3.1列代数式表示数量关系（第2课时）

汇报人:XXXX2026.05.193.1列代数式表示数量关系（第2课时）CONTENTS目录01

复习导入02

列代数式的一般步骤03

常见数量关系的代数式表示04

复杂数量关系的分析方法05

例题讲解CONTENTS目录06

课堂练习07

列代数式的常用方法08

易错点分析09

课堂小结复习导入01代数式的定义回顾代数式的概念

用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，称为代数式。例如：5t、450m-720、4a、a²等。代数式的构成要素

代数式由数、表示数的字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方等）组成，单独的一个数或一个字母也是代数式。代数式与算术式的区别

算术式仅由具体数字和运算符号构成，而代数式引入了字母表示数，更具一般性和抽象性，能表示一类数量关系。代数式书写规范复习

字母与数字相乘规则数字与字母相乘时，乘号可写作"·"或省略不写，数字需写在字母前面，例如2×a应写作2a或2·a。

除法运算表示方法除法运算一般以分数形式表示，如s÷t（t≠0）应写作s/t。

带单位的代数式书写当代数式表示具体量时，若结果是和或差的形式，需将整个式子用括号括起来后再写单位，例如（2a+3b）元。

幂运算的规范"a的平方"写作a²，"a与b的平方和"写作a²+b²，"a与b和的平方"写作（a+b）²，注意区分运算顺序。代数式意义强化练习基础数量关系表示用代数式表示：比a的2倍大1的数为2a+1；a的相反数与b的一半的差为-a-b/2；a的平方除以b的商为a²/b（b≠0）。实际生活场景应用某种商品每袋4.8元，一个月内销售m袋，收入为4.8m元；购买30kg单价a元的黄瓜和50kg单价b元的白菜，需支付(30a+50b)元。几何图形数量关系边长为xcm的正方形，周长是4xcm，面积是x²cm²；大正方形边长amm，挖去小正方形边长bmm，剩余面积为(a²-b²)mm²。关键词辨析训练区分“a、b两数的平方和”(a²+b²)与“a、b两数和的平方”((a+b)²)；“a的3倍与b的差的平方”表示为(3a-b)²。情景激趣：生活中的数量关系某市为创建全国“文明城市”，置办两种规格公益宣传广告牌。小广告牌是边长为am的正方形，其面积为a²m²；大广告牌面积为5m²，比小广告牌面积大(5-a²)m²。概念引入：列代数式的意义在解决数学与实际问题时，需用含有数、字母和运算符号的式子表示数量关系，此过程即为列代数式。它实现了从算术（数）到代数（式）的转化，体现用字母表示数的优越性。思考提问：如何表示复杂数量关系例如“a，b两数的和与差的积”，先表示两数的和(a+b)与差(a-b)，再将它们相乘，得到代数式(a+b)(a-b)。通过此例引出本节课学习重点——列代数式的方法与步骤。引入新课：列代数式列代数式的一般步骤02分析数量关系

仔细审题，明确数量及关系认真阅读题目，识别题目中涉及的各种数量，分析它们之间存在的运算关系（如加、减、乘、除）和大小关系等。

实例解析：年龄问题以“小明的年龄比小华年龄的2倍少3岁”为例，涉及小明和小华的年龄两个数量，其关系为：小明年龄=小华年龄×2-3。

关键在于理清逻辑关系分析数量关系是列代数式的基础，只有准确把握各数量之间的内在联系，才能正确列出代数式表示所求的数量。设未知数的必要性当题目中未给出代表相关数量的字母时，需选取合适字母表示关键数量，使其他数量可通过该字母用代数式表示。设未知数的方法通常选取一个关键数量设为字母，如设小华年龄为x岁，其他数量根据与该数量的关系表示。设未知数的示例在“小明的年龄比小华年龄的2倍少3岁”中，设小华年龄为x岁，则小明年龄可表示为(2x-3)岁。设未知数列出代数式列代数式的一般步骤首先仔细审题，分析题目中涉及的数量及它们之间的运算关系、大小关系等；若题目未给出代表相关数量的字母，选取合适字母表示关键数量，其他数量根据与该数量的关系用含此字母的代数式表示；最后运用运算符号将数和字母连接起来列出代数式。常见数量关系的代数式表示和差关系：如“a与b的和的3倍”表示为3(a+b)，“m比n的平方小5”表示为m=n²-5；倍数关系：如“x的1/2与y的3倍的差”表示为(1/2)x-3y，“a是b的k倍多c”表示为a=kb+c；实际问题中，如“购买x支单价5元的钢笔和y本单价3元的笔记本的总费用”表示为5x+3y。复杂数量关系的分析方法分段分析：对于如出租车收费问题，行驶距离x千米（x>3），3千米内费用8元，超过部分费用2(x-3)元，总收费为8+2(x-3)元；列表分析：如工厂生产零件，原计划每天生产a个，实际每天生产a+b个，生产m个零件，原计划需m/a天，实际需m/(a+b)天，通过列表可清晰呈现数量关系。常见数量关系的代数式表示03和差关系

和关系的代数式表示两数相加的关系，例如“a与b的和的3倍”，先表示a与b的和为(a+b)，再乘以3，得到3(a+b)。

差关系的代数式表示两数相减的关系，例如“m比n的平方小5”，n的平方为n²，可列出m=n²-5。

和差混合关系示例结合和与差的关系，如“a与b的差与c的平方的和”，先表示a与b的差为(a-b)，再与c的平方相加，得到(a-b)+c²。倍数关系倍数关系的基本表达倍数关系是指一个量是另一个量的若干倍，常用“是……的k倍”“比……多k倍”等形式描述，需明确基准量与倍数运算顺序。基础倍数关系示例若x的1/2与y的3倍的差，先表示x的1/2为1/2x，y的3倍为3y，差为1/2x-3y；“a是b的k倍多c”可表示为a=kb+c。倍数与和差结合的复杂关系例如“m比n的平方小5”，先确定n的平方为n²，m与n²的关系是m=n²-5，体现倍数（平方）与差的综合运算。实际问题中的数量关系

购物消费类问题购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料，总费用为(2a+3b)元；某商品进价x元，按进价1.1倍标价后降价80元，售价为(1.1x-80)元。

金融储蓄类问题本金a元存3年，年利率2.75%，到期利息为a×2.75%×3=8.25%a元；商品进价m元，售价先提高30%再降价20%，最终售价为m(1+30%)(1-20%)=1.04m元。

行程问题甲乙两地相距240km，汽车速度vkm/h，行驶时间为240/v小时；速度增加3km/h后，时间为240/(v+3)小时，早到时间为(240/v-240/(v+3))小时。

几何图形问题边长为am的正方形广告牌面积为a²m²；大广告牌面积5m²，比小广告牌大(5-a²)m²；大广告牌长bm，宽为5/bm。复杂数量关系的分析方法0401分段分析的定义对于较复杂的数量关系，将其分成若干个简单的部分，分别分析每部分的数量关系，再综合起来的方法。02分段分析的步骤先分析各分段内的基本数量关系，再明确分段的界限条件，最后将各段结果整合。03分段分析示例：出租车收费问题某出租车收费标准：起步价8元（≤3千米），超过3千米后每千米加收2元。行驶距离x千米（x>3）时，总收费为8+2(x-3)元。分析：3千米内费用8元，超过部分(x-3)千米费用2(x-3)元，两者相加得总费用。分段分析列表分析

列表分析的适用场景当问题涉及多个数量及其相互关系时，通过列表可清晰呈现各数量的名称、数值或表达式，帮助梳理复杂关系，尤其适用于工程问题、经济问题等多变量场景。

列表分析的步骤1.确定需分析的数量类别，如“项目”“数量”“单价”等；2.在表格中对应填写已知数据和未知量的字母表示；3.根据表头关系列代数式，如“总价=单价×数量”。

实例：生产零件天数问题某工厂生产零件，原计划每天生产a个，实际每天多生产b个，生产m个零件。列表如下：|项目|每天生产个数|生产m个所需天数||----|----|----||原计划|a|m/a||实际|a+b|m/(a+b)|

列表分析的优势将文字信息转化为表格形式，使数量关系直观化，减少思维漏洞，便于快速找到各量之间的运算逻辑，提升列代数式的准确性。例题讲解05例1：和差倍分问题01问题1：数与数的和的倍数用代数式表示“一个数x与6的和的\\(\\frac{2}{3}\\)”。分析：先求x与6的和为(x+6)，再求它的\\(\\frac{2}{3}\\)，得到\\(\\frac{2}{3}(x+6)\\)。02问题2：平方的倍数与差用代数式表示“比a的平方的2倍少1的数”。分析：a的平方是\\(a^2\\)，其2倍为\\(2a^2\\)，比它少1的数就是\\(2a^2-1\\)。03问题3：价格的增减变化某商场购进商品，每件进价为m元，售价提高30%后又降价20%，此时售价是多少元？分析：提价后价格为m(1+30%)，再降价20%，得m(1+30%)(1-20%)=1.04m元。例2：商品售价问题

问题背景某商品的进价为x元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出售，求现在的售价。

数量关系分析现在的售价=原来的标价-降价数，其中原来的标价为进价的1.1倍，即1.1x元。

代数式表示根据上述数量关系，可列出代数式：1.1x-80，所以现在的售价是（1.1x-80）元。问题背景甲、乙两地之间公路全长240km，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为vkm/h。基础行程问题（1）汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？解：根据时间=路程÷速度，所需时间为\\(\\frac{240}{v}\\)小时。速度变化问题（2）如果汽车的行驶速度增加3km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？解：此时速度为(v+3)km/h，所需时间为\\(\\frac{240}{v+3}\\)小时。时间差问题（3）汽车加快速度后可以早到多少小时？解：早到时间=原来时间-加快后时间，即\\(\\frac{240}{v}-\\frac{240}{v+3}\\)小时。例3：行程问题例4：几何图形问题问题背景为了绿化校园，学校决定修建一块长方形草坪，长为a米，宽为b米，并在草坪周边铺设宽度为c米的小路。问题（1）：草坪的面积分析：长方形面积=长×宽，草坪长为a米，宽为b米。解答：草坪面积为ab平方米。问题（2）：小路的面积分析：小路面积=大长方形面积（含草坪和小路）-草坪面积。大长方形长为(a+2c)米，宽为(b+2c)米。解答：小路面积为(a+2c)(b+2c)-ab平方米，化简后为2ac+2bc+4c²平方米。课堂练习06用代数式表示文字描述1.比a的2倍大1的数：2a+1；2.a的相反数与b的一半的差：-a-b/2；3.a的平方除以b的商：a²/b（b≠0）。实际问题中的数量关系1.某种商品每袋4.8元，销售m袋的收入：4.8m元；2.两块棉田面积分别为m公顷、n公顷，产量分别为akg/公顷、bkg/公顷，总产量：(ma+nb)kg。几何图形相关代数式大正方形边长amm，挖去小正方形边长bmm，剩余铁皮面积：(a²-b²)mm²。基础练习提升练习

基础巩固题1.用代数式表示：比a的2倍大1的数为2a+1；a的相反数与b的一半的差为-a-b/2；a的平方除以b的商为a²/b。2.某种商品每袋4.8元，一个月内销售了m袋，收入为4.8m元。

实际应用题3.有两块棉田，一块面积为m公顷，平均每公顷产棉花akg；另一块面积为n公顷，平均每公顷产棉花bkg，总产量为(ma+nb)kg。4.在大正方形铁皮中挖去小正方形铁皮，大正方形边长amm，小正方形边长bmm，剩余面积为(a²-b²)mm²。

拓展提高题5.某商店将定价5元的商品优惠销售：购买不超过10件按原价付款；超过10件，超过部分打8折。小果买了a件(a＞10)，应付款[50+4(a-10)]元。6.为鼓励节约用电，居民用电收费标准：不超过100度，每度0.52元；超过100度，其中100度按原标准，超过部分每度0.75元。小敏家4月份用电a度，当a≤100时，电费0.52a元；当a＞100时，电费[52+0.75(a-100)]元。拓展练习

基础巩固题1.用代数式表示：比\(a\)的2倍大1的数；\(a\)的相反数与\(b\)的一半的差；\(a\)的平方除以\(b\)的商。（答案：\(2a+1\)；\(-a-\frac{b}{2}\)；\(\frac{a^2}{b}\)）

实际应用题2.某种商品每袋4.8元，一个月内销售了\(m\)袋，用代数式表示这个月内销售这种商品的收入。（答案：\(4.8m\)元）

综合提升题3.有两块棉田，一块面积为\(m\)公顷，平均每公顷产棉花\(a\)kg；另一块面积为\(n\)公顷，平均每公顷产棉花\(b\)kg，用代数式表示两块棉田的棉花总产量。（答案：\((ma+nb)\)kg）

图形与几何题4.在一个大正方形铁皮中挖去一个小正方形铁皮，大正方形的边长是\(a\)mm，小正方形的边长是\(b\)mm，用代数式表示剩余铁皮的面积。（答案：\((a^2-b^2)\)mm²）列代数式的常用方法07直接法

直接法的定义直接法是根据问题的语文叙述直接列出代数式的方法，是列代数式最基本的方法之一。

直接法的应用步骤首先认真审题，明确题目中数量之间的关系，然后直接将文字语言转化为含有数、字母和运算符号的代数式。

直接法应用示例例如，“商品的进价为x元，进价的1.1倍”，直接根据文字叙述可列出代数式1.1x；“比a的2倍大1的数”，直接列出2a+1。公式法

公式法的定义公式法是指根据题目中涉及的基本数量关系公式，直接代入相关量的字母或数值，列出代数式的方法。

常见公式应用示例路程问题：时间=路程÷速度，若路程为240km，速度为vkm/h，则时间可表示为240/v；利息问题：利息=本金×年利率×存期，本金a元，年利率2.75%，存期3年，利息为a×2.75%×3=8.25%a。

公式法的关键步骤首先明确问题中涉及的具体公式，然后确定公式中各量对应的字母或数值，最后将其代入公式进行整理，得到所需