51　任意角与弧度制三角函数的概念

5.1任意角与弧度制、三角函数的概念五年高考目录基础强化练三年模拟1.(2020北京,10,4分,中)2020年3月14日是全球首个国际圆(πDay).历史上,求圆周

率π的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似,数学家阿尔·卡西的方法是:当

正整数n充分大时,计算单位圆的内接正6n边形的外切正6n边形(各边均与圆相

切的正6n边形)的,将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔·卡西的方法,π

的近似值的表达式是

()A.3n

B.6n

C.3n

D.6n

五年高考A解析

如图所示,设单位圆O的一个内接正6n边形的一边为AB,一个外切正6n边形的一

边为A'B',并与圆O切于点R',

在△AOB中,AB的中点为S,∵OA=1,∠AOB=

=

,∴AB=2AS=2AO·sin∠AOS=2AO·sin

=2sin

,∴☉O的内接正6n边形的为6n·AB=12nsin

.在△A'OB'中,∵OR'=1,∠A'OB'=

=

,∴A'B'=2A'R'=2OR'·tan∠A'OR'=2OR'·tan

=2tan

,∴☉O的外切正6n边形的6n·A'B'=12ntan

,∴单位圆的内接与外切正6n边形的算术平均数为

=6n

,故π的近似值的表达式为3n

,故选A.2.(2019北京文,8,5分,中)如图,A,B是半径为2的圆定点,P为圆动点,∠APB

是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为

()

A.4β+4cosβ

B.4β+4sinβC.2β+2cosβ

D.2β+2sinβB解析

连接AB,由圆的性质,当|PA|=|PB|时,阴影部分的面积最大,其面积为△PAB

的面积与弓形的面积之和.如图,作PD⊥AB于D点,则PD过圆心O,连接OA,OB,由∠APB

=β知∠DOB=β.所以|OD|=2cosβ,|PD|=2+2cosβ,|AB|=4sinβ.所以S△PAB=

·|AB|·|PD|=4sinβ(1+cosβ).S弓形=S扇形OAB-S△OAB=

·2β·22-

·4sinβ·2cosβ=4β-4sinβcosβ.故阴影部分的面积为S△PAB+S弓形=4sinβ+4sinβcosβ+4β-4sinβcosβ=4β+4sinβ.故选B.

3.(2018北京文,7,5分,中)在平面直角坐标系中,

,

,

,

是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tanα<cosα<sinα,则P所在的圆

弧是()

A.

B.

C.

D.

C解析

若点P在

或

(不包含端点A,D)上,则tanα-sinα=tanα(1-cosα)>0,与tanα<sinα矛盾,故排除A,B.若点P在

(不包含端点G)上,则tanα>0,cosα<0,与tanα<cosα矛盾,故排除D,故选C.4.(2024北京,12,5分,易)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边

关于原点对称,若α∈

,则cosβ的最大值为

.-

解析

依题意得β=2kπ+π+α(k∈Z),∴cosβ=cos(2kπ+π+α)=cos(π+α)=-cosα,∵

≤α≤

,∴

≤cosα≤

,因此-

≤-cosα≤-

.故cosβ的最大值为-

.5.(2021北京,14,5分,易)若点A(cosθ,sinθ)关于y轴的对称点为B

cos

,sin

,则θ的一个取值为

.

(答案不唯一)解析

由题意知

∴θ+θ+

=π+2kπ,k∈Z,∴θ=

+kπ,k∈Z.故θ的值可为

答案不唯一,只要符合θ=

+kπ,k∈Z均可

.1.(2025届东城期末,3)在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,它的终边绕着原点逆

时针旋转

后与x轴的非负半轴重合,则cosα=

()A.

B.-

C.

D.-

A三年模拟解析

由题意可得α+

=2kπ,k∈Z,所以α=-

+2kπ,k∈Z,所以cosα=

.2.(2025届丰台期末,6)在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,终边与单位圆☉O交于

点P,且cosα=-

.点P在该单位圆上按逆时针方向做圆到达点Q.若经过的圆弧

的长为

,则点Q的纵坐标为

()A.-

B.

C.-

D.

C解析

设点Q的坐标为(x,y),由题意得sin

=cosα=-

,即

=-

,解得y=-

,所以点Q的纵坐标为-

.故选C.3.(2025届北京四中期中,6)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β的终边关于y轴对称.若

cos

=

,则cosβ=

()A.

B.-

C.

D.-

A解析

由题意α+β=2kπ+π,k∈Z,即β=2kπ+π-α,k∈Z,而cosα=2cos2

-1=2×

-1=-

,则cosβ=cos(2kπ+π-α)=-cosα=

,k∈Z.故选A.思路分析根据对称得β=2kπ+π-α,k∈Z,再结合二倍角的余弦公式和诱导公式即可.4.(2025届北师大二附中月考,2)已知sin(π-θ)<0,cos(π+θ)>0,则θ为

()A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角C解析

由sin(π-θ)<0,可得sinθ<0,由cos(π+θ)>0可得cosθ<0,故θ为第三象限角,故选C.5.(2025届朝阳六校联考,3)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以x轴的非负半轴为始

边,终边关于原点O对称.若角α的终边与单位圆☉O交于点P

,则cosβ=

()A.

B.-

C.

D.-

B解析

角α与角β的终边关于原点O对称,且角α的终边与单位圆☉O交于点P

,所以角β的终边与单位圆☉O交于点P'

,故cosβ=-

,故选B.6.(2025届朝阳期中,7)已知α,β均为第二象限角,则“sinα>sinβ”是“cosα>cosβ”的

()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C解析

由题意,若sinα>sinβ,因为α,β均为第二象限角,所以sinα>sinβ>0,所以sin2α>sin2β,即1-cos2α>1-cos2β,所以cos2α<cos2β,且α,β均为第二象限角,所以cosα<0,cosβ<0,所以cosα>cosβ,即充分性成立.若cosα>cosβ,因为α,β均为第二象限角,所以0>cosα>cosβ,即cos2α<cos2β,所以1-sin2α<1-sin2β,即sin2α>sin2β,因为α,β均为第二象限角,所以sinα>0,sinβ>0,所以sinα>sinβ>0,故必要性成立.所以“sinα>sinβ”是“cosα>cosβ”的充要条件.故选C.7.(2024通州期中,7)在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,则“角α的终边过点(-1,

2)”是“tanα=-2”的

()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A解析

若角α的终边过点(-1,2),则tanα=

=-2,故充分性成立;若tanα=-2,则α为第二或第四象限角,故角α的终边不一定过点(-1,2),必要性不成立.综上,“角α的终边过点(-1,2)”

是“tanα=-2”的充分不必要条件.8.(2024朝阳二模,7)在平面直角坐标系xOy中,锐角α以O为顶点,Ox为始边.将α的终边绕

O逆时针旋转

后与单位圆交于点P(x,y),若cosα=

,则y=()A.-

B.-

C.

D.

D解析

∵cosα=

,且α为锐角,∴sinα=

=

=

,由题意得y=sin

=sin

cosα+cos

sinα=

×

+

×

=

,故选D.9.(2025届房山期中,12)已知角α的顶点在坐标原点,始边在x轴的正半轴上,终边与单位

圆交于第二象限的点P,且点P的纵坐标为

,则cosα=

.-

解析

由题设知P

,故cosα=-

.10.(202某省市中关村中学月考,12)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,

它们的终边关于原点对称,点M(x,-1)在角β的终边上.若sinα=

,则sinβ=

.-

解析

由角α与角β的终边关于原点对称,点M(x,-1)在角β的终边上,得点N(-x,1)在角α的

终边上,由sinα=

以及ON=

,可得

=

.由点M(x,-1)在角β的终边上且OM=

,可知sinβ=

=-

.11.(2025届北京交大附中月考,12)在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,终边经过

点P(1,-2),则tan2α=

.解析

由三角函数的定义可知tanα=-2,所以tan2α=

=

=

.12.(2025届海淀期中,12)在平面直角坐标系xOy中,角α的终边经过点P(2,1).若角α的终

边逆时针旋转

得到角β的终边,则sinβ=

.解析

因为角α的终边经过点P(2,1),所以cosα=

=

,又β=α+

,所以sinβ=sin

=cosα=

.13.(2025届北京一零一中学月考,12)已知角α,β的终边关于直线y=x对称,且sin(α-β)=

,则α,β的一组取值可以是

.

α=

,β=

答案不唯一,符合α=(k+m)π+

,β=(k-m)π+

(k,m∈Z)或α=(k+m)π+

,β=(k-m)π-

(k,m∈Z)即可

解析

因为角α,β的终边关于直线y=x对称,所以α+β=2kπ+

(k∈Z),又sin(α-β)=

,所以α-β=2mπ+

(m∈Z)