高中数学理科重难点第1讲-函数的图象与性质

第1讲函数的图象与性质高考定位1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.真题感悟答案

D2.(2019·全国Ⅲ卷)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则(

)答案

C3.(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln2)＝8，则a＝________.解析依题意得，当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－e－ax)＝e－ax，所以f(ln2)＝e－aln2＝(eln2)－a＝2－a＝8.解得a＝－3.答案－31.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.(3)函数图象的对称性①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.考点整合2.函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.(2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x).②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0.③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.(3)周期性：①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数.②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数.③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数.易错提醒

错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接.热点一函数及其表示答案

(1)D

(2)D探究提高1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可.(2)抽象函数：根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解.2.对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.【训练1】(1)(2019·全国Ⅱ卷)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(

) A.e－x－1 B.e－x＋1 C.－e－x－1 D.－e－x＋1解析(1)依题意得，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.(2)令m＝f(a)，则f(m)＝4.当m>0时，由2m＝4，得m＝2.当m≤0时，由－m2－2m＋1＝4知方程无解.故f(a)＝2.①当a>0时，由2a＝2，得a＝1.②当a≤0时，由－a2－2a＋1＝2，解得a＝－1.综上可知a＝1或a＝－1.答案

(1)D

(2)±1所以f(x)是奇函数，排除选项C.答案

(1)B

(2)D(2)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，要使f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2.因此a≥4或a≤1.探究提高1.已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.(2)若当x∈(1，2)时，函数y＝(x－1)2的图象始终在函数y＝logax的图象的下方，则实数a的取值范围是________.(2)如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝(x－1)2和y＝logax的图象.答案

(1)B

(2)(1，2]热点三函数的性质与应用角度1函数的奇偶性、周期性则ln(1＋4x2－a2x2)＝0恒成立，因此a＝±2.(2)法一

∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(4＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且一个周期为4，又f(0)＝0，知f(2)＝f(0)，f(4)＝f(0)＝0，由f(1)＝2，知f(－1)＝－2，则f(3)＝f(－1)＝－2，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故选C.答案

(1)A

(2)C角度2函数的单调性与最值(2)由题意易知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，因为f(x)是R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|).所以f(c)>f(|a|)>f(b).又由题意知，f(a)＝f(|a|)，所以f(c)>f(a)>f(b).答案

(1)D

(2)C探究提高1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.2.函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.【训练3】(1)(2019·衡水调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋5)＝f(x－3)，如果当x∈[0，4)时，f(x)＝log2(x＋2)，则f(766)＝(

) A.－3 B.－3 C.－2

D.2 (2)(2019·合肥模拟)已知函数f(x)＝|ln(x－1)|，满足f(a)>f(4－a)，则实数a的取值范围是(

) A.(1，2) B.(2，3) C.(1，3) D.(2，4)解析

(1)由f(x＋5)＝f(x－3)，得f(x＋8)＝f(x).∴函数y＝f(x)是周期为8的函数.又函数f(x)是偶函数，且x∈[0，4)时，f(x)＝log2(x＋2)∴f(766)＝f(96×8－2)＝f(－2)＝f(2)＝log24＝2.故ln(－a2＋4a－3)<0，又1<a<3，解得1<a<2，当2≤a<3时，1<4－a≤2，若f(a)>f(4－a)，则ln(a－1)>－ln(3－a)，即ln(－a2＋4a－3)>0，又2≤a<3，解为空集.综上可知，a的取值范围是(1，2).答案

(1)D

(2)A3.三种作函数图象的基本思想方法 (1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图； (2)对函数解析式进行恒等变换，转化为已知方程对应的曲线； (3)通过研究函数的性质，明确函数图象的位置和形状.4.函数是中学数学的核心，函数思想是重要的思想方法，利用函数思想研究方程(不等式)才能抓住问题的本质，对于给定的函数若不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，数形结合直观求解.抓思维训练01勤于方法总结0203善于提炼观点复习成功的关键在于具体措施在：1.狠抓基础，在主干内容上下足功夫，重概念的生成2.重点突出，在知识交叉点上着重训练，重视试卷分析3.精准指导，在图形使用上反复强调，重结构式结论34关于尖子生培养的几点感悟关于尖子生培养的几点感悟尖子班不是全力去拼竞赛，而定位于竞赛、自主、高考三位一体的培养；数学提高班的学习是绿色的、健康的；这是一项思维挑战的学习：

创设具有挑战性的学习任务去引发学生的思维火花，激发思维碰撞，在高层次的思维训练中完善思维品质。

数学提高班的学习指向高阶思维学习！处理好测试选题与学生思考消化的关系，注重学生自主交流合作与展示，注重资源引进与高考研究！

高考是一种成熟、规范性的考试，在高考试卷中，容易题、中档题和难题((即综合度、难度较大的题))分别占30%、50%和20%左右，也就是说容易题及中等难度的题占高考数学总分数的80%，即120分左右。如果学生平时的模考和练习中的得分没有上120分，不是由于难题不会做导致的，更多的是压根就没把握好中等难度的题。因此“抓基础、抓常规、抓落实”应依然作为我们后期复习的首要任务。高考备考要从“小”做起，成也在小，败也在小！临场发挥与规范答题是决定尖子生的高度!主要变化：高考评价新体系高考内容改革新变化一核四层四翼的高考评价标准---高考命题新定调“一核”是总体框架，体现了高考核心功能；“四层”（考查目标）与“四翼”（考查要求）是“一核”的有机组成部分，共同构成了实现高考评价功能的理论体系。2021年高考命题的预测2019高考已经平稳过渡，延续了五年的总体要求并在创新上有较大的突破；难度把控趋于稳定，基本控制在0.55左右；充