直角坐标与极坐标的互化

。Ox

4

2565453

1162332A(-4,0)C(-2,)

2B(3,)56D(-1,)53E(3,-)

6(-4,-)

3F•A•B•C•D•E•F[小结](,)(,2k

+)(-,+

)(-,+(2k+1)

)都是同一点极坐标.1说出下列图中当极径取负值时各点极坐标：第1页6、负极径实质从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。OXPMOXPM而反向延长也能够看成是旋转，所以，所谓“负极径”实质是管方向。这与数学中通常习惯一致，用“负”表示“反向”。第2页练习：写出点负极径极坐标（6，）答：（－6，+π）或（－6，－+π）尤其强调：普通情况下（若不作尤其说明时），认为

≥0。因为负极径只在极少数情况用。第3页7、极坐标系下点极坐标OXPM探索点M（3，/4）全部极坐标[1]极径是正时候：[2]极径是负时候：第4页2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称点是()A.(－ρ,θ)B.(－ρ,－θ)C.(－ρ,θ＋π)D.(－ρ,π－θ)CD练习1.在极坐标系中，与点(－3,)重合点是()A.(3,)B.(－3,－)C.(3,－)D.(－3,－)第5页3.在极坐标系中,与点(－8,)关于极点对称点一个坐标是()A.(8,)B.(8,－)C.(－8,)D.(－8,－)A第6页例3.已知点Q(,)，分别按以下条件求出点P坐标：(1)P是点Q关于极点O对称点；(2)P是点Q关于直线对称点.(3)P是点Q关于极轴对称点。

注意点M极坐标含有多值性.数学利用第7页极坐标与直角坐标的互化第8页一、极坐标系建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。自点O引一条射线OX，叫做极轴。再确定一个长度单位和计算角度正方向（通常取逆时针方向为正方向）。这么就建立了一个极坐标系。XO第9页二、极坐标系内一点极坐标要求XOM

对于平面上任意一点M，用

表示线段OM长度，用

表示OX为始边，OM为终边所成角，

叫做点M极径，

叫做点M极角，有序数对（

，

）称为M极坐标。尤其强调：

表示线段OM长度，即点M到极点O距离；

表示以OX（极轴）为始边，OM为终边角。第10页为研究方便，在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也能够取任意正角或负角，你能怎样描述出下面点在极坐标系中位置吗？它们有什么区分吗？当ρ<0时，点M(ρ,θ)位于极角终边反向延长线上，且OM=|ρ|,若有M(ρ,θ)，则

(ρ,θ+2kπ)(-ρ,θ+(2k+1)π)(k∈Z)也是点M极坐标。第11页三、极坐标系下点与它极坐标对应情况[1]给定（,）,就能够在极坐标平面内确定唯一一点M。[2]给定平面上一点M，但却有没有数个极坐标与之对应。原因在于：极角有没有数个。(ρ,θ)OXPM第12页平面内一个点直角坐标是(1,)思考:这个点怎样用极坐标表示?极坐标和直角坐标互化第13页Oxy在直角坐标系中,以原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,而且两种坐标系中取相同长度单位点M直角坐标为θ设点M极坐标为(ρ,θ)M(2,)第14页极坐标与直角坐标互化关系式:设点M直角坐标是(x,y)极坐标是(ρ,θ)x=ρcosθ,y=ρsinθ

第15页互化公式三个前提条件：1.极点与直角坐标系原点重合;2.极轴与直角坐标系x轴正半轴重合;3.两种坐标系单位长度相同.第16页例1.将点M极坐标化成直角坐标.解:所以,点M直角坐标为第17页已知以下点极坐标，求它们直角坐标。第18页例2.将点M直角坐标化成极坐标.解:因为点在第三象限,所以所以,点M极坐标为第19页练习:已知点直角坐标,求它们极坐标.第20页课时小结极坐标与直角坐标互化关系式:设点M直角坐标是(x,y)极坐标是(ρ,θ)x=ρcosθ,y=ρsinθ

第21页例3已知两点（2，），（3，）求两点间距离.π3π2oxAB解：∠AOB=π6用余弦定理求AB长即可.推广：第22页（1）点A关于极轴