【《能带的计算方法综述》1800字】

能带的计算方法综述目录TOC\o"1-3"\h\u30691能带的计算方法综述 1156811.1平面波方法 122001.2赝势方法 2159191.3紧束缚近似方法和Wannier函数 3在本节中，我们要讨论密度泛函可以告诉我们的有关电子的能量和动力学的信息。该信息对于研究材料的电子结构性能，电子输运性质，体系的能量非常重要。在此讨论中，我们将假设温度为零，并且原子核可以视为经典粒子，并且保持在其平衡位置。在我们的研究工作中，主要关注固体结构，而能带的特性对于研究固体的性质是非常重要的。能带理论是一种绝热近似下的单电子近似理论，从1928年建立至今已有90多年历史，在计算方法和理论基础方面都有了很大的发展，在应用上也取得了瞩目的成就。这里我们介绍几种能带计算的方法。1.1平面波方法所谓能带的计算就是如何近似的求解晶体单电子薛定谔方程，根据布洛赫定理，晶格周期场中的单电子波函数为式（2.24）是晶格周期函数，可以展开为式（2.25）V为晶胞的体积，对G的求和取遍所有倒格矢，同一能带的布洛赫函数是倒格子的周期函数，即式（2.26）利用这一性质，上式的展开系数可表示为式（2.27）所以是k+G的函数，可以写成式（2.28）波函数就可以写为式（2.29）1.2赝势方法在很多情况下，仅通过明确描述价电子即可方便地进行DFT计算。这种简化可以通过引入所谓的“赝势”来实现。在本节中，我们简要讨论在DFT计算中使用赝势的基本原理。电子密度的空间分布表明，价电子对化学键环境的变化最敏感，而核心电子相对不受这种变化的影响。这种直观的观察通常表示为，在一定程度上，只有价电子参与化学键合，而核心电子是惰性的。核电子态与价电子态的分离表明，我们应该能够通过保持核心电子在孤立原子中的状态而对多原子系统进行DFT计算。如果要使核保持“冻结”状态，那么描述核态的Kohn-Sham波动函数就没有多大意义了。因此，我们的就可以从描述中完全去除核心电子，这样就可以节省大量的计算量。我们如何确定应将哪些波动函数视为“核心”以及将哪些波动函数视为“价”状态？根据经验，在DFT计算中，“化合价”对应于元素周期表中原子的最外层。但是，在某些情况下，可能需要在“价电子”的集合中包含更多的电子态。在实践中，核心电子和价电子之间不是严格的区别，而是取决于人们试图达到的准确性水平。在确定应将哪些电子视为价态后，消除核心电子的过程并不简单，需要谨慎。首先，在原子核附近，价电子波函数必须与核态正交。如果我们简单地忽略核电子状态，则价态在原子核附近将不会表现出正确的节点结构。第二个问题是，即使我们能够在波函数中获得正确的振荡特征，也很难使用实空间网格或平面波来描述它们。当然，我们可以尝试通过使用更精细的真实空间网格或在平面波的情况下使用更高的动能截止来解决此问题。可以通过用光滑且无节点的曲线代替波函数的振荡部分，从而立即克服与价波函数的节点结构相关的困难。在存在核电子的情况下计算Kohn-Sham波函数,该波函数通常称为“全电子波函数”。确定一个径向角，设置要修改波函数的区域边界的半径。将这个区间称为“赝区域”。在该赝区域内，用光滑且无节点的函数）代替全电子波函数。选择新的函数，以便产生与全电子函数相同的电子密度。平滑的赝波函数的引入消除了与全电子波函数的节点结构有关的问题。现在剩下的问题是如何通过求解Kohn-Sham方程直接获得这样的平滑赝波函数。将价电子波函数取为式（2.30）在这里式（2.31）这样定义的波函数与与芯电子波函数正交。函数满足方程式（2.32）上式可以改写为式（2.33）其中T为电子的动能，而U为式（2.34）这就是赝势方法ADDINEN.CITE<EndNote><Cite><Author>Hamann</Author><Year>1979</Year><RecNum>41</RecNum><DisplayText><styleface="superscript">[70,71]</style></DisplayText><record><rec-number>41</rec-number><foreign-keys><keyapp="EN"db-id="pz9zv5xx2pxzdoe0vvzpvawe0vpsza2fpzsd"timestamp="1616552826">41</key></foreign-keys><ref-typename="JournalArticle">17</ref-type><contributors><authors><author>Hamann,D.R.</author><author>Schlüter,M.</author><author>Chiang,C.</author></authors></contributors><titles><title>Norm-ConservingPseudopotentials</title><secondary-title>PhysicalReviewLetters</secondary-title></titles><periodical><full-title>PhysicalReviewLetters</full-title></periodical><pages>1494-1497</pages><volume>43</volume><number>20</number><dates><year>1979</year><pub-dates><date>11/12/</date></pub-dates></dates><publisher>AmericanPhysicalSociety</publisher><urls><related-urls><url>/doi/10.1103/PhysRevLett.43.1494</url></related-urls></urls><electronic-resource-num>10.1103/PhysRevLett.43.1494</electronic-resource-num></record></Cite><Cite><Author>Vanderbilt</Author><Year>1990</Year><RecNum>42</RecNum><record><rec-number>42</rec-number><foreign-keys><keyapp="EN"db-id="pz9zv5xx2pxzdoe0vvzpvawe0vpsza2fpzsd"timestamp="1616552869">42</key></foreign-keys><ref-typename="JournalArticle">17</ref-type><contributors><authors><author>Vanderbilt,David</author></authors></contributors><titles><title>Softself-consistentpseudopotentialsinageneralizedeigenvalueformalism</title><secondary-title>PhysicalReviewB</secondary-title></titles><periodical><full-title>PhysicalReviewB</full-title></periodical><pages>7892-7895</pages><volume>41</volume><number>11</number><dates><year>1990</year><pub-dates><date>04/15/</date></pub-dates></dates><publisher>AmericanPhysicalSociety</publisher><urls><related-urls><url>/doi/10.1103/PhysRevB.41.7892</url></related-urls></urls><electronic-resource-num>10.1103/PhysRevB.41.7892</electronic-resource-num></record></Cite></EndNote>[70,71]。1.3紧束缚近似方法和Wannier函数从原子出发来研究晶体中的电子态，认为原子结合成晶体后，其价电子受原子的束缚较紧，由此可以得到原子能级与晶体能带之间的关联，紧束缚方法在研究绝缘体能带结构中是很成功的。在紧束缚近似中，能带中的电子波函数可以写成原子波函数的布洛赫和：式（2.35）对于任何能带，布洛赫函数都可以写成这样的形式：式（2.36）其中是Wannier函数，由上式可得：式（2.37）所以，一个能带的Wannier函数和布洛赫函数是一一对应的。可以很简单的证明上述Wannier函数是正交且归一化的，也就是说布洛赫函数和Wannier函数是等价的。他们之间的相互转换就是简单的傅里叶变换和反傅里叶变换，但是Wannier函数提供了一个实空间的描述，这在很多时候极其方便。Wannier函数开始用的很少直到发现它可以用来计算模型哈密顿量，比如紧束缚模型哈