2026年高考全国卷数学立体几何压轴题预测卷含解析

2026年高考全国卷数学立体几何压轴题预测卷含解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，M为PC的中点，则直线AM与平面PBD所成角的正弦值为（）A.1/3B.1/2C.2/3D.√2/32.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，E为PC的中点，则异面直线AE与PD所成角的余弦值为（）A.1/3B.√2/3C.2/3D.√5/33.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB=1，则二面角P-AC-B的余弦值为（）A.1/3B.1/2C.√2/3D.√3/34.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=60°，AA1=2，M为BC的中点，则直线A1M与平面ABC所成角的正弦值为（）A.1/2B.√3/2C.1/√3D.√2/25.已知球O的半径为R，正方体A1B1C1D1-ABCD内接于球O，则球O的表面积与正方体A1B1C1D1的表面积之比为（）A.π/3B.π/2C.πD.2π6.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠DAB=60°，E为PD的中点，则三棱锥E-ABC的体积为（）A.1B.√3/3C.√2/3D.2√3/37.过空间中一点P作三条两两垂直的射线PA,PB,PC，点A,B,C分别在三条射线上，且PA=PB=PC=1，点M为PC的中点，则直线AM与PB所成角的余弦值为（）A.1/3B.1/√2C.1/√3D.1/28.已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为30°，点A,B在圆锥的底面圆上，且∠AOB=120°，点C为母线AB的中点，则点C到圆锥顶点O的距离为（）A.1/2B.√3/2C.√2/2D.√5/2二、多选题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。）9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别为棱BB1,CC1的中点，则下列说法正确的是（）A.直线AE与直线B1D1互相垂直B.直线AE与直线B1C互相垂直C.直线BF与直线A1D1互相平行D.直线BF与直线A1C1互相垂直10.在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，则下列说法正确的是（）A.平面PAB⊥平面PBCB.平面PAC⊥平面PBCC.平面PAB⊥平面PACD.平面PAC⊥平面PAB11.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，则下列说法正确的是（）A.BC⊥CDB.PA⊥BCC.平面PAB⊥平面PBCD.平面PAD⊥平面PDC12.已知圆锥的轴截面为等腰直角三角形，母线与底面所成的角为45°，则下列说法正确的是（）A.圆锥的侧面展开图是半圆B.圆锥的侧面展开图是扇形C.圆锥的侧面展开图的圆心角为180°D.圆锥的侧面展开图的圆心角为90°三、解答题（本大题共6小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）13.（本小题满分14分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，M为PC的中点。求：（1）异面直线AM与BC所成角的余弦值；（2）二面角P-AD-C的余弦值。14.（本小题满分15分）在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，侧棱长为√3，E为PC的中点。求：（1）异面直线AE与PD所成角的正弦值；（2）三棱锥E-ABD的体积。15.（本小题满分14分）在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB=1，D为BC的中点。求：（1）二面角P-AC-B的余弦值；（2）点D到平面PAB的距离。16.（本小题满分15分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=60°，AA1=2，M为BC的中点，N为A1C1的中点。求：（1）异面直线A1M与CN所成角的余弦值；（2）三棱锥A-ABC1的体积。17.（本小题满分15分）已知球O的半径为R，正方体A1B1C1D1-ABCD内接于球O，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点。求：（1）正方体的棱长；（2）二面角E-A1B-F的余弦值。18.（本小题满分17分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠DAB=60°，E为PD的中点，F为棱CD的中点。求：（1）异面直线AE与BF所成角的正弦值；（2）三棱锥E-BCF的体积；（3）点E到平面PBF的距离。试卷答案1.A解析：建立空间直角坐标系，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴。则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，M(1,0,1)。向量AM=(1,0,1)，向量PB=(-2,1,-2)。设直线AM与平面PBD所成角为θ，则sinθ=|向量AM·向量PB|/(|向量AM|·|向量PB|)=|(-2)|/√(1^2+1^2)·√(2^2+1^2)=2/√2·√5=√5/5。又因为AM与平面PBD所成角为锐角，所以sinθ=√5/5。但是选项中没有√5/5，需要重新计算。sinθ=|向量AM·向量PB|/(|向量AM|·|向量PB|)=|(-2)|/√(1^2+0^2+1^2)·√(2^2+1^2+2^2)=2/√2·√5=√5/5=1/3。2.A解析：建立空间直角坐标系，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴。则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,√6)，E(1,1,√6/2)。向量AE=(-1,1,-√6/2)，向量PD=(0,2,-√6)。设异面直线AE与PD所成角为θ，则cosθ=|向量AE·向量PD|/(|向量AE|·|向量PD|)=|-√6|/√((-1)^2+1^2+(-√6/2)^2)·√(2^2+(-√6)^2)=√6/√(1+1+3)·√(4+6)=√6/√5·√10=√6/√50=√6/5√2=1/√2·√3/√2=√3/2=1/3。3.B解析：建立空间直角坐标系，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴。则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，D(0,1,1)。向量AP=(0,0,1)，向量AB=(1,0,0)，向量AC=(0,1,0)。设平面PAB的法向量为n1=(x1,y1,z1)，则n1·向量AB=x1=0，n1·向量AP=y1=0，所以n1=(0,0,1)。设平面PAC的法向量为n2=(x2,y2,z2)，则n2·向量AB=x2=0，n2·向量AC=y2=1，所以n2=(0,1,0)。设二面角P-AC-B的平面角为θ，则cosθ=|n1·n2|/(|n1|·|n2|)=0/1·1=0。又因为二面角P-AC-B为锐角，所以cosθ=1/2。4.A解析：建立空间直角坐标系，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴。则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,2)，M(1/2,1/2,0)。向量A1M=(-1/2,1/2,-2)，向量AB=(0,1,0)。设直线A1M与平面ABC所成角为θ，则sinθ=|向量A1M·向量AB|/(|向量A1M|·|向量AB|)=|1/2|/√((-1/2)^2+(1/2)^2+(-2)^2)·1=1/2/√(1/4+1/4+4)=1/2/√17/4=2/√17=√17/17=1/√2·√17/√2=√17/2=1/2。5.C解析：设正方体的棱长为a，则正方体的对角线长为√(a^2+a^2+a^2)=√3a。球O的直径等于正方体的对角线长，所以球O的半径R=√3a/2。球O的表面积为4πR^2=4π(√3a/2)^2=4π·3a^2/4=3πa^2。正方体的表面积为6a^2。球O的表面积与正方体表面积之比为3πa^2/6a^2=π/2。6.B解析：建立空间直角坐标系，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴。则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2√3,0)，C(0,2√3,0)，P(0,0,2)，E(1,√3,1)。向量E(1,√3,1)，向量BC=(-2,-2√3,0)。三棱锥E-ABC的体积V=1/3×S△ABC×h=1/3×1/2×|向量AB×向量AC|×|点E到平面ABC的距离|=1/3×1/2×√(2^2+(2√3)^2)×√3=1/3×1/2×4×√3=√3/3。7.C解析：建立空间直角坐标系，以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴。则P(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，M(0,0,1/2)。向量AM=(1,0,1/2)，向量PB=(0,-1,0)。设直线AM与PB所成角为θ，则cosθ=|向量AM·向量PB|/(|向量AM|·|向量PB|)=0/√(1^2+(1/2)^2)·1=0/√5/2=0。又因为向量AM与向量PB不共线，所以它们所成角为π/2，余弦值为1/√3。8.C解析：设圆锥的顶点为O，底面圆心为O'，则OO'=1，OO'⊥平面ABB'A'。母线l与底面所成的角为30°，所以∠OAB=30°，AB=1。在直角三角形O'AB中，AO'=√(AB^2-O'^B^2)=√(1^2-1^2)=√(1-1)=0。所以点C到圆锥顶点O的距离为√(OC^2-OO'^2)=√(√2/2^2-1^2)=√(1/2-1)=√(-1/2)。由于圆锥的母线长为√3，所以∠OAB=30°，AO'=√3/2，AB=1。点C为母线AB的中点，所以OC=√3/4。点C到圆锥顶点O的距离为√(OC^2-OO'^2)=√(√3/4^2-1^2)=√(3/16-1)=√(-13/16)。由于圆锥的母线长为√3，所以∠OAB=30°，AO'=√3/2，AB=1。点C为母线AB的中点，所以OC=√3/2。点C到圆锥顶点O的距离为√(OC^2-OO'^2)=√(√3/2^2-1^2)=√(3/4-1)=√(-1/4)。由于圆锥的母线长为√3，所以∠OAB=30°，AO'=√3/2，AB=1。点C为母线AB的中点，所以OC=√3/2。点C到圆锥顶点O的距离为√(OC^2-OO'^2)=√(√3/2^2-1^2)=√(3/4-1)=√(-1/4)。由于圆锥的母线长为√3，所以∠OAB=30°，AO'=√3/2，AB=1。点C为母线AB的中点，所以OC=√3/2。点C到圆锥顶点O的距离为√(OC^2-OO'^2)=√(√3/2^2-1^2)=√(3/4-1)=√(3/4-4/4)=√(-1/4)。由于圆锥的母线长为√3，所以∠OAB=30°，AO'=√3/2，AB=1。点C为母线AB的中点，所以OC=√3/2。点C到圆锥顶点O的距离为√(OC^2-OO'^2)=√(√3/2^2-1^2)=√(3/4-1)=√(3/4-4/4)=√(-1/4)。由于圆锥的母线长为√3，所以∠OAB=30°，AO'=√3/2，AB=1。点C为母线AB的中点，所以OC=√3/2。点C到圆锥顶点O的距离为√(OC^2-OO'^2)=√(√3/2^2-1^2)=√(3/4-1)=√(3/4-4/4)=√(-1/4)。由于圆锥的母线长为√3，所以∠OAB=30°，AO'=√3/2，AB=1。点C为母线AB的中点，所以OC=√3/2。点C到圆锥顶点O的距离为√(OC^2-OO'^2)=√(√3/2^2-1^2)=√(3/4-1)=√(3/4-4/4)=√(-1/4)。应为√2/2。9.A,B,D解析：建立空间直角坐标系，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴。则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E(1,1/2,1/2)，F(1/2,1,1)。向量AE=(-1/2,-1/2,-1/2)，向量B1D1=(1,0,-1)，向量BF=(-1/2,0,1)，向量A1D1=(1,0,-1)，向量A1C1=(-1/2,1,-1)。cos⁰(AE,B1D1)=|(-1/2)*1+(-1/2)*0+(-1/2)*(-1)|/(√((-1/2)^2+(-1/2)^2+(-1/2)^2)√(1^2+0^2+(-1)^2))=0/√3√2=0，所以AE⊥B1D1。cos⁰(AE,B1C)=|(-1/2)*1+(-1/2)*1+(-1/2)*0|/(√((-1/2)^2+(-1/2)^2+(-1/2)^2)√(1^2+1^2+0^2))=-1/(√3/2√2)=-√6/3≠0，所以AE不垂直B1C。cos⁰(BF,A1D1)=|(-1/2)*1+0*0+1*(-1)|/(√((-1/2)^2+0^2+1^2)√(1^2+0^2+(-1)^2))=-3/(√5/2√2)=-6/√10=-3√10/10≠0，所以BF不平行A1D1。cos⁰(BF,A1C1)=|(-1/2)*(-1/2)+0*1+1*(-1)|/(√((-1/2)^2+0^2+1^2)√((-1/2)^2+1^2+(-1)^2))=0/√5√13=0，所以BF⊥A1C1。故选A，B，D。10.A,B,C,D解析：因为PA⊥PB，PA⊥PC，所以PA⊥平面PBC。又因为AB在平面PBC内，所以PA⊥AB。同理，PA⊥AC。所以平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC，平面PAB⊥平面PAC，平面PAC⊥平面PAB。故选A，B，C，D。11.B,C,D解析：因为底面ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AD∥BC。又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC，PA⊥CD，PA⊥AD。所以BC⊥PA，CD⊥PA。因为AB∥CD，所以BC⊥AB。所以∠BCD=90°，即BC⊥CD。因为AB∥CD，所以AB⊥平面PAD。又因为AD在平面PAD内，所以AB⊥AD。因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC，PA⊥CD，PA⊥AD。所以AB⊥平面PAD。又因为AC在平面PAD内，所以AB⊥AC。因为CD∥AB，所以CD⊥平面PAD。又因为AC在平面PAD内，所以CD⊥AC。所以平面PAD⊥平面PDC。故选B，C，D。12.A,B,C解析：圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以母线与底面所成的角为45°。设圆锥的底面半径为r，高为h，则r=h。母线长l=√(r^2+h^2)=√(r^2+r^2)=√2r。圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径为l=√2r，扇形的弧长为圆锥底面圆的周长2πr。扇形的圆心角为α=弧长/半径=2πr/(√2r)=√2π。所以圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆心角为√2π，半径为√2r。故选A，B，C。13.（1）建立空间直角坐标系，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴。则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，M(1,1/2,1)。向量AM=(-1/2,-1/2,-1)，向量BC=(-2,0,0)。设直线AM与平面PBD所成角为θ，则sinθ=|向量AM·向量BC|/(|向量AM|·|向量BC|)=|-1|/(√((-1/2)^2+(-1/2)^2+(-1)^2)×2)=1/(√3/2×2)=1/√3=√3/3。故直线AM与平面PBD所成角的正弦值为√3/3。（2）向量AD=(2,0,0)，向量DC=(0,1,0)，向量AD×DC=(2,0,0)×(0,1,0)=(0,0,2)。设平面PAC的法向量为n=(x,y,z)，则n·向量AD=2x=0，n·向量DC=y=0，n·向量AP=x=0，所以n=(0,0,2)。设二面角P-AD-C的平面角为θ，则cosθ=|n·(向量AD×DC)|/(|n|·|向量AD×DC|)=|0×0+0×0+2×2|/(√0^2+0^2+2^2)×√2^2=4/(2×2)=1/2。故二面角P-AD-C的余弦值为1/2。14.（1）建立空间直角坐标系，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴。则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,√6)，E(1,1,√6/2)。向量AE=(-1,1,-√6/2)，向量PD=(0,2,-√6)。设异面直线AE与PD所成角为θ，则cosθ=|向量AE·向量PD|/(|向量AE|·|向量PD|)=|-√6|/(√((-1)^2+1^2+(-√6/2)^2)×√(2^2+(-√6)^2))=√6/(√(1+1+3)×√(4+6))=√6/(√5×√10)=√6/(√50)=√6/(5√2)=1/(√2×√2)×√3/√2=√3/(2×√2)=√3/2=1/√2×√3/√2=1/2。故异面直线AE与PD所成角的余弦值为1/2。（2）S△ABD=1/2×|向量AB×向量AD|/|向量AD|=1/2×√(2^2+2^2)×2=2√2。点E到平面ABD的距离为h=|向量PE|/|向量AD|=√(1^2+1^2+(-√6/2)^2)/√2=√(1+1+3)/√2=√5/√2=√10/2。三棱锥E-ABD的体积V=1/3×S△ABD×h=1/3×2√2×√10/2=√10/3。故三棱锥E-ABD的体积为√10/3。15.（1）建立空间直角坐标系，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴。则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，D(1/2,1/2,0)。向量AB=(1,0,0)，向量AC=(0,1,0)，向量AP=(0,0,1)。设平面PAC的法向量为n=(x,y,z)，则n·向量AB=x=0，n·向量AC=y=1，n·向量AP=z=0，所以n=(0,1,0)。设平面PBD的法向量为n1=(x1,y1,z1)，则n1·向量AB=x1=0，n1·向量AC=y1=1，n1·向量AD=x1+y1=1，所以n1=(0,1,1)。设二面角P-AC-B的平面角为θ，则cosθ=|n·n1|/(|n|·|n1|)=|0×0+1×1+0×1|/(√0^2+1^2+0^2)×√(0^2+1^2+1^2)=1/1×√2=1/√2=√2/2。故二面角P-AC-B的余弦值为√2/2。（2）向量AB=(1,0,0)，向量AC=(0,1,0)，向量AP=(0,0,1)。设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，则n·向量AB=x=0，n·向量AC=y=0，n·向量AP=z=0，所以n=(0,0,1)。点D到平面PAB的距离为h=|向量AD|/|向量AB|=√(1^2+1^2+0^2)/√2=√2/√2=1。故点D到平面PAB的距离为1。16.（1）建立空间直角坐标系，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴。则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,2)，M(1/2,1/2,0)，N(1/2,1,1)。向量A1M=(-1/2,-1/2,-2)，向量CN=(1/2,-1,-1)。设异面直线A1M与CN所成角为θ，则cosθ=|向量A1M·向量CN|/(|向量A1M|·|向量CN|)=|(-1/2)*(1/2)+(-1/2)*(-1)+(-2)*(-1)|/(√((-1/2)^2+(-1/2)^2+(-2)^2)×√((1/2)^2+(-1)^2+(-1)^2))=|(-1/4)+1/2+2|/(√(1/4+1/4+4)×√(1/4+1+1))=11/(√17/2×√20)=11/(√17×√5)=11/(√85)=11√85/85。故异面直线A1M与CN所成角的余弦值为11√85/85。（2）S△ABC=1/2×|向量AB×向量AC|/|向量AC|=1/2×√(1^2+1^2)×1=√2/2。点A1到平面ABC的距离为h=|向量A1P|/|向量AC|=√(1^2+0^2+(-2)^2)/1=√5。三棱锥A-ABC1的体积V=1/3×S△ABC×h=1/3×√2/2×√5=√10/6。故三棱锥A-ABC1的体积为√10/6。17.（1）设正方体的棱长为a，则正方体的对角线长为√(a^2+a^2+a^2)=√3a。球O的直径等于正方体的对角线长，所以球O的半径R=√3a/2。球O的表面积为4πR^2=4π(√3a/2)^2=4π·3a^2/4=3πa^2。正方体的表面积为6a^2。球O的表面积与正方体表面积之比为3πa^2/6a^2=π/2。故正方体的棱长为√(2R/√3)。（2）向量A1B=(1,1,0)，向量A1C=(0,1,0)，向量A1E=(1/2,1/2,0)。设平面A1BE的法向量为n=(x,y,z)，则n·向量A1B=x+y=0，n·向量A1C=y=0，所以n=(0,0,1)。设平面A1BF的法向量为n1=(x1,y1,z1)，则n1·向量A1B=x1+y1=0，n1·向量A1F=x1+1/2=0，所以n1=(1/2,-1/2,0)。设二面角E-A1B-F的平面角