最常见的随机过程或随机模型

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Brown运动或Wiener过程

二项过程Poission过程白噪声过程自回归过程移动平均过程混合自回归移动平均过程利率期限结构或均值回复模型ARCH类模型主要内容21979年Cox、Ross和Rubinstein利用二项过程提出了二叉树期权定价模型，用以构造股票价格运动过程，进行股票期权定价分析。目前，二叉树模型已被广泛应用于金融资产定价领域，并为直观理解金融资产价格的复杂随机行为提供了最佳认识工具，为金融计算提供了可行的数值方法。二项过程3二项分布是指随机变量满足概率分布其中，k=1,2,…，0<p<1,q=p-1。

二项过程实质上是将二项分布作为一个过程来描述金融资产价格变化的。

4假设股票价格在t时刻为S(t)，当时间变化到t+

t时，价格要么以概率p从S上涨到uS(u>1)，要么以概率q下降到dS(d<1)；时间为t+2

t时有三种可能：u2S、udS、d2S，以此类推，见树型结构

uSuS2sdSdS2pduSudS图3.1股票价格的树型结构1-pp1-p1-pp5显然，在t+

t时刻，股票的期望价格为E(St+

t)=puS+(1-p)dS，在t+2

t时刻，股票的期望价格为：在t+n

t时刻，股票的期望价格为：，6引言：Brown运动是用以描述连续时间下金融资产价格运动的，但金融资产价格并不都是随时间而连续变化的，有时会出现跳跃，Poission过程就是经常用以模拟跳跃的一类随机过程。Poission过程

7计数过程：如果用

t表示[0,t]内随机事件发生的总数，则随机过程{

t}t≥0称为计数过程，且满足：(a)

t0；(b)

t是整数值；(c)对于任意两个时刻0

s<t,有

s<

t；(d)对于任意两个时刻0

s<t,

t-

s等于在区间中发生的事件的个数。8若在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量。若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。显然，

t为一个正整数，

0=0；对于任意的时刻0

s<t,有

s

t,

t=

t

s表示s到t时间段内出现的事件数目。

9设随机过程{

t}t≥0是独立增量过程，如果满足(a)

0=0;(b){

t}t≥0是独立增量过程（

t=

t

s）；(c)对任一长度为t的区间中事件的个数服从均值为

(t

s)的Poission分布，即对一切st0，有则称{

t}t≥0为参数为

(t

s)的Poission过程。直接计算可知，E

t=V

t=

t，即，所以

表示单位时间内事件出现的平均次数，因而

也常被称为发生率或强度。定义9泊松过程10随机过程{

t}t≥0称为白噪声过程，若E

t=0，且显然，白噪声过程一个平稳的纯粹随机过程，在金融研究中主要用于模型无法解释的波动。

白噪声过程

11按时间次序排列的随机过程{

t}(t=1，2，…)称为时间序列。若时间序列是相互独立的，则说明事件后一刻的行为与前一刻毫无关系，即系统无记忆性。若情况相反，则前后时刻事件之间就有一定的依存性。其中最简单的关系就是事件后一刻的行为只与前一刻的行为有关，而与其前一刻以前的行为无直接联系，即ξt主要与

t-1相关。从记忆的角度理解，是最短的记忆，即一期记忆，描述这种关系的模型称为一阶自回归过程，记为AR（1），即

t=a

t-1+

t，t=1,2,…，其中，a为常数，

t为白噪声过程，称为扰动项。当|a|<1时为平稳过程；a=1时称为随机游走过程；|a|>1为非平稳过程。自回归过程

12更一般地，m阶自回归过程{t}(t=1，2，…),记为AR（m）,满足：

t=a1

t-1+a2

t-2+…+am

t-m+

tt=1，2，…m阶自回归过程具有m期记忆或者说m阶动态性。若滞后算子多项式1a1z…-amzm=0的根在单位圆之外时，为平稳过程。否则，就是非平稳的。13自回归过程表示在t时刻的事件

t

只与其以前的响应

t-1，

t-2，…，

t-m

有关，而与以前时刻的扰动无关。若时间序列{

t}与其以前的冲击或扰动

t-1，

t-2，…，

t-n有关，而与以前时刻的响应无关，那就是n阶移动平均过程，记为MA(n),即

t=b0+

t+b1

t-1+b2

t-2+…+bn

t–nt=1，2，…当|bj|<1时，表示冲击在一段时间内会消失；|bj|=1表示冲击永远保持下去；|bj|>1表示冲击将放大，其中i=1，2，…,n。移动平均过程

14若时间序列{

t}在t时刻，不仅与其以前的自身值有关，而且与以前时刻的冲击或扰动存在着一定的依存关系，则称为混合自回归—移动平均过程，其一般形式（记作ARMA(m，n)）为

t=a1

t-1+a2

t-2+…+am

t-m+

t+b1

t-1+b2

t-2+…+bn

t–n混合自回归—移动平均过程15在金融市场中，许多情况下的金融资产价格的变化，随着时间的推移常常趋于某个长期平均水平，称为均值回复现象，例如利率的变化就常常如此。具体的利率期限结构或均值回复模型定义为其中λ>0，ε服从标准正态分布。当股票价格S低于均值μ时，μ-S取正值，即S具有正的漂移率，dS将会变为正值。反之，当股票价格S高于均值μ时，μ-S取负值，即S具有负的漂移率，dS将会变为负值。尽管变化过程中价格可能会偏离均值μ，但长期来看S都会向均值μ靠近。过程中偏离的程度由参数λ>0决定的。注意：资产价格表现出来的某种长期可预测性，与市场有效性的假定是不符合的。利率期限结构或均值回复模型

16事实上，现实中的金融资产的收益变化和分布主要呈现出以下基本特征：金融资产的收益变化和分布表现出明显的非线性特点；与正态分布相比，金融资产的收益分布的尾部通常较厚，方差小的变量绝大多数集中在均值附近，而方差大的变量则多集中于分布的尾部；收益的波动性有时很大，有时却很小，而且有关波动性的冲