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傅剑“停课不停学”高三复习专题讲座概率与统计专题复习基础知识梳理考查内容分析典型问题示例

概率与统计复习要点

配套习题训练《普通高中数学课程标准（2017年版）》某省市普通高中2017级数学学科教学指导意见》高中数学课程内容突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线，并把四条主线贯穿在必修和选修中。基础知识梳理基础知识梳理概率内容由三个问题串联起来：（1）对随机现象认识（统计理解和随机变量）；（2）借助有限样本空间（特别是古典概型）初步理解概率模型；（3）借助几个典型随机变量分布（二项分布、超几何分布、正态分布）初步掌握运用模型解决问题。基础知识梳理统计内容由三个问题串联起来：（1）对研究对象的认识（总体与样本）；（2）统计分析的过程（收集数据、整理数据、提取信息、分析和解决问题）；（3）掌握统计的几个基本问题（成对数据相关性、回归分析、独立性检验）。获取信息，定量分析通过数据，认识事物依托数据，探索本质积累经验，提升素养基础知识梳理数据分析素养的独特表现：（1）研究的问题主要来自于数学学科的外部；（2）研究的思路是从数据出发；（3）推理的方法主要采取归纳推理；（4）判断的准则是“好与坏”。考查内容分析统计:分层抽样;用统计图表（如频率分布直方图等）估计总体.计数原理：二项式定理；排列与组合.概率:古典概型;事件的相互独立性;独立重复试验;离散型随机变量的分布列及其数学期望(如二项分布,超几何分布等).

题型多以填空题,解答题为主.考查内容分析基础知识：理解概念，准确表述.基本技能：熟记模型，准确识别.数学思想方法：化归与转化思想,数学建模思想,统计思想,随机思想.数学活动经验：解决问题的体验和感悟.考查内容分析概率模型：1.古典概型（有限性、等可能性）；2.互斥事件至少有一个发生的概率模型（和事件的概率等于每一个事件的概率之和）；3.相互独立事件同时发生的概率模型（积事件的概率等于每一个事件的概率之积）；4.n次独立重复试验的模型（在相同的条件下）

一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件Ａ发生的概率为p，则:二项分布模型：

称随机变量X服从二项分布，记X～B(n,p)，并称p为成功概率.考查内容分析期望E(X)=np，方差D(X)=np(1-p).（其中k=0，1，2n

）∙∙∙

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则超几何分布模型：即X01…mP…其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.考查内容分析典型问题示例统计问题计数原理问题概率问题概率与统计的综合问题

数据分析素养数学运算素养数学建模素养数学抽象,数据分析数学建模,数学运算【例1】

(2008广东)某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）.A．24

B．18

C．16

D．12

典型问题示例--统计中的抽样方法一年级二年级三年级女生373xy男生377370z解：3:3:2380【例2】(2019全国Ⅲ,理17)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:典型问题示例--统计中的频率直方图

记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).典型问题示例--统计中的频率直方图分析：(1)先根据已知条件列出关于a的方程,再根据直方图中各个小长方形面积之和等于1求出b的值;(2)根据题意,直接利用区间的中点值代入平均值的计算公式即可.解:(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.典型问题示例--统计中的频率直方图规律方法:解决频率分布直方图的问题,关键在于找出图中数据之间的联系.在这些数据中,直接的有组距、,间接的有频率、小长方形的面积,合理使用这些数据,再结合两个等量关系:小长方形的面积=组距×=频率,小长方形面积之和等于1,即频率之和等于1，就可以解决频率分布直方图的有关问题.

典型问题示例--统计中的频率直方图典型问题示例--统计中的线性回归

b<0

2.5

4.0

0.5().配套习题训练配套习题训练典型问题示例--排列与组合【例5】(1)(2019全国Ⅲ)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为(

)A.12 B.16C.20 D.24A典型问题示例--二项式定理(2)（2015全国Ⅰ）在(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(

)A.10 B.20C.30 D.60C典型问题示例--二项式定理规律方法：求二项展开式中的指定项,一般是利用通项公式进行化简,令字母的指数符合要求(求常数项时,令指数为零;求有理项时,令指数为整数等),解出项数r+1,代回通项公式即可.典型问题示例--二项式定理【例6】(2019全国Ⅰ)我国古代典籍《》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“————”和阴爻“————”,右图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是(

)典型问题示例--古典概型分析：首先根据题意明确“爻”的类型——分阴、阳两类,然后明确“重卦”的构成——6个爻,即可根据计数原理分别求出基本事件空间与事件“有3个阳爻”所包含的基本事件数,代入古典概型公式求解即可.

典型问题示例--古典概型【例7】（2019全国Ⅰ）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．典型问题示例--互斥与相互独立事件典型问题示例--离散型随机变量的分布列规律方法：求离散型随机变量的均值与方差的基本方法有:(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解.(2)已知随机变量X的均值、方差,求X的线性函数Y=aX+b的均值、方差,可直接用均值、方差的性质求解,即E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布,可直接利用它们的均值、方差公式求解,即若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p);若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).典型问题示例--离散型随机变量的分布列配套习题训练

3.如果一件事的成功率是1%，那么反复尝试100次至少成功1次的概率大约是（）

A.10%B.23%C.38%D.63%配套习题训练配套习题训练

3.如果一件事的成功率是1%，那么反复尝试100次至少成功1次的概率大约是（）A.10%

B.23%C.38%D.63%

成功率是1%，失败率是99%，这里有偶然，但是贵在坚持，贵在锲而不舍，这样就会走向成功的必然。配套习题训练D典型问题示例--概率与统计综合问题超几何分布典型问题示例--概率与统计综合问题典型问题示例--概率与统计综合问题典型问题示例--概率与统计综合问题

二项分布典型问题示例--概率与统计综合问题典型问题示例--概率与统计综合问题（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；典型问题示例--概率与统计综合问题【例11】（2019北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，某著名企业支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种某著名企业支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；典型问题示例--概率与统计综合问题典型问题示例--概率与统计综合问题（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．(Ⅲ)我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.典型问题示例--概率与统计综合问题理由如下：随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率.学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”.典型问题示例--概率与统计综合问题【例12】为了了解观众对节目的喜爱程度,电视台随机调查了A,B两个地区的100名观众,得到如下的2×2列联表,已知在被调查的100名观众中随机抽取1名,该观众是B地区当中“非常满意”的观众的概率为0.35.(1)现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查,则应抽取“非常满意”的A,B地区的