第一章　第3课时　自由落体运动和竖直上抛运动　多过程问题-2026版一轮复习

第3课时自由落体运动和竖直上抛运动多过程问题目标要求1.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点，知道竖直上抛运动的对称性和多解性。2.能灵活处理多过程问题。考点一自由落体运动1.条件：物体只受重力，从静止开始下落。2.运动性质：初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动。3.基本规律：(1)速度与时间的关系式：v＝gt。(2)位移与时间的关系式：h＝12gt2(3)速度位移关系式：v2＝2gh。1.重的物体总是比轻的物体下落得快。(×)2.同一地点，轻重不同的物体的g值一样大。(√)3.自由落体加速度的方向垂直地面向下。(×)4.做自由落体运动的物体在1s内速度增加约9.8m/s。(√)5.不计空气阻力，物体从某高度由静止下落，任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差恒定。(√)例1(2024·广西卷·3)让质量为1kg的石块P1从足够高处自由下落，P1在下落的第1s末速度大小为v1，再将P1和质量为2kg的石块绑为一个整体P2，使P2从原高度自由下落，P2在下落的第1s末速度大小为v2，g取10m/s2，则()A.v1＝5m/s B.v1＝10m/sC.v2＝15m/s D.v2＝30m/s答案B解析重物自由下落做自由落体运动，与质量无关，则下落1s后速度为v1＝v2＝gt＝10×1m/s＝10m/s，故选B。例2(2025·山东临沂市期中)对于自由落体运动(g取10m/s2)，下列说法正确的是()A.在前1s内、前2s内、前3s内的位移大小之比是1∶3∶5B.在相邻两个1s内的位移之差都是10mC.在第1s内、第2s内、第3s内的平均速度大小之比是1∶2∶3D.在1s末、2s末、3s末的速度大小之比是1∶3∶5答案B解析在前1s内、前2s内、前3s内的位移大小之比是1∶4∶9，故A错误；在相邻两个1s内的位移之差都是Δx＝gT2＝10m，故B正确；在第1s内、第2s内、第3s内的位移大小之比为1∶3∶5，所以平均速度大小之比为1∶3∶5，故C错误；在1s末、2s末、3s末的速度大小之比是1∶2∶3，故D错误。例3(2024·山东临沂市阶段考试)某校物理兴趣小组，为了了解高空坠物的危害，将一个鸡蛋从离地面20m高的高楼面由静止释放，下落途中用Δt＝0.2s的时间通过一个窗口，窗口的高度为2m，忽略空气阻力的作用，重力加速度g取10m/s2，求：(1)鸡蛋落地时的速度大小和落地前最后1s内的位移大小；(2)高楼面离窗的上边框的高度；(3)若隔0.5s先后释放两个鸡蛋，试分析在鸡蛋落地前两鸡蛋之间的距离如何变化？答案(1)20m/s15m(2)4.05m(3)两鸡蛋之间的距离均匀增大解析(1)根据速度与位移关系v2＝2gh，解得鸡蛋落地时速度大小为v＝20m/s，设鸡蛋自由下落时间为t，根据速度与时间关系得t＝vg＝2鸡蛋在第1s内的位移为h1＝12gt12＝则鸡蛋落地前最后1s内的位移大小为h2＝h－h1＝15m(2)由题意知，窗口的高度为h3＝2m设高楼面离窗的上边框的高度为h0，鸡蛋从高楼面运动到窗的上边框的时间为t0，则h0＝12gt02，h0＋h3＝12g(t0＋联立解得h0＝4.05m(3)未落地前，设第二个鸡蛋运动了时间T，则第一个鸡蛋运动了T＋ΔT第一个鸡蛋下落高度H1＝12g(T＋ΔT)2，第二个鸡蛋下落高度为H2＝12gT2，二者之间的距离ΔH＝H1－H2＝12gΔT2＋gΔT·T，ΔH1.自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，故初速度为零的匀加速直线运动的规律、比例关系及推论等规律都适用。2.物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。考点二竖直上抛运动1.运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动。2.运动性质：匀变速直线运动。3.基本规律(1)速度与时间的关系式：v＝v0－gt。我用夸克网盘分享了「与您分享-国家、地方、行业、团体标准」，点击链接即可保存。打开「夸克APP」，无需下载在线播放视频，畅享原画5倍速，支持电视投屏。链接：/s/45a9f612fe59提取码：t9EX联系qq:1328313560我的道客巴巴：/634cd7bd0a3f5a7311db139533c20794

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(2)位移与时间的关系式：x＝v0t－12gt24.竖直上抛运动的对称性(如图所示)(1)时间对称：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理tAB＝tBA。(2)速度对称：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等。物体做竖直上抛运动，取竖直向上为正方向，在上述速度与时间的关系式中，把时间t代入后，若速度v为负值，负号表示什么意义？在上述位移与时间的关系式中，把时间t代入后，若位移为负值，又表示什么意义？答案速度为负值，表示物体运动方向向下；位移为负值，表示物体已经运动到抛出点下方。例4为测试一物体的耐摔性，在离地25m高处，将其以20m/s的速度竖直向上抛出，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，则物体(1)经过多长时间到达最高点？(2)抛出后离地的最大高度是多少？(3)经过多长时间回到抛出点？(4)经过多长时间落到地面？(5)经过多长时间离抛出点15m？答案(1)2s(2)45m(3)4s(4)5s(5)1s3s(2＋7)s解析(1)运动到最高点时速度为0，由v＝v0－gt1得t1＝－v-v0g(2)由v02＝2ghmax得hmax＝v022所以Hmax＝hmax＋h0＝45m(3)法一：分段，由(1)(2)知上升时间t1＝2s，hmax＝20m，下落时，hmax＝12gt解得t2＝2s，故t＝t1＋t2＝4s法二：由对称性知返回抛出点时速度为20m/s，方向向下，则由v1＝v0－gt，得t＝－v1-v0法三：由h＝v0t－12gt2，令h＝0解得t3＝0(舍去)，t4＝4s(4)法一：分段法由Hmax＝12gt52，解得t5＝3s，故t总＝t1＋t5＝法二：全程法由－h0＝v0t'－12gt'解得t6＝－1s(舍去)，t7＝5s(5)当物体在抛出点上方时，h＝15m，由h＝v0t－12gt2，解得t8＝1s，t9＝3s当物体在抛出点下方时，h＝－15m，由h＝v0t－12gt2，得t10＝(2＋7)s，t11＝(2－7)s(舍去)1.竖直上抛运动的研究方法：分段法上升阶段：a＝g的匀减速直线运动下降阶段：自由落体运动全程法初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－12gt2(以竖直向上为正方向若v>0，物体上升，若v<0，物体下落若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方2.竖直上抛运动的多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性。考点三多过程问题例5在游乐场中有一种大型游戏项目“垂直极限”，如图所示，参加游戏的游客被安全带固定在座椅上，由电动机将座椅沿竖直轨道(可视为光滑轨道)提升到离地面一定高度处，然后由静止释放，可以认为座椅沿轨道做自由落体运动，下落2s后座椅受到压缩空气提供的恒定阻力作用而立即做匀减速运动，再经历4s座椅速度恰好减为零，关于座椅的运动情况，下列说法正确的是()A.自由落体阶段和匀减速阶段的平均速度大小之比v1∶v2＝1B.自由落体阶段和匀减速阶段的平均速度大小之比为v1∶v2＝2C.自由落体阶段和匀减速阶段的位移大小之比x1∶x2＝2∶1D.自由落体阶段和匀减速阶段的加速度大小之比a1∶a2＝1∶2答案A解析设全过程最大速度为vm，根据匀变速直线运动推论：v＝v0＋v2可知自由落体阶段和匀减速阶段的平均速度v1＝v2＝0＋vm2＝vm2，故A匀变速直线运动多过程中的0－v－0模型1.题型特征：物体的初速度为0，先匀加速到v，再匀减速到末速度为0。2.分段结论：t1t2＝x1x2＝a2a1，t1、t23.全程结论：加速阶段、减速阶段和全程的平均速度相同，最大速度vm＝2v＝例6(来自教材改编)(2024·山东临沂市开学考)ETC是电子不停车收费系统的简称。汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示。假设汽车以v1为12m/s的速度朝收费站沿直线行驶，如果过ETC通道，需要在距收费站中心线前d＝10m处正好匀减速至v2为4m/s，匀速通过中心线后，再匀加速至v1正常行驶；如果过人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过t0＝20s缴费成功后，再启动汽车匀加速至v1正常行驶，设汽车加速和减速过程中的加速度大小均为1m/s2。求：(1)汽车过ETC通道时，从开始减速至恢复正常行驶过程中的位移大小；(2)汽车过人工收费通道时，应在离收费站中心线多远处开始减速；(3)汽车过ETC通道比过人工收费通道节约的时间。答案(1)138m(2)72m(3)25s解析(1)过ETC通道时，减速的位移和加速的位移相等，则x1＝v12-v故总的位移x总1＝2x1＋d＝138m。(2)过人工收费通道时，开始减速时距离中心线的距离为x2＝v122a＝(3)过ETC通道的时间t1＝v1-v2a×2＋过人工收费通道的时间t2＝v1a×2＋t0＝44x总2＝2x2＝144m二者的位移差Δx＝x总2－x总1＝6m在这段位移内汽车以正常行驶速度做匀速直线运动，则Δt＝t2－(t1＋Δxv1)＝25匀变速直线运动多过程的解题策略1.一般的解题步骤(1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观呈现物体运动的全过程。(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，设出中间量。(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程。2.解题关键多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对连接点速度的求解往往是解题的关键。课时精练(分值：100分)1~6题每小题6分，7题9分，共45分1.某兴趣小组用频闪摄影的方法研究自由落体运动，实验中把一高中物理课本竖直放置，将一小钢球从与书上边沿等高处静止释放，如图所示，忽略空气阻力，结合实际，频闪频率约为()A.12Hz B.20HzC.28Hz D.36Hz答案A解析物理课本长度约为l=0.3m，由题图可知，设闪光周期为T，钢球从物理课本上边沿到下边沿经过4次闪光，可知钢球下落时间为t=3T，钢球做自由落体运动l=12gt2，又f=1T，解得f≈12Hz，故选2.(2025·山东菏泽市校考)以8m/s的初速度从地面竖直上抛一石子，该石子两次经过小树顶端的时间间隔为0.8s，g取10m/s2，不计空气阻力，则小树高约为()A.0.8m B.1.6mC.2.4m D.3.2m答案C解析石子竖直上升的最大高度为H＝v22g＝3.2m，由题意可知，石子从最高点运动到小树顶端的时间为t1＝t2＝0.4s，则最高点到小树顶端的距离为h1＝12gt12＝0.8m，则小树高约为h＝H－h13.甲、乙两物体距水平地面的高度之比为1∶2，所受重力之比为1∶2。某时刻两物体同时由静止开始下落。不计空气阻力的影响。下列说法正确的是()A.甲、乙落地时的速度大小之比为1∶2B.所受重力较大的乙物体先落地C.在两物体均未落地前，甲、乙的加速度大小之比为1∶2D.在两物体均未落地前，甲、乙之间的距离越来越近答案A解析由于不计空气阻力，两物体均做自由落体运动，由v2＝2gh可知v＝2gh，所以甲、乙落地时的速度大小之比为1∶2，故A正确；由h＝12gt2可知t＝2hg，所以物体做自由落体运动的时间取决于高度，与物体所受重力的大小无关，即甲物体先落地，故B错误；由于两物体都做自由落体运动，加速度均为重力加速度，故4.(2021·湖北卷·2)2019年，我国运动员陈芋汐获得国际泳联世锦赛女子单人10米跳台冠军。某轮比赛中，陈芋汐在跳台上倒立静止，然后下落，前5m完成技术动作，随后5m完成姿态调整。假设整个下落过程近似为自由落体运动，重力加速度大小取10m/s2，则她用于姿态调整的时间约为()A.0.2s B.0.4s C.1.0s D.1.4s答案B解析陈芋汐下落的整个过程所用的时间为t＝2Hg＝2×10下落前5m的过程所用的时间为t1＝2hg＝2×510则陈芋汐用于姿态调整的时间约为t2＝t－t1＝0.4s，故B正确。5.(2024·山东滨州市期中)如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个H4所用的时间为t1，第四个H4所用的时间为t2。不计空气阻力，则t2tA.1<t2t1<2C.3<t2t1<4答案C解析由逆向思维和初速度为零的匀加速直线运动比例式可知t2t1＝12-3＝2＋36.(2022·全国甲卷·15)长为l的高速列车在平直轨道上正常行驶，速率为v0，要通过前方一长为L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v(v<v0)。已知列车加速和减速时加速度的大小分别为a和2a，则列车从减速开始至回到正常行驶速率v0所用时间至少为()A.v0-C.3(v0答案C解析由题知当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v(v<v0)，则列车进隧道前必须减速到v，若用时最少，则列车先匀减速到v进入隧道，再在隧道中匀速运动，出了隧道再匀加速到v0。则有v＝v0－2at1，解得t1＝v0-v2a，在隧道内匀速运动时有t2＝L＋lv，列车尾部出隧道后立即加速到v0，有v0＝v＋at3，解得t3＝v0-va，则列车从减速开始至回到正常行驶速率v0所用时间至少为t＝t7.(9分)(来自教材改编)(2024·山东临沂市期中)某人在室内以窗户为背景摄影时，恰好把窗外从高处落下的一个小石子拍摄在照片中，已知本次摄影的曝光时间是0.01s。测得照片中石子运动痕迹的长度为0.6cm，实际长度为100cm的窗框在照片中的长度为2cm(g取10m/s2)。(1)(3分)根据照片估算曝光时间内石子下落的距离为m；

(2)(3分)估算曝光时刻石子运动的速度为m/s；

(3)(3分)估算这个石子大约是从距离窗户m高的地方落下的。

答案(1)0.3(2)30(3)45解析(1)设在曝光时间0.01s内，石子实际下落的距离为L，由题意得2cm解得L＝30cm＝0.3m(2)考虑到曝光时间极短，石子的平均速度近似等于瞬时速度，则石子在这0.01s内的速度为v＝LΔ解得v＝30m/s(3)石子做自由落体运动，故h＝v解得h＝45m。8~10题每小题8分，11题14分，共38分8.打弹弓是一款传统游戏，射弹花样繁多，燕子钻天是游戏的一种，如图所示，一表演者将弹丸竖直向上射出后，弹丸上升过程中在最初1s内上升的高度与最后1s内上升的高度之比为9∶1，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，则弹丸在上升过程中最初1s内中间时刻的速度大小和上升的最大高度分别为()A.45m/s125m B.45m/s75mC.36m/s125m D.36m/s75m答案A解析射出的弹丸做竖直上抛运动，可看成自由落体运动的逆运动，由运动学公式h＝12gt2，弹丸最后1s内上升的高度h1＝12×10×12m＝5m，则最初1s内上升的高度h2＝9h1＝45m，最初1s内中间时刻的速度v＝h2t＝451m/s＝45m/s，弹丸的初速度v0＝v＋gt'＝45m/s＋10×0.5m/s＝50m/s，故上升的最大高度为h＝v029.小明在一匀速上升的电梯内，观察到电梯顶部有一螺丝因松动而掉落。已知电梯顶部离电梯地板的高度为3.2m，电梯匀速上升的速度大小为2m/s，忽略空气阻力的影响，重力加速度g取10m/s2，则螺丝从电梯顶部掉落到地板上的时间为()A.0.4s B.0.6s C.0.8s D.1.6s答案C解析方法一：以地面为参考系，匀速运动的电梯上脱落的螺丝做竖直上抛运动，电梯一直做匀速运动，电梯和螺丝的位移差等于电梯顶部离电梯地板的高度，则vt－(vt－12gt2)＝h，即h＝12gt2，解得t＝2hg＝0.8方法二：以电梯为参考系，电梯匀速上升，螺丝相对电梯做自由落体运动，则由h＝12gt2得t＝2hg＝0.810.无人机甲与三楼阳台平齐悬于空中，从无人机上同时以10m/s的速率抛出两个小球，其中一个球竖直上抛，另一个球竖直下抛，它们落地的时间差为Δt；如果另一无人机乙与六楼阳台平齐悬于空中，以与甲完全相同的方式抛出两个小球，则它们落地的时间差为Δt'。不计空气阻力，Δt'和Δt相比较，有()A.Δt'<Δt B.Δt'＝ΔtC.Δt'>Δt D.无法判断答案B解析设小球的抛出高度为h，竖直上抛和竖直下抛经历的时间分别为t1和t2，则有h＝－v0t1＋12gt12，h＝v0t2＋12gt22，整理可得Δt＝t1－t11.(14分)(2024·山东青岛市期末)沈阳地铁一号线从S站到T站是一段直线线路，全程1.6km，列车运行最大速度为72km/h。为了便于分析，我们用图乙来描述这个模型，列车在S站从静止开始做匀加速直线运动，达到最大速度后立即做匀速直线运动，进站前从最大速度开始做匀减速直线