2027届高三数学一轮复习课件：第六章　6.2　等差数列

第六章数列6.2等差数列知识清单考点清单目录CONTENTS知识清单知识点1等差数列的定义及有关概念定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等

于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数

叫做等差数列的公差,通常用字母d表示,符号表示为an-an

-1=d(n≥2,n∈N*,d为常数)或an+1-an=d(n∈N*,d为常数)等差中项若三个数a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,即

A=

通项公式an=a1+(n-1)d;推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*)前n项和公式Sn=

或Sn=na1+

d知识点2等差数列的性质项的有关性质(1)若{an}是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.特别地,若k+l=2m,则ak+al=2am.(2)若{an}是公差为d的等差数列,则数列ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)也是等差数列,公差为md.(3)若{an}是公差为d的等差数列,则{c+an},{c·an},{akn},{an+an+k}(c为常数,k∈N*)也是等差数列.(4)若数列{an},{bn}是项数相同的等差数列,则{pan+qbn}(p,q为常数)也是等差数列前n项和的有关性质若等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等差数列{bn}的前n项和为Tn,则:(1)数列

是公差为

的等差数列.(2)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也是等差数列,公差为n2d.(3)

=

奇偶项的有关性质若非零等差数列{an}的奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则:(1)当n为偶数2m(m∈N*)时,S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,

=

.(2)当n为奇数2m-1(m∈N*)时,S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=

(m-1)am,S奇-S偶=am,

=

函数特性(1)若d>0,则等差数列{an}是递增数列,若d<0,则等差数列{an}是递减数列,若d=0,则等差数列{an}是常数列.(2)数列{an}的通项公式为an=pn+q(p,q为常数)⇔数列{an}是等差数列.(3)数列{an}的前n项和公式为Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔数列{an}是等差数列即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)数列{an}满足an+1-an=n,则数列{an}是等差数列.

()(2)若{an}是等差数列,则对任意n∈N*都有2an+1=an+an+2.

()(3)已知数列{an}的通项公式为an=3n+5,则数列{an}的公差与直线y=3x+5的斜率相等.(

)(4)等差数列的前n项和一定是项数n的二次函数.

()

✕

√

√

✕

2.{an}是首项a1=4,公差d=2的等差数列,如果an=2020,那么n=

()A.1009

B.1012

C.1008

D.1010

A

3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=_________.

5

4.在等差数列{an}中,若a3+a7=10,a6=7,则数列{an}的通项公式为an=_________,前n项和为

Sn=_____________.

n2-4n

2n-5

5.(易错题)在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得最大

值,则d的取值范围为_________.考点清单考点1等差数列及其前n项和角度1等差数列基本量的运算典例1

(2025届湖南长沙六校大联考,3)等差数列{an}(n∈N*)中,a2=10,a7-a4=2a1,则a7=

()A.40

B.30

C.20

D.10

B

解析设等差数列{an}(n∈N*)的公差为d,由a7-a4=2a1,得3d=2a1,由a2=10,得a1+d=a1+

a1=10,解得a1=6,d=4,所以a7=a1+6d=6+24=30.故选B.方法总结等差数列基本量运算的常见类型1.求公差d或项数n.在求解时,一般要运用方程思想.2.求通项.a1和d是等差数列的两个基本元素.3.求特定项.利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解.4.求前n项和.利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.变式训练1.(设问条件变式)(2025届广东七校联考,3)在等差数列{an}中,已知a1=-9,a3+a5=-9,a2n-1

=9,则n=

()A.7

B.8

C.9

D.10

A

解析设等差数列{an}的公差为d,由a1=-9,a3+a5=2a1+6d=-9,得d=

,所以a2n-1=-9+(2n-2)×

=9,故n=7.角度2等差数列的判定与证明典例2

(2021全国甲文,18,12分)记Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,a2=3a1,且数列

{

}是等差数列.证明:{an}是等差数列.证明设等差数列{

}的公差为d,由题意得

=

,

=

=

=2

,则d=

-

=2

-

=

,所以

=

+(n-1)

=n

,所以Sn=n2a1①,当n≥2时,有Sn-1=(n-1)2a1②.由①-②,得an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1③,经检验,当n=1时也满足③.所以an=(2n-1)a1,n∈N*,当n≥2时,an-an-1=(2n-1)a1-(2n-3)·a1=2a1,所以数列{an}是首项为a1,公差为2a1的等差数列.方法总结等差数列判定与证明的方法定义法对于任意自然数n(n≥2),an-an-1为同一常数⇔{an}是等差

数列等差中项法2an-1=an+an-2(n≥3,且n∈N*)成立⇔{an}是等差数列通项公式法an=pn+q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等

差数列前n项和公式法Sn=An2+Bn(A,B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是

等差数列变式训练2.(关键元素变式)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,

=an+1-

n2-n-

,n∈N*.(1)求a2,a3的值;(2)求证:

为等差数列.解析

(1)数列{an}中,

=an+1-

n2-n-

,n∈N*,当n=1时,2a1=2S1=a2-

-1-

=a2-2,而a1=1,则a2=4,当n=2时,S2=a3-4,所以a3=S2+4=a1+a2+4=9.(2)证明:由

=an+1-

n2-n-

,得2Sn=nan+1-

n3-n2-

n=nan+1-

,当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-

,两式相减得2an=nan+1-(n-1)an-n(n+1),即nan+1=(n+1)an+n(n+1),整理得

-

=1,而

-

=1,故数列

是首项为

=1,公差为1的等差数列.角度3等差数列的前n项和最值典例3

(2022全国甲,理17,文18,12分)记Sn为数列{an}的前n项和.已知

+n=2an+1.(1)证明:{an}是等差数列;(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.解析

(1)证明:由已知条件

+n=2an+1可得,2Sn=2nan+n-n2①,当n≥2时,由①可得2Sn-1=2(n-1)·an-1+(n-1)-(n-1)2②,由an=Sn-Sn-1及①-②可得,(2n-2)an-(2n-

2)an-1=2n-2,n≥2,且n∈N*,即an-an-1=1,因此{an}是等差数列,公差为1.(2)∵a4,a7,a9成等比数列,且{an}是以1为公差的等差数列,∴(a1+3×1)(a1+8×1)=(a1+6×1)2,即(a1+3)(a1+8)=(a1+6)2,解得a1=-12.解法一数列{an}是首项为-12,公差为1的等差数列,∴Sn=n×(-12)+

×1=

,∴当n=12或n=13时,Sn取最小值,为

=-78.解法二

an=-12+(n-1)×1=n-13,当n≤12且n∈N*时,an<0;当n=13时,an=0;当n≥14且n∈N*时,an>0.∴当n=12或n=13时,Sn取最小值,为-12×12+

×1=-78.方法总结求等差数列前n项和Sn最值的2种方法1.函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助图象求二次

函数最值的方法求解.2.通项公式法:(1)若a1>0,d<0,则满足

的项数m使得Sn取得最大值Sm;(2)若a1<0,d>0,则满足

的项数m使得Sn取得最小值Sm.变式训练3.(函数法)(2025届广西南宁三模,6)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=2,a3+a8=12-

a7,则Sn的最小值为

()A.-14

B.-

C.-12

D.-10

C

解析设等差数列{an}的公差为d,由a3+a8=12-a7得a3+a7=12-a8,则2a5=12-(a5+3d)=12-a5-3

d,所以3d=12-3a5=12-6=6,所以d=2,故an=a5+(n-5)d=2n-8,则Sn=

=

=n(n-7)=

-

,则(Sn)min=S3=S4=-12.故选C.4.(通项公式法)已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a3+a10>0,S11<0,则数列

{Sn}中最小的项是

()A.S4

B.S5

C.S6

D.S7

C

解析因为S11=

=11a6<0,所以a6<0,因为a6+a7=a3+a10>0,所以a7>0,所以公差d=a7-a6>0,故当n≤6时,an<0,当n≥7时,an>0,所以当n=6时,Sn取得最小值,即{Sn}中最小的项是S6.故选C.考点2等差数列的性质角度1项的性质典例4已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N*),且a3+a8+a13=2π,则cos(a7+a9)=

()A.-

B.-

C.

D.

B

解析由2an+1=an+an+2(n∈N*)知数列{an}是等差数列,所以a3+a8+a13=3a8=2π,所以a8=

,所以cos(a7+a9)=cos(2a8)=cos

=-

.变式训练5.(设问条件变式)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a11=a9+7,则S25=

()A.

B.145

C.

D.175

D

解析∵2a11=a9+a13=a9+7,∴a13=7,∴S25=

=25a13=175.故选D.角度2和的性质典例5已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若

=

,则

=()A.

B.

C.

D.

D