2027届高三数学一轮复习课件：第十章　10.2　离散型随机变量及其分布列、均值、方差

第十章概率10.2离散型随机变量及其分布列、均值、方差知识清单考点清单目录CONTENTS知识清单知识点离散型随机变量及其分布列、均值与方差1.离散型随机变量的分布列(1)一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,

我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型

随机变量.(2)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.用表格表示如表:Xx1x2…xnPp1p2…pn(3)离散型随机变量的分布列的性质①pi≥0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pn=1;③P(xi≤X≤xj)=pi+pi+1+…+pj(i<j且i,j∈N*).2.两点分布若随机变量X的分布列为X01P1-pp则称X服从两点分布或0—1分布.3.离散型随机变量的均值与方差(1)均值定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=

xipi为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差定义:D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-

=

(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,

为随机变量X的标准差,记作σ(X).它们都可以度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.(3)均值与方差的性质E(aX+b)=aE(X)+b.(a,b为常数)D(aX+b)=a2D(X).(a,b为常数)(4)均值与方差的关系D(X)=E(X2)-E2(X).(5)两点分布的均值、方差若随机变量X服从两点分布,那么E(X)=p,D(X)=p(1-p).即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个.

()(2)甲进行3次射击,甲击中目标的概率为

,记甲击中目标的次数为X,则X的可能取值为1,2,3.

()(3)离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值.

()(4)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值与其均值的偏离程度.

()

√

✕

✕

√

2.已知离散型随机变量X的分布列如表所示,则常数c为

()

A

X01P9c2-c3-8cA.

B.

C.

或

D.

3.已知离散型随机变量ξ的分布列为ξ102030P0.6a

-

则D(3ξ-3)=___________.

405

考点清单考点离散型随机变量及其分布列、均值、方差角度1分布列的性质典例1设随机变量X的概率分布列如表,则随机变量X的数学期望E(X)=_________.X1234P

m

解析由

+m+

+

=1,得m=

.所以E(X)=1×

+2×

+3×

+4×

=

.方法技巧离散型随机变量的分布列性质的应用(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值;(2)利用“随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求

特定事件的概率;(3)可以根据性质p1+p2+…+pn=1及pi≥0,i=1,2,…,n判断所求的分布列是否正确.变式训练1.(设问条件变式)若随机变量ξ的分布列如下表,表中数列{an}为等差数列,则P(ξ=5)

的取值是

()

D

ξ34567Pa1a2a3a4a5A.

B.

C.

D.

解析由分布列的性质可知a1+a2+a3+a4+a5=1,根据数列{an}为等差数列,得5a3=1,即a3=

,则P(ξ=5)=

.故选D.角度2离散型随机变量的分布列、均值、方差典例2为欢度春节,某商场组织了“文明迎新年”知识竞赛活动,每名参赛者需要回

答A,B,C三道题目,通过答题获得积分,进而获得相应的礼品.每题答错得0分,答对A题目

得1分,答对B,C题目分别得2分,每名参赛者的最后得分为每题得分的累计得分,已知一

名参赛者答对A题目的概率为

,答对B,C题目的概率均为

,并且每题答对与否相互独立.(1)求该名参赛者恰好答对两道题目的概率;(2)求该名参赛者最终累计得分的分布列和数学期望.解析

(1)由题意可得,该名参赛者恰好答对两道题目的概率P=

×

×

+

×

×

+

×

×

=

.(2)设该名参赛者最终累计得分为X分,可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,则P(X=0)=

×

×

=

,【全部答错】P(X=1)=

×

×

=

,【答对A题】P(X=2)=

×

×

+

×

×

=

,【答对B题或C题】P(X=3)=

×

×

+

×

×

=

,【答对A,B题或A,C题】P(X=4)=

×

×

=

,【答对B,C题】P(X=5)=

×

×

=

,【全部答对】可得该名参赛者最终累计得分的分布列为X012345P

【提醒:可用p1+p2+…+pn=1检验所求离散型随机变量的分布列是否正确】所以数学期望E(X)=0×

+1×

+2×

+3×

+4×

+5×

=2.技巧点拨

求离散型随机变量分布列、均值、方差的步骤1.明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义;2.利用概率的有关知识,求出随机变量取每个值的概率;3.按规范形式写出分布列,并用分布列的性质验证;4.根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.变式训练2.(设问条件变式)(多选)随机变量ξ的分布列为ξ012Pa

其中ab≠0,下列说法正确的是

(

)A.a+b=1B.E(ξ)=

bC.D(ξ)随b的增大而减小D.D(ξ)有最大值

ABD

解析根据分布列的性质得a+

+

=1,即a+b=1,故A正确;根据期望公式得E(ξ)=0×a+1×

+2×

=

,故B正确;根据方差公式得D(ξ)=

·a+

·

+

·

=-

b2+

b=-

+

,【其中a=1-b】因为0<b<1,所以D(ξ)随b的增大先增大后减小,且b=

时,D(ξ)取得最大值

,故C不正确,D正确.角度3均值与方差中的决策问题典例3我市拟建立一个博物馆,采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家,招

标方案如下:两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题,已知这6个招标问题中,甲公

司能正确回答其中4道题目,而乙公司能正确回答每道题目的概率均为

,甲、乙两家公司对每道题目的回答都是相互独立,互不影响的.(1)求甲公司答对题数的分布列、期望及方差;(2)请从期望和方差的角度分析(无需再列分布列),甲、乙哪家公司竞标成功的可能性

更大.解析

(1)由题意,设甲公司答对题数为X,则X的可能取值为1,2,3,则P(X=1)=

=

,P(X=2)=

=

,P(X=3)=

=

,所以随机变量X的分布列为X123P

可得E(X)=1×

+2×

+3×

=2,D(X)=(1-2)2×

+(2-2)2×

+(3-2)2×

=

.(2)设乙公司能正确回答的题目数为Y,则Y的可能取值为0,1,2,3,则P(Y=0)=

×

×

=

,P(Y=1)=

×

×

=

,P(Y=2)=

×

×

=

,P(Y=3)=

×

×

=

,所以随机变量Y的分布列为Y0123P

所以E(Y)=0×

+1×

+2×

+3×

=2,D(Y)=(0-2)2×

+(1-2)2×

+(2-2)2×

+(3-2)2×

=

,由于E(X)=E(Y),且D(X)<D(Y),所以甲公司竞标成功的可能性更大.方法技巧均值与方差在决策中的应用一般先比较均值,根据情况选择决策方向:(1)当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分歧,可对问题作出判断.(2)若两随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的

离散程度或者稳定程度,进而进行决策.变式训练3.(情境模型变式)为增加学生对篮球运动的兴趣,学校举办趣味投篮比赛,第一轮比

赛的规则为选手需要在距离罚球线1米,2米,3米的A,B,C三个位置分别投篮一次.在三个

位置均投进得10分;在C处投进,且在A,B两处至少有一处未投进得7分;其余情况(包括A,

B,C三处均不投进)保底得4分.已知小王同学在A,B,C三处的投篮命中率分别为

,

,

,且在三处的投篮是否命中相互独立.(1)设ξ为小王同学在第一轮比赛的得分,求ξ的分布列和期望;(2)若第二轮比赛中设置两种参赛方法.方法1:按第一轮比赛规则进行比赛;方法2:选手

可以选择在C处缩短投篮距离0.5米,但得分会减少a(1≤a≤3)分.选手可以任选一种规则参加比赛.若小王同学在C处缩短投篮距离0.5米后,投篮命中率会增加b

.请你根据统计知识,帮助小王同学选择采用哪种方法参加比赛更好.解析

(1)ξ的可能取值为4,7,10,P(ξ=10)=

×

×

=

,P(ξ=7)=

×

×

+

×

×

+

×

×

=

,P(ξ=4)=1-

-

=

,所以分布列为ξ4710P

所以E(ξ)=4×

+7×

+10×

=

.(2)如果选取方法2参加比赛,则小王同学得分η的可能取值为4-a,7-a,10-a,P(η=10-a)=

×

×

=

+

,P(η=7-a)=

×

×

+

×

×

+

×

×

=

+