2027届高三数学一轮复习课件：第七章　7.3　直线、平面平行的判定与性质

第七章立体几何与空间向量7.3直线、平面平行的判定与性质知识清单考点清单目录CONTENTS知识清单知识点直线、平面平行的判定与性质1.线面平行的判定与性质

判定定理性质定理图形

条件b⊂α,a⊄α,a∥ba∥α,a⊂β,α∩β=b结论a∥αa∥b2.面面平行的判定与性质

判定定理性质定理图形

条件a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥αα∥β,α∩γ=a,β∩γ=b结论α∥βa∥b面面平行判定定理的推论:一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直

线分别对应平行,那么这两个平面平行.即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α.

()(2)夹在两个平行平面间的平行线段相等.

()(3)一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行.

()(4)平面α与平面β平行,且a⊂α,则a与β内的所有直线都平行.

()

✕

✕

√

✕

2.直线a,b不在平面α内,a,b在平面α内的射影是两条平行直线,则a,b的位置关系是______

__________.行或异面

平3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,

则EF=_________.

考点清单考点直线、平面平行的判定与性质角度1直线与平面平行的判定或证明典例1

(2023全国乙文,19,12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=2

,PB=PC=

,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,点F在AC上,BF⊥AO.(1)证明:EF∥平面ADO;(2)若∠POF=120°,求三棱锥P-ABC的体积.解析

(1)证明:因为AB=2,BC=2

,AB⊥BC,所以AC2=AB2+BC2=12,AC=2

.设

=λ

,则

·

=(λ

-

)·

=

λ

·

+

λ

-

-

·

=2λ+6λ-2-2=0,解得λ=

,所以F为AC的中点,所以EF∥PC,又OD∥PC,所以EF∥OD,又因为EF⊄平面ADO,OD⊂平面ADO,所以EF∥平面ADO.(2)连接OF,OP,PF.因为AB⊥BC,OF∥AB,所以OF⊥BC,又PB=PC=

,所以OP⊥BC,又OF∩OP=O,OF,OP⊂平面OPF,所以BC⊥平面OPF,又BC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面OPF,过点P作PM⊥OF于点M,又平面OPF∩平面ABC=OF,PM⊂平面OPF,所以PM⊥平面ABC,因为BC=2

,PB=PC=

,所以OP=2,又∠POF=120°,所以PM=OP·sin(180°-120°)=

,即三棱锥P-ABC的高为

.所以三棱锥P-ABC的体积V=

×

×2×2

×

=

.

归纳总结判定或证明直线与平面平行的方法1.利用线面平行的判定定理(a∥b,a⊄α,b⊂α⇒a∥α).2.利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β).3.利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).变式训练1.(情境模型变式)(2026届重庆南开中学月考,16)如图,已知圆柱OO1的轴截面为矩形

ABCD,且AD=

CD,点P是底面圆O1上异于点C,D的任意一点,M为AD的中点,E为MC的中点,F为线段AP上一点且AF=3FP.(1)证明:EF∥平面DCP;(2)当∠DCP=60°时,求直线CM与平面ACP所成角的正弦值.

解析

(1)证法一在PD上取点H,使得DH=3HP,连接FH,HO1,EO1,

因为AF=3FP,所以HF∥AD,HF=

AD,因为M为AD的中点,所以HF∥MD,HF=

MD,由题可得O1为CD的中点,又E为MC的中点,所以O1E∥MD,且O1E=

MD,所以HF∥EO1,HF=EO1,所以四边形EFHO1为平行四边形,所以EF∥O1H,又因为EF⊄平面DCP,O1H⊂平面DCP,所以EF∥平面DCP.证法二取MD的中点N,连接NF,NE,

因为E为MC的中点,所以NE∥CD,又因为NE⊄平面DCP,CD⊂平面DCP,所以NE∥平面DCP,因为M为AD的中点,N为MD的中点,所以AN=3ND,因为AF=3FP,所以NF∥DP,又因为NF⊄平面DCP,DP⊂平面DCP,所以NF∥平面DCP,又因为NF∩NE=N,且NF,NE⊂平面NEF,所以平面NEF∥平面DCP,因为EF⊂平面NEF,所以EF∥平面DCP.【面面平行的性质定理】(2)如图,以O1为原点,O1C,O1O所在直线分别为y轴,z轴,建立空间直角坐标系,

因为DC为底面圆的直径,且∠DCP=60°,所以∠DPC=90°,∠CDP=30°,设CD=2,则M(0,-1,

),C(0,1,0),A(0,-1,2

),P

,则

=(0,-2,

),

=

,

=(0,-2,2

),设平面ACP的法向量为n=(a,b,c),则

即

取n=(1,

,1),设直线CM与平面ACP所成角为θ,则sinθ=|cos<

,n>|=

=

.即直线CM与平面ACP所成角的正弦值为

.角度2平面与平面平行的判定或证明典例2在如图所示的几何体中,底面ABCD是正方形,四边形ADPM是直角梯形,MA⊥

AD,且平面ADPM⊥底面ABCD,E,G,F分别为MB,PB,PC的中点,AD=PD=2,PD=2AM.(1)求证:平面EFG∥平面ADPM;(2)求多面体PMABCD的体积.

解析

(1)证法一∵E,G,F分别为MB,PB,PC的中点,∴EG∥PM,GF∥BC.又∵四边形ABCD是正方形,∴BC∥AD,∴GF∥AD.∵EG,GF⊄平面ADPM,PM,AD⊂平面ADPM,∴EG∥平面ADPM,GF∥平面ADPM.又∵EG∩GF=G,EG,GF⊂平面EFG,∴平面EFG∥平面ADPM.【面面平行的判定定理】证法二由证法一可知EG∥PM,GF∥AD,因为四边形ADPM是直角梯形,MA⊥AD,所以PD⊥AD,由梯形的特征可知延长PM,DA

必相交于一点,设为N,因为PM∩DA=N,PM⊂平面ADPM,DA⊂平面ADPM,EG∩GF=G,EG⊂平面EFG,GF⊂平面EFG,所以平面EFG∥平面ADPM.【面面平行的

判定定理的推论】

(2)∵四边形ADPM是直角梯形,MA⊥AD,AD=PD=2,PD=2AM,∴DP⊥AD.又∵平面ADPM⊥底面ABCD,平面ADPM∩平面ABCD=AD,PD⊂平面ADPM,∴PD⊥平面ABCD,∴PD是四棱锥P-ABCD的高,VP-ABCD=

S四边形ABCD·PD=

×2×2×2=

.∵四边形ABCD是正方形,∴AB⊥AD.∵PD⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PD⊥AB.又∵AD∩PD=D,AD,PD⊂平面ADPM,∴AB⊥平面ADPM,即AB是三棱锥B-PMA的高,VP-ABM=VB-AMP=

S△AMP·AB=

×

×1×2×2=

,∴多面体PMABCD的体积V=VP-ABCD+VP-ABM=

+

=

.方法总结判定或证明平面与平面平行的方法1.利用面面平行的判定定理(a∥α,b∥α,a∩b=P,a⊂β,b⊂β⇒α∥β).2.利用面面平行的判定定理的推论(a∥c,b∥d,a∩b=A,c∩d=B,a⊂α,b⊂α,c⊂β,d⊂β⇒α

∥β).3.利用平面平行的传递性(α∥γ,β∥γ⇒α∥β).4.利用平行与垂直的关系(a⊥α,a⊥β⇒α∥β).变式训练2.(设问条件变式)正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD交于点O,点E,F分别为AA1,CC1

的中点.(1)求证:平面B1D1F∥平面BEO;(2)若正方体的棱长为2,求三棱锥F-BEO的体积.

解析

(1)证明:连接A1C1,交B1D1于M,连接A1C,MF,

∵在△A1AC中,O为AC的中点,E为AA1的中点,∴EO∥A1C,【利用三角形中位线定理证

明线线平行】同理,MF∥A1C,∴MF∥EO,∵EO⊂平面BEO,MF⊄平面BEO,∴MF∥平面BEO,【利用线面平行的判定定理证线面平行】∵B1D1∥BD,而BD⊂平面BEO,B1D1⊄平面BEO,∴B1D1∥