工程电磁场 第六章电磁场的边值问题

1第六章电磁场的边值问题

2一、麦克斯韦方程组31、①四个方程的物理意义，电生磁，磁生电，预言电磁波；②积分形式（环量与旋度，通量与散度之间的关系）、复数形式（可作为稳态场计算）；③梯度、散度、旋度的概念（描述“点”上电磁场的性质）。2、方程（1-1）、（1-2）、（1-5）是一组独立方程，其它两个方程可以由此推出。但独立方程有6个变量（），因此，方程数少于未知量，是非定解方式，必须加本构方程才为定解形式，对于简单媒质，本构方程为

(1-6)45二、定解问题1、初值问题只有初始条件，没有边界条件的定解问题。如电路中的过渡过程问题、无界空间电磁波传播问题等。2、边值问题只有边界条件，没有初始条件的定解问题。如静电场、恒定电场、恒定磁场等问题。3、混合问题既有边界条件，又有初始条件的定解问题，又称定解问题。如电气设备中的瞬态电磁场问题等。4、解的稳定性问题如果定解条件的微小变化只引起方程的解在整个定义域中的微小变化，称其解是稳定的。反之称为不稳定解。6三、电磁场中的定解问题定解问题=泛定方程+定解条件（初始条件+边界条件）下面先介绍各种场的泛定方程，然后介绍各类边界条件。3.1静态、稳态电磁场中的泛定方程73、稳态磁场894、交变电磁场中的泛定方程10（1）扩散方程（抛物型方程）忽略位移电流，MQS场的方程为由此得到的扩散方程为（对第一式再取旋度）非线性介质

，

线性介质

涡流损耗是引起导体发热的主要原因。

若为正弦交变场，扩散方程为11（2）波动方程（双曲型方程）123.2定解条件2、边界条件13141516

电磁场数值计算

当计算场域的边界几何形状复杂时，应用解析法分析较困难，这时可以采用数值计算（科学计算）的方法。1.电磁问题的划分场源问题

已知计算场域中电荷、电流的分布，求场分布。直接求积分方程。17体电荷的电场静电场中元电荷产生的电场，，矢量的积分18静磁场中元电流产生的电场体电流面电流②边值问题

已知空间介质分布，电极形状、位置和电位，场域边界上的电位或场强，这类问题归结为求解给定边界条件的电位微分方程的解。19

静电场的边值问题（BoundaryProblem)边值问题场域边界条件分界面衔接条件强制边界条件有限值自然边界条件有限值微分方程边界条件初始条件泊松方程拉普拉斯方程下页上页20场域边界条件1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet)2）第二类边界条件（聂以曼条件Neumann)3）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上的电位21有限差分法有限元法边界元法矩量法积分方程法积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法计算法实验法解析法数值法实测法模拟法电磁问题221.镜像法

实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。

依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。关键：确定镜像电荷的大小及其位置。

局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。

23

镜像法是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯一性定理，使某些看来难解的边值问题容易地得到解决。使用镜像法时要注意以下三点：（1）镜像电荷是虚拟电荷;

（2）镜像电荷置于所求区域之外的附近区域;

（3）导电体是等位面。24（1）点电荷与无限大的导体平面。

介质导体qrP

介质qrPhh

介质

以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为

的空间，则空间任一点P的电位由q

及q'

共同产生，即考虑到无限大导体平面的电位为零，求得25

电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半部分完全相同。

由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。电场线等位线z

26fqo（2）点电荷与导体球。

Padrq

若导体球接地，导体球的电位为零。为了等效导体球边界的影响，令镜像点电荷q'位于球心与点电荷q的连线上。那么，球面上任一点电位为可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为27

为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值对于球面上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形△OPq

与△

OqP相似，则常数。由此获知镜像电荷应为镜像电荷离球心的距离d应为这样，根据q及q'

即可计算球外空间任一点的电场强度。fqOPadrq

282分离变量法分离变量法是把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积的方法。它首先要求给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合；其次要求在坐标系中，待求偏微分方程的解可表示为三个函数的乘积，且其中的每个函数仅是一个坐标的函数。在直角、圆柱、球等坐标系中都可以应用分离变量法。

29直角坐标系中的平行平面场问题

平行平面场中位函数U(x，y)在场域内满足拉普拉斯方程

设定分离变量形式的试探解，即令U(x，y)=X(x)Y(y)，代入方程得

30在x和y取任意值时等式恒成立，这要求两边恒为同一常数。现记该常数为

(称为分离常数)：

取不同值时，两个常微分方程得到不同形式的解：

=0时，时，时，31位函数U的一般解可记作：

32

如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系中的分离变量法。下面通过例子具体说明该方法。例求如图所示二维长方形内的电位函数。解：根据题意，所求区域的电位函数满足的方程及边界条件为xayb33只与x有关只与y有关在直角坐标系中方程可写为（二维问题，与z无关）★分离变量法的前提即假设待求函数有分离变量形式的解：上式两端同除以因此该式成立的条件：且●

为实数为虚数为虚数为实数●

为零为零●

为实数为虚数为零或34同样的讨论适用于函数。为满足x=0和x=a的边界条件，应选取则因为将边界条件将边界条件于是称为边值问题的本征值。它的意义是：在上述边界条件下，分离常数只有取这些特定值时，方程才有非零解。其解的函数形式称为本征函数。35对于因为将边界条件于是得由于故的一般形式将边界条件

这实际上是将一已知函数展为傅里叶级数。利用傅里叶级数的系数公式得原问题的解363有限差分法图3.1差分网格3.1差分表示式37二维泊松方程的差分格式

(DifferenceFormof2DPoisson’sEquation)（1）二维静电场边值问题

基本思想：将场域离散为许多网格，应用差分原理，将求解连续函数的微分方程问题转换为求解网格节点上的代数方程组的问题。（2）有限差分的网格分割38令h=x-x0，将x=x1和x3分别代入式(3)（3）由式（4）+（5）（7）同理,沿x方向在x0处的泰勒公式展开为下页上页返回（4）（5）（6）39将式(6)、式(7)代入式(1)，得到当场域中即即五点差分格式下页上页返回40上式表明，任一点的电位等于它周围四个点电位的平均值。显然，当h越小，计算越精确。如果待求N个点的电位，就需解含有N个方程的线性方程组。若点的数目较多，用迭代法较为方便。41矩形网格剖分若场域离散为矩形网格，差分格式为423.2边界条件离散化（DiscreteBoundaryCondition)第二类边界条件第一类边界条件

分界面衔接条件对称边界条件

其中介质分界面对称分界433.3差分方程的数值解法1.简单迭代法图3.2节点序号44

2.塞德尔(Seidel)迭代法

通常为节约计算时间，对简单迭代法要进行改进，每当算出一个节点的高一次的近似值，就立即用它参与其它节点的差分方程迭代，这种迭代法叫做塞德尔(Seidel)迭代法。塞德尔迭代法的表达式为此式也称为异步迭代法。由于更新值的提前使用，异步迭代法比简单迭代法收敛速度加快一倍左右，存储量也小。453.超松驰迭代法式中α称为松弛因子，其值介于1和2之间。当其值为1时，超松弛迭代法就蜕变为塞德尔(Seidel)迭代法。因子α的选取一般只能依经验进行。但是对矩形区域，当M、N都很大时，可以由如下公式计算最佳收敛因子α0:46边界节点赋已知电位值赋节点电位初始值累计迭代次数N=0N=N+1按超松弛法进行一次迭代，求打印NY程序框图47

例设如图所示的矩形截面的长导体槽，宽为4h，高为3h，顶板与两侧绝缘，顶板的电位为10V，其余的电位为零，求槽内各点的电位。48

解：将待求的区域分为12个边长为h的正方形网格，含六个内点，得出差分方程组：49解以上方程组，得50

简单迭代法12345600.00.