2027届高三数学一轮复习课件：第八章　8.2　椭圆

第八章平面解析几何8.2椭圆知识清单考点清单目录CONTENTS知识清单知识点1椭圆的定义1.定义把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.2.条件集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.若a>c,则集合P为椭圆;若a=c,则集合P为线段;若a<c,则集合P为空集.知识点2椭圆的标准方程及几何性质

焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程

+

=1(a>b>0)

+

=1(a>b>0)图形

焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)长轴长轴为线段A1A2,|A1A2|=2a,a是长半轴长短轴短轴为线段B1B2,|B1B2|=2b,b是短半轴长焦距焦距为|F1F2|,|F1F2|=2c,c是半焦距范围|x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a离心率e=

=

(0<e<1)e越接近1,椭圆越扁平;e越接近0,椭圆就越接近于圆a,b,c的关系c2=a2-b2知识拓展

1.焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2的连线叫做椭

圆的焦半径,分别记作r1=|PF1|,r2=|PF2|.(1)焦半径公式:

+

=1(a>b>0),r1=a+ex0,r2=a-ex0;

+

=1(a>b>0),r1=a+ey0,r2=a-ey0.(2)焦半径中以长轴的一个端点为端点的焦半径最大值为(a+c),最小值为(a-c).2.焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,通径长为

.3.AB为椭圆

+

=1(a>b>0)的不垂直于x轴的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦的中点为M(x0,y0)(x0y0≠0),O为原点,则kOM·kAB=-

.4.过原点的直线交椭圆

+

=1(a>b>0)于A,B两点,P是椭圆上异于A,B的任一点,直线PA,PB的斜率均存在,则kPA·kPB=-

.即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=2,则点P的轨迹是椭圆.

()(2)方程

+

=1(m>0,n>0)不一定表示椭圆.()(3)已知椭圆

+

=1(a>b>0),参数

不能刻画椭圆的扁平程度,而

能刻画椭圆的扁平程度.

()(4)若方程(m+1)x2+(1-m)y2=1-m2表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是-1<m<0或0<

m<1.

()

✕

✕

√

✕

2.椭圆4x2+y2=16的长轴长为_________,离心率为_________,焦点坐标为______________.

(0,-2 ),(0,2 )

8

3.椭圆C:

+

=1的两个焦点分别为F1,F2,椭圆C上有一点P,则△PF1F2的周长为__________.

144.动点M(x,y)到定点F(4,0)的距离和到定直线l:x=

的距离的比值是常数

,则动点M的轨迹方程为_____________.

+ =1

考点清单考点1椭圆的定义和标准方程角度1求椭圆标准方程典例1

(2024届湖北武汉模拟,5)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直

于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=3,则椭圆C的标准方程为

()A.

+

=1

B.

+

=1C.

+x2=1

D.

+y2=1

B

解析

由对称性知|AF2|=

|AB|=

,又|F1F2|=2,则|AF1|=

=

=

,所以2a=|AF1|+|AF2|=4,则a=2,又c=1,则b=

=

,则椭圆的标准方程为

+

=1.故选B.小题速解由F1(-1,0),F2(1,0)是焦点知c=1,且焦点在x轴上,故排除A,C,D.故选B.方法总结求椭圆标准方程的方法1.定义法:根据椭圆的定义确定2a,2c,然后确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出椭圆的标

准方程.2.待定系数法:具体过程是先定位,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立

关于a,b的方程组,如果焦点位置不确定,那么要考虑是否有两解.有时为了解题方便,也

可把椭圆方程设成mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式,解题步骤如下:变式训练1.(关键元素变式)(2026届湖北武汉质检,4)已知椭圆C:

+

=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,离心率为

,过点F1作直线l(与y轴不重合)交椭圆C于M,N两点,△MNF2的周长为12,则椭圆C的标准方程是

()A.

+y2=1

B.

+x2=1C.

+

=1

D.

+

=1

D

解析△MNF2的周长为|MF2|+|MN|+|NF2|=|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|=4a=12,解得a=3.设椭圆C的半焦距为c,因为椭圆C的离心率为

,所以e=

=

,解得c=2.所以b=

=

=

.因此椭圆C的标准方程为

+

=1.故选D.角度2求焦点三角形相关问题典例2

(2024届湖南长沙雅礼中学月考,7)已知点O为坐标原点,椭圆

+

=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,设线段PF1的中点为M,且|OF2|=|OM|,则△PF1F2的面积为

()A.

B.

C.3

D.4

A

解析

解法一由题意可得a=3,b=

,c=

=2.如图,因为O,M分别是F1F2和PF1的中点,所以|PF2|=2|OM|=2|OF2|=2c=4,【利用三角形中

位线定理求|PF2|】则根据椭圆的定义,可得|PF1|=2a-|PF2|=2,又因为|F1F2|=2c=4,所以cos∠PF2F1=

=

=

,所以sin∠PF2F1=

=

,故△PF1F2的面积为

|PF2|·|F1F2|·sin∠PF2F1=

.故选A.解法二由解法一可知|PF2|=4,|F1F2|=4,|PF1|=2,所以

=

·|PF1|·

=

×2×

=

.故选A.技巧点拨焦点三角形中有关结论在椭圆

+

=1(a>b>0)中,以椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1,F2为顶点的△PF1F2叫做焦点三角形.设r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则(1)当r1=r2,即点P为短轴端点时,θ最大;(2)S=b2tan

=c|y0|,当|y0|=b,即点P为短轴端点时,S取到最大值,最大值为bc;(3)焦点三角形的周长为2a+2c;(4)若F1,F2为椭圆的两个焦点,弦AB过焦点F1,则△ABF2的周长为4a.变式训练2.(1)(关键元素变式)已知点F1,F2为椭圆

+

=1的左、右焦点,若点P为椭圆上一动点,则使得∠F1PF2=

的点P的个数为

()A.0

B.2

C.4

D.不确定(2)(关键元素变式)已知椭圆C:

+

=1的上顶点为A,左焦点为F1,线段AF1的中垂线与C交于M,N两点,则△AMN的周长为_________.

8

B

解析

(1)在椭圆

+

=1中,a=2,b=

,c=1,当点P为短轴端点时,∠F1PF2最大,【解题技巧:观察得a2=b2+c2,则可先求得∠F1PF2的最大值,再与已知角比较即可得解】此时sin

=

=

,则∠F1PF2=

,故使得∠F1PF2=

的点P有2个.(2)设椭圆的右焦点为F2,连接AF2,NF1,MF1,如图.依题意可得长半轴长a=2,半焦距c=1,

所以|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2,所以△AF1F2为等边三角形,则直线MN过F2,所以|AM|+|AN|+|MN|=|MF1|+|NF1|+|MF2|+|NF2|=(|MF1|+|MF2|)+(|NF1|+|NF2|)=2a+2a=4a=8,即△AMN的周长为8.角度3与椭圆有关的最值(范围)问题典例3

(数形结合求最值)(2024届安徽芜湖一中模拟,6)设F1,F2分别是椭圆

+

=1的左、右焦点,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最大值为()A.

B.

C.

D.6

B

解析由题意知a=3,b=2,|AF1|+|AF2|=2a=6,|BF1|+|BF2|=2a=6,

∴△ABF2的周长为|AF2|+|AB|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=12,∴当|AB|最小时,|AF2|+

|BF2|最大.当AB⊥x轴,即AB为通径时,|AB|最小,此时|AB|=

=

,∴|AF2|+|BF2|的最大值为12-

=

.故选B.方法总结

1.利用数形结合求最值(或范围):寻找图形中的几何元素、几何量之间的关

系求解.2.利用函数求最值(或范围):将问题转化为函数的最值(或范围)问题处理时,应注意椭圆

中x,y的取值范围.3.利用基本不等式求最值(或范围):利用|PF1|+|PF2|=2a(P为椭圆上一点)转化,然后利用

基本不等式求解.变式训练3.(1)(利用函数求范围)已知椭圆

+

=1的左顶点为A,右焦点为F,M是椭圆上任意一点,则

·

的取值范围为

()A.[-16,0]

B.[-8,0]

C.[0,8]

D.[0,16](2)(利用基本不等式求最值)已知F1,F2是椭圆C:

+

=1的两个焦点,点M在C上,则

+

的最小值为_________.

D

解析

(1)由题意知A(-4,0),F(2,0),设M(x0,y0),则

+

=1,

=(-4-x0,-y0),

=(2-x0,-y0),则

·

=(-4-x0,-y0)·(2-x0,-y0)=(x0-2)·(x0+4)+

=

+2x0-8+12-

=

+2x0+4=

(x0+4)2.因为-4≤x0≤4,所以0≤

·

≤16.故选D.(2)由题意,知a2=9,b2=4,则|MF1|+|MF2|=2a=6,不妨设|MF1|=m,|MF2|=n,则

+

=

(m+n)=

≥

×

=

,当且仅当|MF2|=2|MF1|=4时等号成立.故

+

的最小值为

.考点2椭圆的几何性质角度1求椭圆的离心率典例4

(2026届河北正定中学开学考,6)已知A,B,F分别是椭圆C:

+

=1(a>b>0)的右顶点、上顶点和右焦点,若过A,B,F三点的圆恰与y轴相切,则C的离心率为

()A.

B.

C.

D.

B

解析由已知可得A(a,0),B(0,b),F(c,0),

线段AF的垂直平分线的方程为x=

,因为过A,B,F三点的圆恰与y轴相切,所以圆心坐标为

,圆的半径为

,因此经过A,B,F三点的圆的方程为

+(y-b)2=

,又A(a,0)在圆上,所以

+(0-b)2=

,整理得b2=ac,所以a2-c2=ac,所以c2+ac-a2=0,即e2+e-1=0,由0<e<1,解得e=

.故选B.方法总结求椭圆离心率的两种方法1.直接法:若已知a,c可直接利用e=

求解;若已知a,b或b,c可借助a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=

求解;若已知a,b的关系可利用e=

求解.2.方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助a2=b2+c2,将关系式转

化为关于a,c的方程,再将方程两边同时除以a的最高次幂,得到关于e的方程,即可求得e

的值.注意:在解关于离心率e的二次方程时,要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍.变式训练4.(1)(直接法)(2025届河北承德一中开学考,5)已知椭圆T:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,T上一点A满足|AF2|=2b,若AF2⊥AF1,则T

的离心率为

()A.

B.

C.

D.

(2)(参数方程法)(2025届湖南岳阳汨罗中学开学考,7)如图,A,B是椭圆C:

+

=1(a>b>0)的左、右顶点,P是☉O:x2+y2=a2上不同于A,B的动点,线段PA与椭圆C交于点Q,若

tan∠PBA=3tan∠QBA,则椭圆的离心率为

()

D

D

A.

B.

C.

D.

解析

(1)由题意得|AF1|=2a-2b,因为在△AF1F2中,AF2⊥AF1,则|AF2|2+|AF1|2=|F1F2|2,即4b2+4(a-b)2=4c2=4(a2-b2),整理得

=

,所以e=

=

=

.故选D.(2)由题意知∠APB=90°.设Q(acosθ,bsinθ),由对称性,不妨设θ∈(0,π),则tan∠PAB=tan

∠QAB=

,tan∠QBA=

,两式相乘得tan∠PAB·tan∠QBA=

,①因为∠APB=90°,所以∠PAB+∠PBA=90°,所以tan∠PAB·tan∠PBA=1,②

得

=

=

,故e=

=

,故选D.角度2求离心率的最值(范围)典例5

(2026届江苏如皋中学阶段测试,7)已知椭圆C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上,若离心率e=

,则椭圆C的离心率的取值范围为

()A.(0,

-1)

B.

C.

D.[

-1,1)

D解析因为e=

,所以|PF1|=e|PF2|,由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,解得|PF2|=

,因为a-c≤|PF2|≤a+c,所以a-c≤

≤a+c,不等式同除以a得1-e≤

≤1+e,解得e≥

-1,因为0<e<1,所以

-1≤e<1,因此离心率e的取值范围是[

-1,1),故选D.解题技巧求椭圆离心率范围的方法1.根据条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为关于a,c的齐次式,然后不等式两

边分别除以a的最高次