2027届高三数学一轮复习课件：第八章　高考热点11　圆锥曲线中的最值与范围问题

第八章平面解析几何高考热点11

圆锥曲线中的最值与

范围问题类型1圆锥曲线中的最值问题类型2圆锥曲线中的范围问题目录CONTENTS类型1圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中常见的最值问题的解法1.代数法:把问题利用代数方法表示为某个(些)变量(如直线的斜率、截距、点的横(纵)

坐标等)的函数,然后通过变形,利用函数方法或基本不等式法等进行求解.2.几何法:利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解.典例1

(2020新高考Ⅱ,21,12分)已知椭圆C:

+

=1(a>b>0)过点M(2,3),点A为其左顶点,且AM的斜率为

.(1)求C的方程;(2)点N为椭圆上任意一点,求△AMN的面积的最大值.解析

(1)由题意可知直线AM的方程为y-3=

(x-2),即x-2y=-4,当y=0时,解得x=-4,所以a=4,由椭圆C:

+

=1(a>b>0)过点M(2,3),可得

+

=1,解得b2=12,所以C的方程为

+

=1.(2)设与直线AM平行的直线方程为x-2y=m(m≠-4),当直线与椭圆相切时,与AM距离比较

远的直线与椭圆的切点为N,此时△AMN的面积取得最大值.

联立

消去x得16y2+12my+3m2-48=0,所以Δ=144m2-4×16(3m2-48)=0,即m2=64,解得m=±8,与AM距离比较远的直线方程为x-2y=8,两平行线(直线AM与直线x-2y=8)之间

的距离为d=

=

,|AM|=

=3

.所以△AMN的面积的最大值为

×3

×

=18.变式训练1.(关键元素变式)(2021全国乙文,20,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线

的距离为2.(1)求C的方程;(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足

=9

,求直线OQ斜率的最大值.解析

(1)∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,∴p=2.∴抛物线C的方程为y2=4x.(2)第一步:设点写向量坐标,利用向量相等坐标相同得点Q的坐标.设点P(4

,4x0),Q(x1,y1),则

=(x1-4

,y1-4x0),∵F(1,0),∴

=(1-x1,-y1),∵

=9

,∴

整理得

第二步:用参数x0表示kOQ,利用基本不等式求其最值.∴kOQ=

=

,当kOQ最大时,x0>0,∴kOQ=

≤

=

,当且仅当4x0=

时取“=”,此时x0=

,点P的坐标为(9,6),因此kOQ的最大值为

.

类型2圆锥曲线中的范围问题圆锥曲线中的范围问题的解题策略1.建立不等关系解决圆锥曲线中的范围问题.(1)利用判别式构造不等关系,解决取值范围问题;(2)利用基本不等式构造不等关系,解决取值范围问题;(3)利用已知或隐含的不等关系建立不等式(组),解决取值范围问题;(4)利用圆锥曲线的几何特征构造不等关系,解决取值范围问题.2.建立目标函数解决圆锥曲线中的范围问题.(1)把问题利用代数方法表示为某个(些)变量的函数,通过讨论函数的值域来求取值范

围.(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是在两个参数之

间建立等量关系.典例2在平面直角坐标系xOy中,若抛物线C:y2=2px(p>0)的准线与圆M:(x+1)2+y2=1相

切于点A,直线AB与抛物线C切于点B,点N在圆M上,则

·

的取值范围为

()A.[0,8]

B.[2-2

,2+2

]C.[4-4

,4+4

]

D.[4

-4,4

+4]

C

解析抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-

,

圆M的圆心为M(-1,0),半径为1,由直线x=-

与圆M相切,得

=1,解得p=4或p=0(舍去),所以抛物线C的方程为y2=8x,A(-2,0),由题意知直线AB的斜率存在且不为零,设直线AB的方程为x=my-2,联立

消去x,得y2-8my+16=0,由Δ=64m2-64=0,解得m=±1,不妨设点B在第一象限,则m=1,则有y2-8y+16=0,则y=4,此时x=y-2=2,即点B(2,4),所以

=(4,4),由点N在圆M上,设N(-1+cosθ,sinθ),则

=(1+cosθ,sinθ),所以

·

=4+4cosθ+4sinθ=4

·sin

+4∈[4-4

,4+4

].当点B在第四象限时,同理可得

·

∈[4-4

,4+4

].故选C.典例3已知双曲线C的离心率为e,左、右焦点分别为F1,F2,点M在C的左支上运动且不

与顶点重合,记I为△MF1F2的内心,λ=

,若e∈[2,4],求λ的取值范围.解析设双曲线C的方程为

-

=1(a>0,b>0),过I作直线MF1,MF2,F1F2的垂线,垂足分别为A,B,D,如图,

因为I为△MF1F2的内心,【提示:内心为三角形角平分线的交点】所以|MA|=|MB|,|F1A|=|F1D|,|F2D|=|F2B|,所以|MF2|-|MF1|=|MB|+|F2B|-|MA|-|F1A|=|F2D|-|F1D|=2a,因为|F1F2|=|F1D|+|F2D|=2c,所以|F1D|=c-a,|F2D|=a+c,所以λ=

=

=

=

=

=1+

,显然λ=1+

在e∈[2,4]上单调递减,则λ∈

.变式训练2.(设问条件变式)平面直角坐标系中,点(

,1)在以F1,F2为左、右焦点的双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)上,双曲线C的渐近线和y轴将xOy平面六等分.(1)求双曲线C的标准方程;(2)若不过F1的直线l与C交于不同的两点A,B.设l的斜率为k(k≠0),若k为直线AF1,BF1斜

率的等差中项,求F2到l的距离d的取值范围.解析

(1)因为点(

,1)在C上,所以

-

=1①,又双曲线C的渐近线和y轴将xOy平面六等分,所以渐近线与x轴的夹角为

,则

=

②,由①②解得a2=3,b2=1,因此双曲线C的方程为

-y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),【思路点拨:利用条件k为直线AF1,BF1的斜率的等差中项,通过代数法建立参数m,k的等

量关系,结合点到直线的距离公式建立d与参数的函数关系式,消元后得到一元函数,利

用函数的单调性求取值范围】联立

消去y得(1-3k2)x2-6kmx-3(m2+1)=0,由Δ=36k2m2+12(1-3k2)(m2+1)>0,得m2+1>3k2,由根与系数的关系得x1+x2=

,x1x2=-

,因为k为直线AF1,BF1的斜率的等差中项,所以

+

=2k,把y1=kx1+m,y2=kx2+m代入,得(kx1+m)(x2+2)+(kx2+m)(x1+2)=2k(x1+2)(x2+2),整理得(m-2k)(x1+x2+4)=0,当m-2k=0时,直线l为y=k(x+2),此时直线过F1,不符合题意,∴x1+x2=-4,即

=-4,∴m=2k-