概率基础概率基础课件

第五章概率基础1本章主要内容概率论的发展史随机事件(RandomEvents)概率的统计定义古典概型(ClassicalProbability)几何概率（GeometricProbability)条件概率(ConditionalProbability)事件的独立性(IndependenceofEvents)2第一节随机事件一、随机试验(Randomexperiment)为研究随机现象规律性，往往进行试验。例如：1.抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。2.将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。3.抛一枚骰子，观察出现的点数。4.记录车站售票处一天内售出的车票数。5.在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。6.记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。3

这些试验都具有以下的特点：可重复性：可在相同条件下重复进行可预知性：试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；随机性：一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验(Randomexperiment)，表示为E。4二、事件（Event)必然事件：某件事情在一次试验中一定发生

如：“在一副扑克牌中任摸14张，其中有两张花色是不同”就是必然事件。不可能事件：某件事情在一次试验中一定不发生

如：“在一副扑克牌中任摸14张，其中没有两张花色是不同的”就是不可能事件。随机事件（A,B,C,…)：某件事情在一次试验中既可能发生，也可能不发生

如：“掷一枚硬币，出现正面朝上”“扔一枚骰子，出想6点”5基本事件（）：试验的每一个结果都是一个事件，这些事件不可能再分解成更简单的事件一般的事件由基本事件复合而成。例如：考察掷一个骰子一次的试验，可能发生的结果有6种“掷得1点”“掷得2点”“掷得3点”“掷得4点”“掷得5点”“掷得6点”“掷得奇数”“掷得偶数”基本事件复合事件6例1对于试验E：将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况，若记“正面”为H，“反面”为T，则基本事件有：HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH，TTT随机事件A＝“至少出一个正面”＝{HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH}；B=“两次出现同一面”={HHH,TTT}C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH}

7（1）事件的包含与相等若“A发生必导致B发生”记为若,则称事件A与B相等,记为A=B.（2）事件的和（并）“事件A与B至少有一个发生”,记作A∪B3、事件间的关系与运算10（3）事件的积事件A与B同时发生，记作A∩B＝ABn个事件A1,A2,…,An同时发生，记作

A1A2…An

（4）事件的差事件A发生而B不发生,记为A－B思考：何时A-B=φ?何时A-B=A？11（5）互斥事件若事件A与B不能同时发生,即AB=φ,则称事件A与B互斥,或互不相容（6）逆事件设A，B为两事件,若AB=φ且A∪B=Ω,则称事件A与B互为逆事件或对立事件.记作，称为B是A的对立事件AΩ1213解：A1：“至少有一人命中目标”：A2：“恰有一人命中目标”：A3：“恰有两人命中目标”：A4：“三人均命中目标”：A5：“三人均未命中目标”：A6：“最多有一人命中目标”：例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：14第三节概率的统计定义一、事件的频率(Frequency)1.定义：设E为任一随机试验，A为其中任一事件，在相同条件下，把E独立的重复做n次，nA表示事件A在这n次试验中出现的次数(即频数)。比值称为事件A在这n次试验中出现的频率(Frequency).152.频率的性质非负性：

0≤fn(A)≤1；规范性：fn(Ω)＝1，fn(φ)=0；可加性：若AB＝φ，则fn(A∪B)＝fn(A)＋fn(B).稳定性：当试验次数n增大时，频率fn(A)逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率.16

实践证明：频率稳定于概率

（1）历史上曾有人做过试验，试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。

17（2）男性别比率稳定于0.5一个孕妇生男生女偶然，但是就整个国家和大城市而言，从人口普查资料中看到，男性占全体人数的比例几乎年年不变，约为0.5。人口普查总人数（亿）男性人数比例第一次（1953）5.823.020.518第二次（1964）6.953.570.513第三次（1982）10.085.190.515第四次（1990）11.345.850.516

第五次（2000）12.666.530.51618定义：设有随机试验，若当试验的次数充分大时，事件的发生频率稳定在某数附近摆动，则称该数为事件的概率(Probability)，记为：注：1事件出现的概率是事件的一种属性。也就是说完全决定于事件本身的结果，是先于试验客观存在的。2概率的统计定义只是描述性的。3通常只能在充分大时，以事件出现的频率作为事件概率的近似值－－（montocalo方法的基本思想）二、概率的统计定义19第四节概率的公理化定义1.定义：若对随机试验E所对应的样本空间Ω中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)非负性：P(A)≥0；(2)规范性：P(Ω)＝1；(3)可列可加性：设A1，A2，……是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝φ，(i≠j)，i,j＝1,2,…,有

P(A1∪A2∪…)＝P(A1)＋P(A2)+…则称P(A)为事件A的概率。202.概率的性质

2122例.在1～10这10个自然数中任取一数，求

（1）取到的数能被2或3整除的概率，

（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，

（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。

解:设A=“取到的数能被2整除”;B=“取到的数能被3整除”。则P(A)=1/2P(B)=3/10P(AB)=1/10(1)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=7/10

(2)(3)P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/2-1/10=2/5

23第五节古典概型

“古典概型”是最简单、最直观的概率模型。

定义：若某实验E满足：1.有限性：样本空间Ω＝{ω1,ω2,…,ωn}2.等可能性：P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。则称E为古典概型也叫等可能概型。24设在古典概型中，试验E共有n个基本件，事件A包含了m个基本事件，则事件A的概率为二、概率的古典定义25例：任意投掷两枚均匀的硬币，求A＝“恰好发生一个正面向上”的概率。解：试验的所有结果：（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）根据硬币的均匀性、对称性、抛的任意性，四种结果具有等可能性，这是一个古典概型。A＝{（正、反）（反、正）}所以，概率P=2/4＝0.526例：有三个子女的家庭，设每个孩子是男是女的概率相等，则至少有一个男孩的概率是多少?解：设H=“某个孩子是男孩”，A=“至少有一个男孩”试验所有结果为：{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}

事件A={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT}

从而，n=8，m=7P(A)=m/n=7/8

271.几何概型：若一个试验具有两个特征：（1）每次试验结果有无限个，且全体可以用一个有度量的几何区域来表示（2）每次试验的各种结果等可能的。则称这样的试验是几何概型。2.几何概率：设几何概型的样本空间可表示成有度量的区域，记为，事件A所对应的区域记为A，则定义事件A的概率为：第六节几何概型（一）几何概型的定义28例某人发现他的表停了，他打开收音机想听电台报时，试求它等待的时间不超过10分钟的概率。解：因为电台每隔60分钟(即1小时)报时一次,因此，可认为此人打开收音机的时刻处在[0，60]上任何一点都是等可能的，其样本点有无限多个，样本空间就是区间Ω=[0，60]。设事件A=“等待时间不超过10分钟”，则导致事件A发生的样本点是打开收音机的时刻处于区间[50，60]上的任一点。这个区间长度为10(单位:分)。而Ω的长度为60(单位:分)。由几何概率的定义，29例（布丰问题）平面上有距离为d的一族平行线，向此平面任意投掷一长为l(l<d)的针，求针与平行线相交的概率。dlxMxd/2030从而，应用：历史上不少学者用此来计算近似值。方法是：投针n次，记录针与平行线相交的次数，再以频率作为概率的近似值，就有：MontoCarlo方法31第七节条件概率

思考：袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问：第一个人取得红球的概率是多少？第二个人取得红球的概率是多少？若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？32一、条件概率已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率，记作P(B|A)定义：设A、B为两个事件，且P(B)>0，则事件B已经发生的条件下，事件A发生的条件概率P(B|A)定义为：33例：甲乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录知道一年中雨天的比例占20％，乙市占14％，两地同时下雨占12％，试求：

（1）甲市下雨的条件下，乙市出现雨天的概率

（2）乙市出现雨天的条件下，甲市下雨的概率

（3）甲市或乙市下雨的概率解：记A=“甲市出现雨天”，B=“乙市出现雨天”根据题意，P(A)=0.20，P(B)=0.14，P(AB)=0.14从而，在乙市下雨的条件下，甲市有85.7％的可能要下雨，可能性很大。因此，如从乙市出差到甲市，又适逢乙市下雨，那么最好携带雨具。3435设A、B∈Ω，P（A）>0,则P(AB)＝P(A)P(B|A).上式就称为事件A、B的概率乘法公式。上式还可推广到三个事件的情形：

P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).一般地，有下列公式：

P(A1A2…An)＝(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1)二、乘法公式3637第八节事件的独立性3839例两门高射炮彼此独立的射击一架敌机，设甲炮击中敌机的概率为0.9，乙炮击中敌机的概率为0.8，求敌机被击中的概率？40第六章抽样分布41本章主要内容§6.1三种不同性质的分布§6.2一个总体参数推断时样本统计量分布§6.3两个总体参数推断时样本统计量分布42第一节三种不同性质的分布总体分布样本分布抽样分布43总体中各元素的观察值所形成的分布分布通常是未知的可以假定它服从某种分布一、总体分布总体44一个样本中各观察值的分布也称经验分布当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布二、样本分布45样本统计量的概率分布例如：样本均值,样本比例，样本方差等提供了来自总体的一部分信息，是进行推断的理论基础三、抽样分布46三、抽样分布

抽样分布总体样本样本方差样本均值47第二节单总体样本统计量的抽样分布样本均值的抽样分布样本比例的抽样分布抽样方差的抽样分布48一、样本均值的抽样分布容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布是进行推断总体总体均值

的理论基础 49关于正态分布的一个定理

=50

=10X总体分布n=4抽样分布Xn=16定理：若Xi～

N(μ,σ2)，则

X～N(μ,σ2/n)例：若Xi

～

N(50,100)，n=4，则

X～N(50,25)若Xi～

N(50,100)，n=16，则

X～N(50,2.5)50中心极限定理中心极限定理：设从均值为

，方差为

2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布结论：当样本容量足够大时(n>30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布51抽样分布与总体分布的关系正态分布非正态分布大样本小样本正态分布正态分布非正态分布总体分布52样本均值的数学期望样本均值的方差重复抽样不重复抽样样本均值的数学期望与方差53样本均值的抽样标准误测度所有样本均值的离散程度取值小于总体标准差计算公式为54比例：指总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比。例1：不同性别的人与全部人数之比例2：合格品与全部产品总数之比总体比例可表示为样本比例可表示为

二、样本比例的抽样分布比例：55样本比例的数学期望样本比例的方差重复抽样不重复抽样样本比例的数学期望与方差56三、样本方差的抽样分布

Xi是来自正态总体的简单随机样本，则比值的抽样分布服从自由度为(n-1)

2分布，即57由阿贝(Abbe)

于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson)

分别于1875年和1900年推导出来设，则令，则Y服从自由度为1的

2分布，即

当总体，从中抽取容量为n的样本，则关于

2分布58分布的变量值始终为正分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称E(

2)=n，D(

2)=2n(其中，n为自由度)可加性：若U和V为两个独立的

2分布随机变量，U~

2(n1)，V~

2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的

2分布

2分布的性质59第三节两总体样本