蔡中兵材料力学2轴向拉压

材料力学第二章轴向拉伸和压缩2-1概念2-2内力、截面法、轴力与轴力图2-3应力、拉压杆的应力2-4拉压杆的变形、胡克定律2-5拉压杆内的应变能2-6材料在拉压时的力学性能2-7强度条件、安全因素、许用应力2-8应力集中的概念2-1轴向拉伸与压缩的概念此类受轴向外力作用的等截面直杆称为拉杆或压杆。受力特点：直杆受到一对大小相等，作用线与其轴线重合的外力F作用。变形特点：杆件发生纵向伸长或缩短。FFFF§2-1轴向拉伸与压缩的概念斜拉桥承受拉力的钢缆一、外力与内力

某一物体受到的其它物体对它的作用力，包括荷载以及约束反力。1.外力§2-2内力、截面法、轴力及轴力图2、内力固有内力：分子内力.它是由构成物体的材料的物理性质所决定的。附加内力（内力）：在原有内力的基础上，由于外力作用产生变形，引起构件各部分之间相互作用力的改变量,又增加了新的内力。2、内力附加内力（内力）：在原有内力的基础上，由于外力作用产生变形，引起构件各部分之间相互作用力的改变量,又增加了新的内力。

这样的内力随外力的增加而增大，达到某种程度会引起构件的破坏，因而它与构件的强度、刚度和稳定性密切相关。

内力如何来分类和确定呢？用一个虚拟的截面将平衡构件截开，分析被截开的构件截面上的受力情况，这样的方法称为截面法。假想截面§2-2内力、截面法、轴力及轴力图分布内力如何将分布内力简化？§2-2内力、截面法、轴力及轴力图1、在截面上选择力系简化中心，建立坐标系。2、将力系简化为主矢FR和主矩MO。3、将主矢和主矩沿坐标轴进行分解。§2-2内力、截面法、轴力及轴力图§2-2内力、截面法、轴力及轴力图根据可变形固体的连续性假设可知，物体内部相邻部分之间的作用力是一个连续分布的内力系，我们所说的内力是该内力系的合成（力或力偶）六个内力分量产生的效果可归纳为四种基本变形方式的原因1、轴力

FN~Fx

沿杆件轴线方向内力分量，产生轴向（伸长，缩短）2、剪力

FS~Fy,Fz

使杆件产生剪切变形3、扭矩

Mx

力偶，使杆件产生绕轴线转动的扭转变形4、弯矩

My,Mz

力偶，使杆件产生弯曲变形§2-2内力、截面法、轴力及轴力图二、截面法的归纳:1、用假想的截面将构件截开；2、任取截下的一部分作为自由体，用未知内力来代替截去部分对留下部分的作用;3、对留下的自由体使用理论力学静力学平衡的原理求出截面上的内力。§2-2内力、截面法、轴力及轴力图§2-2内力、截面法、轴力及轴力图截面法求轴力求内力的一般方法——截面法步骤：轴向拉压杆的内力称为轴力,其作用线与杆的轴线重合(垂直于横截面并通过其形心),用符号ＦＮ表示.§2-2内力、截面法、轴力及轴力图引起纵向伸长变形的轴力为正——拉力（背离截面）轴力的符号规定:FFmm(c)FN(a)

FFmm(b)mmFNx§2-2内力、截面法、轴力及轴力图FN

mm(c)FN(a)

FFmm(b)mmFxF引起纵向缩短变形的轴力为负——压力（指向截面）轴力的符号规定:§2-2内力、截面法、轴力及轴力图一直杆受力如图示,试求1-1和2-2截面上的轴力。例题20KN20KN40KN112220KN20KN20KN20KN40KN11§2-2内力、截面法、轴力及轴力图三、轴力图

若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，所绘出的图线可以表明轴力与截面位置的关系，称为轴力图。FFFN图FFFFN图F正值的轴力画在上侧；负值的轴力画在下侧。轴力图的要求

1.

与杆平行对齐画

2.标明内力的性质（FN）

3.标明内力的正负号

4.注明特殊截面的内力数值（极值）

5.标明内力单位§2-2内力、截面法、轴力及轴力图绘制轴力图的方法

确定约束力；

根据杆件上荷载以及约束力，确定轴力图的分段点

应用截面法，用假想截面从分段点处将杆件截开，在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件建立平衡方程，确定分段点处的轴力

建立FN－x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，画出轴力图。§2-2内力、截面法、轴力及轴力图§2-2内力、截面法、轴力及轴力图试作图示杆的轴力图。求支反力解：ABCDE20kN

40kN

55kN

25kN

6003005004001800FR

22F4=20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNABCDE331144例题§2-2内力、截面法、轴力及轴力图注意假设轴力为拉力横截面1-1：横截面2-2：FR

22F4=20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNABCDE331144FRFN1

11AFRF1

FN2A

B

22§2-2内力、截面法、轴力及轴力图此时取截面3-3右边为分离体方便，仍假设轴力为拉力。横截面3-3：同理FR

22F4=20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNABCDE331144F3

F4

FN3

33D

E

F4

FN4

44E

§2-2内力、截面法、轴力及轴力图由轴力图可看出20105FN图(kN)FR

22F4=20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNABCDE33114450§2-2内力、截面法、轴力及轴力图FAB113F22C2F试作图示杆的轴力图。例题§2-2内力、截面法、轴力及轴力图试作图示杆的轴力图。4KN9KN3KN2KN例题§2-2内力、截面法、轴力及轴力图例题作轴力图。F2FF2F2F§2-2内力、截面法、轴力及轴力图课堂练习：10KN10KN6KN6KN332211FF233211作轴力图。A=10mm2A=100mm210kN10kN100kN100kN哪个杆先破坏?§2-3应力.拉(压)杆内的应力拉压杆的强度内力横截面尺寸材料的性质对确定的材料，杆件的强度跟内力在横截面上的分布相关。213§2-3应力.拉(压)杆内的应力

△A上的内力平均集度为:

当△A趋于零时，pm

的大小和方向都将趋于某一极限值。

p称为该点的应力，它反映内力系在该点的强弱程度，p是一个矢量。一、应力的概念§2-3应力.拉(压)杆内的应力

p一般来说既不与截面垂直，也不与截面相切，对其进行分解垂直于截面的应力分量:σ相切于截面的应力分量:τσ

正应力（normalstress）τ

切应力（shearingstress）应力单位:牛顿/米2帕斯卡（Pa）1KPa=1000Pa1MPa=1000KPa1GPa=1000MPa§2-3应力.拉(压)杆内的应力一、应力的概念二、拉压杆横截面上的应力无法用来确定分布内力在横截面上的变化规律已知静力学条件mmFFmmFsyFNmmFsyFN?§2-3应力.拉(压)杆内的应力

已知轴力求应力，需要研究变形才能解决。思路：应力表达式观察变形（外表）变形假设（内部）应力分布§2-3应力.拉(压)杆内的应力二、横截面上正应力公式1.变形现象纵向线2.平截面假设变形前原为平面的横截面,在变形后仍保持为平面,且仍垂直于轴线.----平截面假设横向线伸长平行移动（纵向纤维）（横截面外轮廓线）结论：各纵向纤维材料相同，伸长相同,所以应力也相同.§2-3应力.拉(压)杆内的应力二、横截面上正应力公式各点正应力亦相等，且分布均匀3.应力分布4.正应力公式单位：Pa，MPa拉伸为正，压缩为负正负：§2-3应力.拉(压)杆内的应力例题

图示结构，已知F=20kN,斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为14×14mm的方截面杆。试求杆件AB、BC的应力。FABC解：1、受力分析,计算轴力45°12BF45°2、计算各杆件的应力ABC45°12FBF45°工程应用四、工程应用苏通大桥最粗斜拉索直径为200mm，应力极限值为1770MPa。试计算该根斜拉索允许的最大承载力。=55606kN资料查得：约为5千吨物体的重量解：

力作用于杆端方式的不同，只影响杆端局部范围的应力分布,影响区的轴向范围约离杆端1至2个杆的横向尺寸。圣维南原理}FFFF影响区影响区问题：各杆横截面的正应力分布是否相同？§2-3应力.拉(压)杆内的应力§2-3应力.拉(压)杆内的应力圣维南原理：等效力系只影响荷载作用点附近局部区域的应力和应变分布。例题

阶梯杆OD,左端固定，受力如图所示，OC段的横截面面积是CD段横截面面积A的两倍,求杆内最大的轴力和最大正应力的大小及其位置。1、求反力2、画出轴力图因此FNmax=3F

在OB段，(危险截面）易知O处反力仅有水平方向的分量FOx§2-3应力.拉(压)杆内的应力3、计算应力最大应力位于CD段阶梯轴最大轴力的位置并不一定是最大应力的位置。§2-3应力.拉(压)杆内的应力（最大工作应力）例题试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大应力。已知F=50kN。150kN50kNF

C

BA

F

F

40003000370240解：（压）ⅠⅡ§2-3应力.拉(压)杆内的应力2、AB段柱横截面上的正应力1、求出各部分内力，绘出轴力图§2-3应力.拉(压)杆内的应力3、BC柱横截面上的正应力（压）最大应力为150kN50kNF

C

BA

F

F

40003000370240ⅡⅠ三、拉压杆斜截面上的应力FXFFFFFkkkkFa

由静力平衡得斜截面上的内力：§2-3应力.拉(压)杆内的应力F

F

变形假设：两平行的斜截面在杆件发生拉（压）变形后仍相互平行。推论：两平行的斜截面之间所有纵向线段伸长变形相同。即斜截面上各点处总应力相等。§2-3应力.拉(压)杆内的应力s0为拉压杆横截面上()的正应力。FXαkkFa

§2-3应力.拉(压)杆内的应力总应力又可分解为斜截面上的正应力和切应力：FXα§2-3应力.拉(压)杆内的应力讨论：（1）（2）（横截面）（纵截面）FXα（3）§2-3应力.拉(压)杆内的应力轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。轴向拉压杆件的最大切应力发生在与杆轴线成450截面上。在平行于杆轴线的截面上σ、τ均为零。FXα§2-3应力.拉(压)杆内的应力单元体：从杆中取出的各边长均无限小的正六面体。FFBxyzdxdydzσ=FN/Axα点的应力状态：该点不同方位上应力的全部情况。单轴应力状态：只有一个方向上存在应力的情况。例题

∑Fy=0,FN1sin45°－F=045°○

C○F21○BA○AFFN2FN145°xy已知：A1=1000㎜2,A2=20000㎜2,F=100kN求：各杆横截面的应力解：⑴轴力计算取节点A分析=－100kN∑Fx=0,－FN1cos45°－FN2=0FN2=－FN1cos45°=－141.4×0.707§2-3应力.拉(压)杆内的应力例题45°○

C○F21○BA○AFFN2FN145°xy⑵应力计算§2-3应力.拉(压)杆内的应力正应变与切应变正应变ε（线应变）－每单位长度的伸长（缩短）。——平均正应变——正应变§2-4胡克定律与拉压杆的变形切应变

应变纯粹是描述固体变形的一种几何度量。

正应变在几何上表示伸长、缩短。

切应变引起物体形状的改变。切应变的单位是弧度rad切应变（角应变）－原有直角在变形后发生的直角改变量。正应变与切应变§2-4胡克定律与拉压杆的变形§2-4胡克定律与拉压杆的变形ll1轴向变形由材料的拉伸试验，在线弹性阶段有——单轴应力状态下的胡克定律E——

材料的弹性模量——胡克定律即为杆件轴向变形的计算公式轴向应变横截面应力：（1）胡克定律只适用于线弹性，即EA—拉伸(压缩)刚度，表征杆件抵抗变形的能力（2）说明：bb1一、轴向变形、胡克定律横向变形：横向应变：横向应变与纵向应变的关系：——称为横向变形因数或泊松比ν

和E，是材料的两个弹性常数，由实验测定。ν是一个无量纲量。当应力不超过比例极限时，有二、横向变形与泊松比钢材的E约为200GPa,v为0.25-0.33ll1bb1例：A=500mm2；Ｅ＝200GPa，v＝0.3，求：（1）杆的总变形；（2）杆的横向应变。解：xFN

/kN计算杆的变形：60kN80kN50kN30kN1m2m1.5m①②③计算杆的应变：例2已知：AAB=ABC=500mm2ACD=200mm2,E=200GPa求D点的水平位移。解：计算结果为负，说明D截面左移例:已知：E1=200GPa，A1=127mm2l1=1.55m,E2=70GPa，A2=101mm2F=9.8KN试确定A点的位移。解：1、计算各杆的轴力xy2、计算杆的变形1杆的伸长2杆的缩短1杆的伸长2杆的缩短3、节点A的位移§2-5拉压杆内的应变能杆件由于弹性变形而积聚在杆内的能量，称为弹性变形能，简称应变能。Fl1l△l应变能的计算：能量守恒原理弹性体的功能原理单位：焦耳J拉(压）杆在线弹性范围内的应变能外力功：杆内应变能：Fl1lDlFDlFDl§2-5拉压杆内的应变能或Fl1lDlFDlFDl§2-5拉压杆内的应变能应变能密度应变能密度单位：——杆件单位体积内的应变能

两端受轴向荷载的等直杆，由于其各横截面上所有点处的应力均相等，故全杆内的应变能是均匀分布的。FFll1§2-5拉压杆内的应变能§2-6材料在拉伸(压缩)时的力学性能一、概述1、力学性能：2、标准拉伸试样夹持部分试验部分过渡部分<<金属材料室温拉伸试验方法>>(GB/T228-2002)材料在不同环境下，承受各种外加载荷时所表现出的力学特征。圆形截面矩形截面或电子式万能试验机3、试验设备通过该实验可以绘出力—伸长曲线和应力—应变图。拉伸图：F~Δl

曲线应力应变图：A——试件原始的截面积l——试件原始标距段长度应力—应变图可以消除横截面面积A与标距l对拉伸图的影响。曲线4、拉伸图与应力-应变图二、低碳钢的拉伸力学性能1、弹性阶段（OB段）

特点：变形是弹性的，卸载时变形可完全恢复OA段：

直线段。称为材料的弹性模量胡克定律——直线段的最大应力，称为比例极限；——弹性阶段的最大应力，称为弹性极限。一般材料的比例极限与弹性极限接近，近似认为：AB段——曲线段，应力与应变不成正比。引入系数则低碳钢：2、屈服阶段（BE段）特点：应力变化很小，变形增加很快，称为屈服屈服阶段不计初始瞬时效应时的最小应力（D点）重要现象：应力在试件表面出现与轴线成45°的斜纹,称为“滑移线”。屈服极限σs

——是衡量材料强度的重要指标；低碳钢：屈服时首次下降前所对应的最大应力(C点)上屈服极限：下屈服极限：通常将下屈服极限称为屈服强度或屈服极限，用σs试件表面出现与轴线成45°的滑移线3、强化阶段（EG段）特点：要继续增加应变，必须增大应力，材料恢复了抵抗变形的能力。—强化阶段应力的最大值，称为强度极限（抗拉强度）；—是衡量材料强度另一重要指标。低碳钢：4、局部变形阶段（GH段）特点：应力下降，变形限于某一局部，出现颈缩现象，最后在颈缩处拉断。卸载与再加载情况（1）卸载定律：在某点卸载，卸载过程应力应变为一斜直线，直线的斜率与比例阶段基本相同。（3）冷作硬化：将材料预先拉到强化阶段再卸载，即给材料预加塑性变形，使材料的比例极限提高的现象。5、卸载与再加载定律（2）再加载定律：在某点卸载后，短时间再加载，加载过程基本沿原卸载曲线上升，到原卸载点后仍沿原拉伸曲线变化，直至断裂D点的总正应变εD点的弹性应变εeD点的塑性应变εp6、塑性：（1）断后伸长率：设试件拉断后的标距段长度为l1—

称材料的断后伸长率，是衡量材料塑性性能的重要指标；塑性材料：脆性材料：低碳钢：典型的塑性材料。设试件拉断后颈缩处的最小面积为A1—

称为断面收缩率；也是衡量材料塑性性能的指标；（2）断面收缩率塑性：材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力。三、其它金属材料拉伸时的力学性能30铬锰钢50钢A3钢硬铝青铜规定非比例延伸强度规定非比例延伸强度：对应于塑性应变为0.2%时的应力1、其它塑性金属材料三、其他金属材料在拉伸力学性能2、脆性材料的拉伸力学性能2、铸铁拉伸时的力学性能特点：没有屈服和颈缩现象；拉断时的应力较低；强度极限σb是衡量强度的唯一指标。拉断前应变很小，伸长率很小；割线弹性模量：对应于总应变为0.1%时曲线的割线斜率低碳钢与铸铁的拉伸曲线对比

已知：某材料的比例极限σp为230MPa，弹性模量E为70GPa，观察到应力σ为350MPa时，材料的正应变ε为0.0076；求：材料的弹性应变εe与塑性应变εp分别为多少？解：因为σ

>σp，故材料既发生了弹性变形，又发生了塑性变形。弹性应变εe=σ/E=350MPa/70GPa=0.0050塑性应变εp=ε-εe=0.0076-0.0050=0.0026

习题为何试件不在曲线的最高点（

σmax处）发生断裂，而是在曲线下降过程中某点发生了断裂？

思考题1、低碳钢压缩时的力学性能（1）.E、σs与拉伸时相似，σe

、σp亦如此。（2）.屈服以后，试件越压越扁，横截面面积不断增大，试件不能被压断。（3）.测不到强度极限σb（4）.测低碳钢的力学性质时，一般不做压缩实验，而只做拉伸实验。四、金属材料在压缩力学性能2、铸铁压缩时的力学性能

（1）.压缩强度极限远大于拉伸强度极限，可以高4-5倍。

（2）.材料最初被压鼓，后来沿450方向断裂。脆性材料的抗压强度一般均大于其抗拉强度。拉伸压缩四、金属材料在压缩力学性能端面润滑时端面未润滑时五、几种非金属材料的力学性能1、混凝土：拉伸强度很小，结构计算时一般不加以考虑;使用标准立方体试块测定其压缩时的力学性能。特点:1、直线段很短，在变形不大时突然断裂；2、压缩强度sb及破坏形式与端面润滑情况有关；3、以s—e

曲线上s=0.4sb的点与原点的连线确定“割线弹性模量”。2、木材木材属各向异性材料其力学性能具有方向性亦可认为是正交各向异性材料其力学性能具有三个相互垂直的对称轴特点：1、顺纹拉伸强度很高，但受木节等缺陷的影响波动；2、顺纹压缩强度稍低于顺纹拉伸强度，但受木节等缺陷的影响小。3、横纹压缩时可以比例极限作为其强度指标。4、横纹拉伸强度很低，工程中应避免木材横纹受拉。松木顺纹拉伸、压缩和横纹压缩时的s—e曲线许用应力

[s]

和弹性模量E

均应随应力方向与木纹方向倾角不同而取不同数值。玻璃钢玻璃纤维的不同排列方式玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料力学性能玻璃纤维和树脂的性能玻璃纤维和树脂的相对量材料结合的方式纤维单向排列的玻璃钢沿纤维方向拉伸时的s—e曲线特点：1、直至断裂前s—e

基本是线弹性的；2、由于纤维的方向性，玻璃钢的力学性能是各向异性的。附：材料力学性能小结1.材料的强度指标：塑性材料：屈服极限强度极限脆性材料：只有强度极限——

抗拉强度极限——

抗压强度极限2.材料的塑性指标：断后伸长率：断面收缩率：材料的分类塑性材料脆性材料附：材料力学性能小结两种材料的区别：塑性材料在断裂前有很大的塑性变形，脆性材料在断裂前很小；脆性材料的抗压能力比抗拉能力强，适用于受压构件；塑性材料的抗压、抗拉能力差不多，适用于受拉构件；§2-7强度条件、安全因素、许用应力1、失效与许用应力失效——

构件不能正常工