聊城大学固体物理第一章 第七节 晶体衍射

第二章

晶体的X射线衍射本章重点:1.晶体衍射的基本方法

4.晶体X射线衍射的几种方法2.X射线衍射劳埃方程5.原子散射因子和几何结构因子3.布拉格反射方程第一节晶体衍射的基本方法1、X射线衍射方法2、电子衍射方法3、中子衍射方法第一节晶体衍射的基本方法一、X射线衍射X射线又称伦琴射线，是德国科学家伦琴在1895年发现的。1901年伦琴获得了第一个物理学Nobel奖金。伦琴（1845-1923）X射线具有穿越磁场不偏转，使底片感光和气体电离，杀死生物细胞，开展医疗影像技术（如CT）等作用。直到1912年，劳厄将其利用到晶体学中，来研究晶体的结构，才揭示了X射线的真谛。（1）X射线的性质（2）X射线的本质研究表明，X射线与可见光、红外线等相同，都属于电磁波，同时具有波动性和粒子性。X射线的波长很短，λ=10nm～0.01nm，其波长位置如下:

X射线在空间传播具有粒子性，或者说X射线是由大量以光速运动的粒子组成的不连续的粒子流。这些粒子叫光量子，每个光量子具有能量:定义：指单位时间内通过垂直X射线方向的单位面积上的光子数目（单位面积上的光子流率）单位：尔格/厘米2·秒（实际使用的单位是CPS表示每秒钟探测到光子数）(3)

X射线的强度X射线的强度用大写字母I表示，X射线的剂量表示光子的能量大小，单位用伦琴（R）表示。在X射线衍射分析中，用的是强度而不是剂量。1895年，德国物理学家伦琴作阴极射线实验时，发现了一种不可见的射线，由于当时不知它的性能和本质，故称X射线，也称伦琴射线。

（3）X射线实验技术的发展概况

1908~1909年，德国物理学家Walte.Pohl，将X射线照金属（相当于光栅），产生了干涉条纹，证明X射线是一种电磁波。1912年，劳厄和他的研究生厄瓦尔德提出非凡预言：X射线照射晶体时，将产生衍射。并且利用CuSO4·5H2O晶体作样品，实验得到了第一张衍射花样照片。为了解释该衍射图象，劳埃提出了劳埃方程；1913年，布拉格父子导出了简单实用的布拉格方程；（4）X射线衍射在材料领域中的主要应用

物相分析点阵常数的精确测定织构的测定晶粒大小的测定，应力测定等等。（5）X射线的产生X射线是由高电压V加速了的电子，打击在“靶极”物质上而产生的一种电磁波。波长随加速电压而改变。(nm)在晶体衍射中，常取U--40千伏，所以

min--0.03nm

。常用CuKα，波长约为0.15418nm。⑴产生并发射自由电子的电子源，如加热钨丝发射热电子；

⑵在真空中（一般为10-6mmHg），使电子作定向的高速运动；

⑶在高速电子流的运动路程上设置一阳极靶，使高速运动的电子突然受阻而停止下来。这样，靶面上就会发射出X射线。因此，要获得X射线，必须满足以下条件：（6）X射线谱I

KαKβ1、定义：X射线强度随波长变化的曲线。2、分类（a）连续的X射线谱（b）特征的X射线谱（a）连续的X射线谱具有从某个最短波长(短波极限λ0)开始的连续的各种波长的X射线(即：波长范围为λ0~λ∝)。I

由若干条特定波长的谱线构成。当管电压超过一定的数值（激发电压V激）时产生。这种谱线的波长与X射线管电压、管电流等工作条件无关，只决定于阳极材料，不同元素的阳极材料发出不同波长的X射线。因此叫特征X射线。（b）特征X射线谱特征X射线谱产生的原因：原子内层电子的跃迁。

Kα射线的强度大约是Kβ射线强度的5倍，因此，在实验中均采用Kα射线。实验中发现Cu靶的Kα谱线的强度大约是连续谱线及临近射线强度的90倍。

Kα谱线又可分为Kα1和Kα2，Kα1的强度是Kα2强度的2倍，且Kα1和Kα2射线的波长非常接近，仅相差0.004Å左右，通常无法分辨，因此，一般用Kα来表示。但在实际实验中有可能会出现两者分开的情况。老Bragg发现了X射线的特征谱，莫塞莱(Moseley）对其进行了研究，并推导出了Kα射线的波长λKα的计算公式为：

λKα=4/[3R(Z–σ)2]式中：Z:阳极靶的原子序数;R:常数;σ:屏蔽系数。该式就是著名的莫塞莱定律，表示K系特征X射线的波长与阳极靶的原子序数的平方近似成反比关系。(7)X射线与物质的相互作用入射X射线透过X射线热能散射X射线电子荧光X射线(a)

X射线的散射相干散射与原子内紧束缚电子刚性碰撞波长与入射波相同，有一定的位相关系相互干涉产生衍射条纹非相干散射(康普顿效应)与自由电子或原子内紧束缚电子非刚性碰撞波长与入射波不同不互相干涉由于散射于各个方向，强度很低，形成连续的背景(b)

X射线的吸收定义：当X射线穿过物质时，因受到散射、光电效应等的影响，强度减弱的现象。强度衰减规律：对于一定的物质

1是常数。实验证明

1与物质的密度

成正比即：

1=

m

m

：质量系数系数（只与吸收体的原子序数Z和X射线的波长有关）。线吸收系数

1和质量系数系数

m

都是物质的固有特性。I0

：原始强度；线吸收系数

1

：单位厚度物质对X射线的吸收能力；x:X射线穿过物质的距离穿过物体后的强度可表示如下：

m=

1

m1

+

2

m2

+

3

m3

+····

1

、

2

、

3

：吸收体中各元素的质量百分数。多种元素组成的吸收体其质量吸收系数是其组成元素的质量吸收系数的加权平均值：元素的质量吸收系数与入射波长和原子序数有以下关系

m

m=KZ3

3

k

L1

L2

L3波长愈短，吸收体原子愈轻，透过率愈大。吸收限两边吸收系数相差悬殊。(c)

光电效应当入射光子的能量足够大时，可以从被照射物质的原子内部(如K壳层)击出一个电子(被击出的电子称为光电子)，同时外层的高能态电子要向内层的K空位跃迁，导致有一部分能量释放。一方面该能量导致辐射出波长一定的特征x射线。为与入射x射线相区别，称由x射线激发所产生的特征x射线为二次特征x射线或荧光x射线。当入射光子的能量足够大时，可以从被照射物质的原子内部(如K壳层)击出一个电子(被击出的电子称为光电子)，同时外层的高能态电子要向内层的K空位跃迁，导致有一部分能量释放，从而导致包括空位层在内的邻近电子或较外层电子(比如另一个LII电子)所吸收，促处该电子受激发逸出原子变为二次电子。也就是说K层一个空位被L层两个空位所代替。此二次电子被称为俄歇电子。上述这种以光子激发原子所发生的激发和辐射过程称为光电效应，例、典型的X射线衍射谱(衍射方向和衍射强度）X射线德拜相二、电子衍射当电子波(具有一定能量的电子)落到晶体上时，被晶体中原子散射，由于晶体中原子排列的周期性，各原子所散射的电子波在叠加时互相干涉，散射束强度随空间分布的不连续性，即晶体对电子的衍射现象。

电子衍射示意图(nm)nm缺点：电子波受电子和原子核散射，散射很强透射力较弱，电子衍射主要用来观察薄膜。高能电子衍射：电子的加速电压一般为数万伏至十万伏左右

低能电子衍射：为了研究表面结构，电子加速电压也可低达数千甚至数十伏。透射电子衍射：研究厚度小于0.2微米的薄膜结构

会聚束电子衍射：入射电子束聚焦在试样上

反射电子衍射：研究大块试样的表面结构

选区电子衍射：利用试样后面的透镜，选择小至1微米的区域进行衍射观察

例、典型的电子衍射三、中子衍射热中子流被固体、液体或气体中的原子散射引起的衍射现象，称为中子衍射。主要用于研究物质（金属）的微观结构。

1932年，发现中子，但是由于当时中子源太弱，得到的中子束能量不均匀，难以找到具体应用，40年代，当核反应堆建立以后，才有可能利用中子衍射效应探索物质内部的结构。从核反应堆发出的中子经过减速（慢化）以后，其能量与热平衡的分子原子及晶格相当，所以这种慢中子又称为热中子。热中子的德布罗意波长约为0.1nm，和X射线的波长一样，正好与晶格间距同数量级，因此如果将这样的中子束打到物质靶上，一定会像X射线那样发生衍射现象。

中子不带电，主要依靠自旋的中子产生中子磁矩，尤其适合于研究磁性物质的结构。中子衍射和X射线衍射虽然相似，本质上却并不一样，X射线衍射是X射线的能量子与原子中的电子相互作用的结果，而中子衍射则是中子与原子核相互作用的结果，所以中子衍射可以观测到X射线衍射观测不到的物质内部结构，特别有利的是中子衍射可以确定原子，特别是氢原子，在晶体中的位置和分辨周期表中邻近的各种元素。第二节X射线衍射劳埃方程第二节X射线衍射劳埃方程劳埃方程可以确定衍射线的方向。做如下假设：(1)入射线和衍射线为单色平行光线；(2)略去康普顿效应；(3)只讨论布拉菲晶格。一、一维衍射α0αAB如图一原子列，点阵周期为a散射线的光程差为：aM1M2N1N2DCδ=AC-BD=a(cosα-cosα0)δ=a(cosα-cosα0)=Hλ---劳埃第一方程H：劳埃第一干涉指数，取整数，但有限制，为波长所限。注意：原子向空间各个方向散射的射线，满足劳埃第一方程，互相干涉的结果，使与原子列成α角的方向可以叠加加强，这表明衍射线分布在一个圆锥面上，顶角为2α。H不同，α不同，得到一系列同轴圆锥。α0αABaM1M2N1N2DC底片：双曲线底片：同心圆所以在N1,N2

方向上散射线加强的条件:h=0、±1、±2、±3…二、二维衍射同理，对于二维原子衍射，可以看作由一系列平行的原子列所组成，当X射线入射二维原子列时，每个原子列的衍射线均分布在自身的同轴圆锥簇上，因此，除了在一个方向满足劳埃第一方程，在另一个方向也要满足劳埃方程，称劳埃第二方程：b(cos

β-cosβ0)=Kλabβ0βα0可见，当X射线照射到原子网时，若要发生衍射，就必须满足劳埃第第一、二方程，也就是说衍射线只能出现在沿X方向和Y方向的两系列圆锥簇的交线或公共切线上，每对双曲线的交点即为衍射斑点。不同的H、K值可以得到不同的衍射斑点。一对衍射圆锥及交线原子网的衍射图三、三维衍射对于三维空间格子，可以看作由一系列平行的原子网所组成。当X射线照射到理想晶体时，各层原子网的衍射线，必然有一部份由于相互干涉而被抵消，所能保留下来的那部分衍射线，必然满足第三个方向的衍射条件：c(cos

γ-cosγ0)=Lλ-----劳埃第三方程所以晶体的X射线衍射必须满足劳埃三个方程。这样就确定了衍射线的方向：即衍射线与三个方向的夹角分别为α、β、γ。a(cosα-cosα0)=Hλb(cos

β-cosβ0)=Kλc(cos

γ-cosγ0)=Lλ劳埃方程解决了X射线的衍射方向问题。当单色X射线单晶时，其中的原子便向各个方向发射散射线。散射线与三个原子列的方向夹角α、β、γ取决于晶体的点阵周期，入射X射线与三个基本方向的夹角α0、β0、γ0，X射线的波长以及干涉指数H、K、L

，如果满足劳埃方程，则夹角α、β、γ所决定的方向就是衍射方向。从劳埃方程可以发现，除了夹角α、β、γ外，其余各量均为常数，似乎方程组有唯一的解。a(cosα-cosα0)=Hλb(cos

β-cosβ0)=Kλc(cos

γ-cosγ0)=Lλ劳埃方程的重要性：但实际上α、β、γ之间有一个约束方程。比如对于直角坐标系，还存在一个约束方程：由于不可能从四个方程中解出三个变量，必须增加一个变量，或者是波长，或者是入射角。这就构成了X射线分析的几种主要方法：a(cosα-cosα0)=Hλb(cos

β-cosβ0)=Kλc(cos

γ-cosγ0)=Lλ1）连续的X射线照射不动的单晶体（劳埃法）；实验条件：连续X射线射、单晶样品功能：测定晶体的对称性、确定晶体的取向和单晶的定向切割2）单色X射线照射单晶体，同时单晶体的某一晶轴或某一重要的晶向垂直于X射线安装（周转晶体法）；第三节布拉格方程由于劳埃方程中衍射圆锥过于复杂，布拉格反射方程也可以确定衍射线的方向，是对劳埃方程的简化。3）粉末法，利用单色X射线照射多晶体。即利用晶粒的不同取向来改变入射角。布拉格反射方程的推导：OBBAAPMS0Sθθθ晶面LL1N2N1θθCD1）同一晶面上的原子的散射加强条件：Nd下面分两种情况讨论：可以看出X射线到达NN2时，光程差为零，满足衍射条件，这说明同一晶面上反射线方向可以作为同一晶面原子的衍射线方向。由上图知道，两束X射线到达NN1处的光程差为：δ=OC+OD=dsin

θ+dsin

θ=2dsinθ同理可以证明两束X射线到达N2

N1处的光程差也为2dsinθ2）不同晶面上的原子的散射加强条件：在这个方向散射线互相加强的条件是：2dsinθ=nλ布拉格方程θ：称为掠射角或布拉格角；2θ

：衍射角；n：反射级数。结论：当一束单色且平行的X射线照射到晶体时，同一晶面上的原子散射线在反射线方向上是加强的；不同晶面的反射线若要加强，只要满足布拉格方程，反射线亦表示衍射线的方向。布拉格方程的讨论：

2dsinθ=nλ在布拉格方程中，其基础是将X射线衍射看成反射。但衍射是本质，反射仅是为了描述方便。可以发现布拉格方程在解决衍射方向时是极其简单而明确的。当波长为λ的X射线，以θ角照射到晶面间距为d的晶面时，有可能在晶面的反射方向上产生衍射线，其条件为相邻晶面的反射线的光程差为波长的整数倍。注意：布拉格方程是获得衍射的必要条件而不是充分条件。布拉格方程联系了晶面间距d、入射角θ、波长λ和反射级数n。当知道其中三个量时就可以求出另一个量，所以该方程是衍射中最重要的方程。入射线反射线θθ（100）（200）d100d200（1）反射级数n若X射线照射到(100)晶面，刚好产生二级反射，则2d100

sinθ=2λ设在两个(100)晶面中间插入一个原子分布完全相同的(200)面，并且相邻面光程差为一半，即入射线反射线θθ（100）（200）d100d200则(200)面间距为（100）面间距的一半，即d100=2d2002d200

sinθ=λ上式说明X射线在(200)面发生了一级反射。由于d100=2d200

，所以2(d100/2)

sinθ=λ而上式可以看作是式2d100

sinθ=2λ右边的2移到了左边，也就是说将(100)面的二级反射看成2(100)即(200)的一级反射。更一般地，可以把(hkl)的n级反射看作n(hkl)的一级反射。如果(hkl)面间距为d，则n(hkl)的面间距为d/n，于是布拉格方程可以表示如下

2dsinθ=nλ

2(d/n)sinθ=λ为方便我们将上式2(d/n)sinθ=λ写成2dsinθ=λ。该式认为反射级数永远为1，而反射级数n实际上包含在d之中。也就是说，(hkl)的n级反射可以看成某种虚拟晶面的1级反射。由上面知，晶面(hkl)的n级反射看作n(hkl)的一级反射，n(hkl)可以表示为(HKL)，其中H=nh，K=nk，L=nl，定义(HKL)为反射面或干涉面。晶面(hkl)是实际存在的面，而(HKL)只是为使问题简化而引入的虚拟晶面。干涉面的面指数成为干涉面指数。如无特别说明，布拉格方程所用的面间距一般指干涉面间距。（3）入射角θ：表示衍射的方向根据布拉格方程可以得到：sinθ=λ/2d，可以看出（1）当波长一定时，面间距相同的镜面必然在θ相同的情况下获得衍射。就是说当用单色X射线照射多晶体时，各晶粒中d相同的晶面，其反射线将有确定的方向。（2）干涉面指数根据sinθ=λ/2d，可以看出（2）当波长一定时，面间距d减小，θ增大。就是说面间距小的晶面，其衍射角必须是大的。2）干涉面的划分是无限的，但并非所有的干涉面均能参与衍射，由于dsin

θ=λ/2，所以d≥λ/2。这表明只有间距大于等于波长的一半的那些干涉面才能参与反射。很明显，当采用短X射线照射时，能参与反射的干涉面将会增多。

（4）衍射极限条件入射角θ的极限范围从0--90°，但过大或过小都会造成衍射的观测困难。由于sinθ≤1，这就使得衍射中反射级数n或干涉面间距d受到限制。

2dsinθ=nλ

1）当d一定时，波长减小，n可以增大，这就说明对同一晶面，当采用短X射线照射时，可以获得较多的反射级数，即衍射花样比较复杂。2）用一种已知面间距的晶体来反射从试样发射出来的X射线，再通过衍射角的测量求得X射线的波长，并且从X射线的波长可以确定试样的组成元素。（5）布拉格方程的应用1）用已知波长的X射线照射晶体，通过衍射角的测量求得面间距d----这就是结构分析。衍射方程和发射公式都可以确定衍射线的方向。衍射方程是根据散射线的干涉来确定衍射方向；而反射公式是根据晶面对X射线的反射来确定衍射方向。二者是一致的，可以通过衍射方程推导出反射公式。注意：衍射方程与反射公式是等价的a(cosα-cosα0)=Hλb(cos

β-cosβ0)=Kλc(cos

γ-cosγ0)=Lλ将劳埃三个方程平方：为简单见，设晶体为立方晶系，所以a=b=c，将以上三式相加得：cos2θ=入射线矢量：衍射线矢量：设两矢量夹角为2θ：两边开方：该干涉面的面间距为dhkl/n，干涉面指数（HKL），H=nh，K=nk，L=nl。代入上式得：这里(HKL)称为干涉面指数。所谓干涉面定义如下：晶面(hkl)的n级反射面n(hkl)。对于晶面(hkl)反射方程：2dhklsinθ=nλ而该晶面的n级反射可以看成干涉面的一级反射，即2（dhkl/n）

sinθ=λ2dhklsinθ=nλ2dhkl

sinθ=nλ布拉格方程问题：是否可以用可见光进行晶体衍射呢？不能用可见光进行晶体衍射。由上式可以看出：利用矢量讨论衍射现象：AOCD波程差设O为点阵原点，A为任一格点，格矢可以表示为衍射加强条件为：---劳厄衍射方程又波矢得到令则---劳厄衍射方程设其中面指数，干涉面指数。令则O

反射公式与衍射方程是等价的---劳厄衍射方程又所以倒格空间的衍射方程布拉格方程衍射方向的确定--反射球AAk0k0knKhθθθ则nKh两端的倒格点必落在以k和k0

的交点为中心，2/

为半径的球面上；反之，落在球面上的倒格点必满足，这些倒格点所对应的晶面族将产生反射，所以这样的球称为反射球。又称为爱瓦尔德球（Ewald)B注意：反射球中心并非倒格点位置，O为倒格原点。O如何作反射球呢?CO2/

1）设入射线沿CO方向，取线段CO

=2/

；2）再以C为心，以2/

为半径所作的球就是反射球。3）若P是球面上的一个倒格点，则CP就是以OP为倒格矢的一族晶面（hkl）的反射方向。虚线表示晶面族（hkl）的轨迹。P注意：1）做反射球时，C并非倒格点位置，O为倒格原点;2)OP间无倒格点,所以CP方向的反射是n=1的一级衍射。OPQC3)而倒格矢量OQ联线上还有一倒格点，所以CQ方向的反射是二级衍射。问题：如果入射方向一定，波长一定，一族晶面是否可能同时产生不同的反射级呢？第四节晶体X射线衍射的几种方法a(cosα-cosα0)=Hλb(cos

β-cosβ0)=Kλc(cos

γ-cosγ0)=Lλ由于不可能从四个方程中解出三个变量，必须增加一个变量，或者是波长，或者是入射角。这就构成了X射线分析的几种主要方法：1）连续的X射线照射不动的晶体（劳埃法）；2）周转单晶体法(改变入射角)；3）粉末法，利用单色X射线照射多晶体。1.劳厄法该方法采用连续X射线照射不动的单晶体，入射光方向不变；凡是落到这两个球面之间的区域的倒易格点，均满足布拉格条件，它们将与对应某一波长的反射球面相交而获得衍射。倒格点和各对应球心的连线都表示衍射方向。O利用反射球来解释转动单晶法：可以发现连续X射线的波长存在一个范围，对应的反射球也有一套，其半径从，球心均在入射线方向上。2.转动单晶法该方法采用单色X射线照射转动的单晶体。通常单晶体的转动轴为某已知的主晶轴，即转动轴垂直于X射线。底片在单晶体四周围成圆筒形。依靠旋转单晶体以连续改变各个晶面与入射线的θ角来满足布拉格方程的条件。在单晶体不断旋转的过程中，某组晶面会于某个瞬间和入射线的夹角恰好满足布拉格方程，于是在此瞬间便产生一根衍射线束，在底片上感光出一个感光点。因此结果就构成以转轴为轴的一系列圆锥。OOCPA利用反射球来解释转动单晶法：由于X射线单色，反射球只有一个，固定不动。由于晶体转动，倒格点阵也会转动。为讨论方便，设倒格点阵不动，反射球绕过O的轴转动。反射球绕轴转动一周，落在球面上的倒格点都满足布拉格条件，可以确定反射线的方向。实际中的反射线是通过晶体O的，所以反射线CP就是OA的方向。注意：如果转轴不是任意的，而是晶轴，则底片上衍射斑点的分布规律就特别有意义。所以对应于晶面(0kl)，(1kl)，(2kl)，……，(hkl)的倒格点就分别位于垂直于转轴平面上。这样底片上的衍射斑点就和晶体的参数存在简单的关系。OCPA例如：对于正交系的晶体，如果以a轴为转轴，则同a轴相应的倒格子基矢a*的方向与转轴a重合。3.粉末法该方法用单色的X射线照射多晶体。多晶体式样多采用粉末、块状、板状、丝状等试样。从反射球方面解释：反射球只有一个，而多晶体中，各个晶粒随机取向，每种取向导致倒易点阵的轴矢发生变化，倒易阵点的位置随之变化，使得倒易阵点与Ewald球面相交产生衍射。OCPhklhkl2θ2θ由于众多颗粒在空间随机分布，就使得在空间任意方位都可以找到某一晶面（hkl），在2θ方向上产生衍射，结果衍射线形成一个顶角为4θ，以入射线为轴的圆锥。结果在以式样为中心围成的圆筒底片上出现了许多圆环。例1：设有某一晶体具有简单正交格子的结构，其棱边长度分别为a、b、c，现在沿该晶体的［1，0，0］方向入射X射线。（1）确定在哪些方向上出现衍射极大？并指出在什么样的波长下，能观察到这些衍射极大。（2）如果采用劳厄法作X-射线衍射实验，请指出衍射斑点的分布。解：简单正交格子正格基矢：表示沿三个坐标轴方向的单位矢量。其倒格基矢：倒格矢：据题意，入射的X射线的波矢设衍射波矢为（衍射前后波长保持不变）简单正交格子正格基矢：由劳厄衍射方程：得：（2）由波长一式可以看出，如果（nh,nk,nl）满足衍射极大的话，那么也满足衍射极大。与对应的衍射方向表示成。它们是以［1，0，0］为轴二度旋转对称的，所以其衍射斑点将呈现出二度旋转对称性。第五节原子散射因子和几何结构因子X射线与晶体相互作用X射线受原子散射X射线受原子中电子的散射各原子的散射波间相互干涉某些方向干涉极大某些方向干涉极小原子散射因子几何结构因子原子内每个电子对X射线散射波振幅Ae原子内所有电子对X射线散射波振幅Aa原子散射因子f=Aa/Ae1.原子散射因子(1)定义原子内所有电子的散射波的振幅的几何和与一个电子的散射波的振幅之比称为该原子的散射因子。(2)计算OP为原子中某一点P的位矢，设O处一个电子产生的散射波的振幅为Ae，则P点的一个电子产生的散射波的振幅就是：和分别为入射方向和散射方向的单位矢量，则P点和O点散射波之间的位相差为：

设为电子分布函数(概率密度)，在P点附近体积元d

内的电子个数为：。

这个电子产生的散射波的振幅就是：原子中所有电子引起的散射波的总振幅为：原子散射因子：讨论：(1)因为一定，只依赖于散射方向，因此，原子散射因子是散射方向的函数；(2)不同原子，不同，因此，不同原子具有不同的散射因子；(3)原子所引起的散射波的总振幅也是散射方向的函数，也因原子而异。若电子分布函数是球面对称的，引入径向分布函数U（r)

则U(r)dr表示电子在r和r+dr球壳内的几率把用极坐标表示，取以S为极轴的极坐标，则令

即沿入射方向，原子散射波的振幅等于各个电子散射波的振幅的代数和。由傅里叶逆变换得：实验测知原子散射因子，可求出电子在原子内的分布。当2.几何结构因子几何结构因子是相对于复式格子而言的。对于复式格子，由两个以上的布拉菲格子套构而成，并且这些布拉菲格子具有相同的周期，因而它们衍射加强满足于相同的布拉格条件，即一个布拉菲格子在某一方向得出衍射极大，则其他的布拉菲格子也在同一方向得出衍射极大。很显然，各布拉菲格子在该方向的衍射极大又将相互干涉，总的衍射强度取决于各布拉菲格子的晶面间的相对位移，以及这些晶面反射线的相对强度，即总的衍射强度取决原胞中原子的相对位置和原子的散射因子。(1)定义

原胞内所有原子的散射波，在所考虑方向上的振幅与一个电子的散射波的振幅之比。(2)计算设原胞内有n个原子，它们的位矢分别为位矢为的原子和原点处的原子的散射波的位相差为：OP在所考虑方向上,几何结构因子为又

所以

根据

例1：面心立方晶格的几何结构因子。面心立方平均每个布拉维原胞包含4个原子，将其坐标代入公式:得：当部分为奇数或部分为偶数时，几何结构因子为零，相应的反射消失。例2：体心立方晶格的几何结构因子。体心立方平均每个布拉维原胞包含2个原子，将其坐标代入公式:得：例3：金刚石结构的几何结构因子金刚石结构平均每个布拉维原胞包含8个原子，将其坐标：代入

S1正是在面心立方格点上所放置的基元的结构因子。例4：一氯化铯结构的AB晶体，A与B离子的散射因子分别为fA和fB，且为实数。(1)求出晶体的几何结构因子；(2)设fA=fB，求衍射消光条件；(3)设fA=fB，粉末衍射中最小衍射角为300，X光波长为求晶格常数。解:(1)A离子坐标为,B离子坐标为(2)为奇数时消光。(3)对应于最小的衍射角

=300，例5：采用转动单晶法对某一具有简单四角格子结构的单晶体作X射线衍射实验，晶体绕四度旋转轴---C轴进行转动，波长

=0.1542nm的X射线沿着垂直于C轴的方向入射。感光胶卷的半径r=3cm。第0层线上的衍射斑点离中心点(即入射线的斑点)的距离分别为0.54，0.75，1.08，1.19，1.52，1.63，1.71，1.97cm。而第1层线与第0层线间的距离为0.66cm。试求该晶体的晶格常量a和c。解：四方晶系：正格基矢：倒格基矢：中心点第0层第1层O第2层(1)求c：转轴沿C方向，所以所有倒格矢分别处在第0，1，2等平面层内,这些平面层都与C轴垂直。OCA

BOCA

B第0