函数的基本性质(复习)

函数的基本性质(复习)对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)这个区间上是增函数.【定义】区间D称为f(x)的一个递增区间。对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)这个区间上是减函数.区间D称为f(x)的一个递减区间。单调性的概念2.证明函数单调性的基本步骤.(1)取值．即设x1,x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2；(2)作差变形．即作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；(3)定号．确定差f(x1)－f(x2)的符号．(4)下结论，根据符号作出结论．即“取值——作差变形——定号——下结论”这四个步骤．3.函数奇偶性的定义.①奇函数：设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有

，则这函数叫做奇函数．②偶函数：设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有

，则个函数叫做偶函数．注意:1.奇函数或偶函数的定义域一定关于原点对称.2.奇函数的图象关于原点成中心对称图形.偶函数的图象关于y轴成轴对称图形.4.根据定义判断函数奇偶性的步骤.1.求解函数的定义域，并判断是否关于原点对称2.求f（-x）.3.判断f（-x）与f（x）,-f（x）之间的关系.若不具有奇偶性举反例.4.给出结论.二.小题小练：1.设偶函数f(x)为(0,+∞)上的减函数，则f(－2),

f(－π),

f(3)的大小顺序是

．记忆技巧：偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同.分析：二次函数的单调性问题需考虑对称轴和开口方向2.已知二次函数为偶函数，则f(x)在(－5，－2)上是单调

函数．解析：f(x)＝|x－a|的图象是以(a,0)为折点的折线，由图知a≥2.3.函数f(x)＝|x－a|在(－∞，2]上单调递减，则a的取值范围是

．0xy3-36.已知函数，常数a、b∈R，且f（4）=0，则f（-4）=

．分析：本题一个条件，a、b二个待定系数.无法求出解析式只有利用函数的性质来处理.5、已知f(x)是R上的奇函数，且f(-5)=5，则f(5)=________思维启迪：本题着重在于考查函数的奇偶性的性质与定义。7已知为奇函数，

求a,b题型分析题型一：定义证明单调性：例1、证明函数证：取值作差变形定号下结论例2.已知函数是偶函数，且在区间上是减函数，证明：函数在区间上是增函数。

证明：在内任取，且则定义证明单调性：练习.设，是上的偶函数。（1）求实数的值；（2）证明在是增函数。解：（1）是R上的偶函数恒成立练习设，是上的偶函数。（1）求实数的值；（2）证明在是增函数。定义证明单调性：（2）证明：在内任取，且

则例3.已知函数的定义域为，且满足下列条件：①是奇函数②在定义域上单调递减③求实数a的取值范围。不能忽视定义域！题型二：利用函数的奇偶性求参数的取值范围：本题考查函数单调性、奇偶性的综合应用，解决本题的关键是利用f(x)为奇函数将式子转化为:思维引导：由题意可得：本题考查函数单调性、奇偶性的综合应用，解决本题的关键是利用f(x)为奇函数将式子转化为:思维引导：巩固练习：思维引导：变式训练1：变式训练2：思维引导：1或-1解抽象不等式的基本思路：利用函数的单调性，去掉函数符号，将抽象不等式转化为具体不等式。其步骤为：1°为了利用单调性去函数符号，首先将不等式化为（或）的形式；2°依据函数的定义域及函数的单调性写出等价的具体不等式组；3°写出解集。〖规律总结〗1已知函数x∈[1,+∞).(1)当a=时,求f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.

思维启迪

第(1)问可先证明函数f(x)在[1,+∞)

上的单调性,然后利用函数的单调性求解，对于第

(2)问可采用转化为求函数f(x)在[1,+∞)上的最小值大于0的问题来解决.还可以使用分离参数法题型一函数单调性与最值思维启迪：求二次函数的最值需要有三看：开口方向，对称轴，区间当三者有一个不确定时，需讨论题型二抽象函数的单调性与奇偶性将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”,为此需将右边常数2看成某个变量的函数值.

思维启迪：函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，并且当x>0时，f(x)>0.

（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=1,解不等式思维启迪

问题(1)是抽象函数单调性的证明,所以要用单调性的定义.

问题(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”,为此需将右边常数3看成某个变量的函数值.变式训练：巩固练习：四.课后练习：1.设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=0.5，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（-5）等于

．2.判断函数f（x）=x(|x|+2)的奇偶性.并利用其对称性画出它的图像.3.已知奇函数f(x)在区间[a，b](0＜a＜b)上的最大值是3，则函数f(x)在区间[－b，－a]上最

值，该值是

．

4.已知（1）若a=-2,试证f(x)在（-∞,-2）内单调递增；（2）若a>0且f(x)在（1,+∞）内单调递减，求a的取值范围.0<a≤1课堂小结1奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，