解析。

四、判断题

1.正确

解析：f(-1)=1，f(0)=