101　计数原理排列与组合

10.1计数原理、排列与组合考情清单考点清单题型清单目录考点计数原理、排列与组合题型一排列问题的解题策略题型二组合问题的解题策略题型三分组与分配问题的解题策略考点20—24年考频真题示例考向核心素养二项式定理5考2024北京,42023北京,52020北京,3二项展开式中特定

项的系数数学运算2022北京,8二项式定理的应用2021北京,11二项展开式中的常

数项命题形式本专题中计数原理、排列组合近几年没有单独考查,常与概率与统计结合考查.二项式

定理结合根式的性质、指数的运算性质考查,命题形式有求二项展开式中指定项或指

定项的系数、求某几项系数之和等.考点计数原理、排列与组合1.两个计数原理的联系与区别原理分类加法计数原理分步乘法计数原理联系两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言的区别一每类办法都能独立完成这件事,

它是独立的、一次的,且每次得

到的是最后结果,只需一种方法

就可完成这件事每一步得到的只是中间结果,任

何一步都不能独立完成这件事,

缺少任何一步也不可,只有各步

骤都完成了才能完成这件事区别二各类办法之间是互斥的、并列

的、独立的各步之间是相互依存的,并且既

不能重复也不能遗漏2.排列与排列数(1)排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫

做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不

同元素中取出m个元素的排列数,记作

.注意

排列与排列数,排列是一个具体的排法,不是数而是一件事,而排列数是所

有排列的个数,是一个正整数.注意

排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关,排列问题

与顺序有关,组合问题与顺序无关.3.组合与组合数(1)组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中

取出m个元素的一个组合.(2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不

同元素中取出m个元素的组合数,记作

.4.排列数、组合数的公式及性质公式(1)

=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=

;(2)

=

=

=

.(n,m∈N*,且m≤n)特别地,

=1性质(1)0!=1;(2)

=n!;(3)

=

;(4)

=

+

1.判断正误.(在括号中打“√”或“✕”)(1)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.

(

)(2)若

=

,则x=m.

(

)(3)在分步乘法计数原理中,事情是分步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件

事.(

)2.某班5名同学分别从4个景点中选择一处游览,不同选法的种数为

(

)A.9

B.20C.54

D.45即练即清√××D3.从5名学生中选出3名参加某社团活动,则不同的选法共有

种.4.从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名

同学参加下午的活动,则不同的选法共有

种.106题型一排列问题的解题策略典例1

在班级活动中,4名男生和3名女生站成一排表演节目①:(写出必要的数学式,结

果用数字作答)(1)三名女生不能相邻②,有多少种不同的站法?(2)四名男生相邻③,有多少种不同的站法?(3)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端④,有多少种不同的站法?(4)甲、乙、丙三人按高矮从左到右⑤有多少种不同的站法?(甲、乙、丙三位同学身高

互不相等)(5)现有7个座位连成一排,仅安排4名男生就座,恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种?知识联想

由

发现男生和女生站成一排有顺序,是排列问题,由

想到不相邻问题用插空法,由

想到相邻问题用捆绑法,由

想到优先法,由

想到定序问题.解析

(1)根据题意,分2步进行分析:①将4名男生全排列,有

=24种情况,排好后有5个空位.②在5个空位中任选3个,安排3名女生,有

=60种情况.则三名女生不能相邻的排法有24×60=1440种.(2)根据题意,分2步进行分析:①将4名男生看成一个整体,考虑4人间的顺序,有

=24种情况.②将这个整体与三名女生全排列,有

=24种情况.则四名男生相邻的排法有24×24=576种.(3)根据题意,分2种情况讨论:①女生甲站在右端,其余6人全排列,有

=720种站法.②女生甲不站在右端,有5种站法,女生乙有5种站法,将剩余的5人全排列,安排在剩余的位置,有

=120种站法,则此时有5×5×120=3000种站法.则一共有720+3000=3720种站法.(4)根据题意,首先把7名同学全排列,共有

种结果,甲、乙、丙三人的排列共有

=6种结果,要使甲、乙、丙三个人按照高矮顺序排列,则有

=840种结果.(5)7个座位连成一排,仅安排4名男生就座,还有3个空座位,分2步进行分析:①将4名男生全排列,有

种情况,排好后有5个空位.②将3个空座位分成2、1的2组,在5个空位中任选2个,安排2组空座位,有

种情况,则有

=480种排法.方法总结排列问题的解决方法

变式训练1-1

(情景模型变式)(2023全国乙理,7,5分)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有

(

)A.30种

B.60种

C.120种

D.240种C解析

第一步:甲、乙两位同学从6种课外读物中选出1种相同的有

=6种选法;第二步:从剩下的5种课外读物中选2种分给甲、乙有

=20种选法.所以符合要求的选法共有6×20=120种,故选C.一题多解

排除法甲、乙两位同学分别从6种课外读物中选出2种有

=225种选法,其中甲、乙选2种读物完全相同有

=15种选法,完全不相同有

=90种选法.所以两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有225-15-90=120种,故选C.变式训练1-2

(设问条件变式)

(2022新高考Ⅱ,5,5分)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有

(

)A.12种

B.24种

C.36种

D.48种B解析

解法一:直接法第一种情况:甲站在最中间,丙丁站在甲的左端或右端有2种选择,然后丙丁两个全

排,乙戊在剩下的两个位置全排列,有2

=8种站法.第二种情况:甲站在左二或右二有2种选择,以甲站左二位置为例,丙丁在甲的右侧三个

位置中相邻有2种选择,然后丙丁两个全排列,乙戊在剩下的两个位置全排列,有2×

2

=16种站法.∴甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式共有8+16=24种.解法二:丙和丁相邻共有

·

种站法,甲站在两端且丙和丁相邻共有

·

·

种站法,所以甲不站在两端且丙和丁相邻共有

·

-

·

·

=24种站法,故选B.题型二组合问题的解题策略典例2

教室的图书角摆放了一些阅读书目,其中有3本相同的《论语》、6本互不相同

的近代文学名著,现从这9本书中选出3本,则不同的选法种数为

(

)A.84

B.42

C.41

D.35B解析

根据题意,分4种情况讨论:①选出的3本都是《论语》,有1种情况;②选出的3本

中2本是《论语》,1本是近代文学名著,有

=6种情况;③选出的3本中1本是《论语》,2本是近代文学名著,有

=15种情况;④选出的3本都是近代文学名著,有

=20种情况,则有1+6+15+20=42种不同的选法,故选B.方法总结组合问题的解决方法

变式训练2-1

(设问条件变式)“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正

整数,如22,121,3443等.那么在四位数中,回文数共有(

)A.81个

B.90个

C.100个

D.900个Ｂ解析

由题可知,四位数的回文数中间两个数字是一样的,两端的数字是一样的,又千位

数字不为0,所以回文数共有

=90个,故选B.变式训练2-2

(情景模型变式)(2023东城二模,6)某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊:在基础配方以外,从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊,则不同的添加方案有(

)A.13种

B.14种

C.15种

D.16种C解析

分四类:①选择一味中药添加时,有

=4种不同方案;②选择两味中药添加时,有

=6种不同方案;③选择三味中药添加时,有

=4种不同方案;④选择四味中药添加时,有

=1种不同方案.由分类加法计数原理得共有4+6+4+1=15种不同的添加方案,故选C.变式训练2-3

(多解法变式)某中学举行“十八而志,青春万岁”成人礼,现在需要从4

个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演,则语言类节目A和歌唱类节

目B至少有一个被选中的不同选法种数是

(

)A.15

B.45

C.60

D.75C解析

解法一:直接法分为三类,第一类,语言类节目A被选中,歌唱类节目B没被选中,则

有

·

=30种;第二类,语言类节目A没被选中,歌唱类节目B被选中,则有

·

=15种;第三类,语言类节目A和歌唱类节目B都被选中,则有

·

=15种.综上,语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是30+15+15=60,故选C.解法二:间接法从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目的选法种数为

·

=90.语言类节目A和歌唱类节目B都没被选中的选法种数为

·

=30.故语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是90-30=60.题型三分组与分配问题的解题策略典例3

将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进

行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案

共有

(

)A.60种

B.120种

C.240种

D.480种C解析

将5名志愿者分为4组,有

=10种情况,将分好的4组全排列,对应4个不同的项目,有

=24种情况,∴共有10×24=240种不同的分配方案.方法总结

变式训练3-1

(设问条件变式)(2023北京和平街一中入学测试,6)要安排3名学生到2个乡村做志愿者,每名学生只能选择去一个村,每个村里至少有一名志愿者,则不同的安排方法共有

(

)A.2种

B.3种