建筑力学第4章

2026/5/231工程力学（1）直播课堂3教师：姚志刚2026/5/232第四章

平面力系的简化与平衡方程一、本章知识点：

1.平面任意力系简化

2.平面任意力系的平衡

3.物体系的平衡问题

4.考虑摩擦的平衡2026/5/233

本章有可能考计算题，平面力系的简化与平衡方程在以后章节的学习中也要用到，因此必须掌握。2026/5/234二、重点内容介绍：（一）平面任意力系的简化P351．平面任意力系 力系中各力的作用线都在同一平面内，且任意地分布，这样的力系称为平面任意力系。2026/5/235如教材图4－1，荷载（力、力偶）、反力既不全部平行，也不交于一点；有两种特殊情况：平面平行力系：各力全部平行；平面汇交力系：各力全部汇交一点。2026/5/2362．平面任意力系向一点的简化

一般情况下，平面任一力系向平面内任选的简化中心简化，可以得到一个力和一个力偶。此力作用在简化中心上，它的矢量等于力系中各力的矢量和，称主矢。此力偶的矩等于力系中各力对简化中心的矩的代数和，称主矩。2026/5/237

主矢：等于力系中各力的矢量和。P36

主矩：如O这一点称为简化中心。力偶的矩等于力系中各力对简化中心的矩的代数和。平面任意力系可向平面内任选的简化中心简化。2026/5/238简化结果（1）等效于一个力和一个力偶的共同作用，既非一个合力也非一个力偶；（2）主矢与简化中心位置无关，即对于任一点主矢都等于原力系各力的矢量和，确定其大小和方向；（3）主矩一般与简化中心的位置有关2026/5/2393．力系简化的方法：

（1）将复杂的平面力系用力向一点平移的方法分解为平面汇交力系和平面力偶系；（2）分别按两种力系的合成方法简化得到主矢与主矩。2026/5/23104．主矢的计算

主矢可以用代数方法，由X，Y轴的投影合成。将复杂的问题分解为简单的几个问题，分别进行分析，再合成，这是解决复杂问题的有效方法2026/5/2311主矢的计算方向YXR2026/5/2312

教材例题4－1：P37

在边长为的正方形的四个顶点上，作用有F1、F2、F3、F4等四个力，如图。已知F1=40N、F2=60N、F3=60N、F4=80N。试求该力系向A点简化的结果。2026/5/2313

分析：原题直接向A点简化，我们用不同的方法简化，同学们可体会主矢与主矩的特性。力系先向B点简化，得到主矢与MB，再向A点平移主矢，可以与书中结果比较。简化所得主矢与书中相同，其分量只与各力分量的代数和有关，与矩心即简化中心无关。2026/5/2314但MB与MA的值不同，MB用正方向表示（逆时针），其值为负表示实际方向为顺。2026/5/2315 主矢再向A点平移：再向A点平移应附加R''对A点的矩，加原B点的力矩。R'分解为RX与RY，所以主矢向A点平移的结果与教材相同，MA的实际方向为顺时针。2026/5/23165．平面力系简化结果讨论：

（1）主矢不为零，主矩为零：汇交力系。可以通过力的平移，确定力的作用点（即作用线）而简化为一个合力；主矢不为零，主矩不为零：任意力系。2026/5/2317

（2）主矢为零，主矩不为零：力偶系的合力偶矩；主矢为零，主矩为零：平衡力系。

最后简化结果只有三种可能：合力、合力偶、平衡2026/5/23186．合力矩定理：

平面任意力系的合力对作用面内任意一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。

2026/5/2319

（二）平面任意力系的平衡1．平面任意力系的平衡条件平面任意力系的主矢和主矩同时为零，即R/=0、M0=0，是平面任意力系的平衡的必要与充分条件。2026/5/2320平面任意力系的平衡条件、平衡方程：平面任意力系的主矢和主矩同时为零。平面任意力系的平衡的必要与充分条件可解析地表达为：力系中所有各力在两个任选的坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任意一点的矩的代数和等于零。2026/5/23212.解析表达式――平衡方程2026/5/2322

上式为平面任意力系的平衡方程。平面任意力系的平衡的必要与充分条件可解析地表达为：力系中所有各力在两个任选的坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任意一点的矩的代数和等于零。2026/5/2323

三个方程可求解三个未知数。二矩式

2026/5/2324

附加条件说明：若任意力系有一合力R，在A、B连线上，虽然R＝0，但如果AB垂直OX，则仍满足∑X1＝0（当然另二个方程也满足），此三个方程不是相互独立的。2026/5/2325

三矩式

2026/5/2326其中A、B、C三点不能共线。若A、B、C三点共线，当合力R作用于此线上时，满足三个方程，但仍可能不为零。2026/5/2327教材例4－5：P42

十字交叉梁用三个链杆支座固定，如图所示。求在水平力P的作用下各支座的约束反力。2026/5/2328

分析：

若使用一矩式、二矩式平衡方程，都需解联方程式；若使用三矩式，选取三未知约束力的交点分别为矩心，则使一个方程只有一个未知力，求解方便（L，K，S）三点不共线。2026/5/2329这样求解还有一个好处，每个力均用已知力直接求解，可以避免前面求解的未知力的错误的影响。2026/5/2330

解题步骤：

1．取分离体，作受力图取十字交叉梁为分离体，其上受主动力P、约束反力NA、NB和NC的作用。2．列平衡方程，求解未知力。2026/5/2331解：

2026/5/2332

结论：

1、一个受平面力系作用的物体，若平衡就必须满足平衡方程。

2、一个受平面平移力系作用的物体，独立的平衡方程只有三个，只能解三个未知数。2026/5/23333．平面平行力系的平衡方程平面平行力系为一般力系的特例。∑X＝0自然满足（X轴为垂直平行方向）。只余下二个独立平衡方程。

或2026/5/2334（三）物体系的平衡

1．物体系：是由多个物体（杆件）用结点（约束）联结在一起的物体系统。实际结构一般都由多个杆件组成。2026/5/2335

（1）当物体系处于平衡状态时，该体系中的每一个物体也必定处于平衡状态；（2）如果每个物体都受平面力系的作用，可对每个物体写出三个平衡方程；（3）若物体系由n个物体组成，则可以写出3n个独立的平衡方程。2026/5/23362．受力分析特点：

（1）取整体或局部分离体，解除全部约束，画出对应约束的约束力。

（2）已知力按实际方向画，未知力需假设正方向。两个局部物体之间的约束未知力应按作用力与反作用力方向确定。2026/5/2337教材例4－9P47

如图所示结构由AB、CD、EF三个杆件组成，受均布荷载q及力P的作用，，求铰支座A的支座反力。分析：取适当的分离体，灵活应用不同的平衡方程公式。2026/5/2338

解题步骤：1．取整体结构为分离体，列平衡方程考虑整体受力特点：除X外，其余未知力均为竖直方向。

2．取AEB杆为分离体，列平衡方程2026/5/2339

解：1．考虑AEB杆的受力分析：

XA、NEF、YB汇交于E点。所以对E点取力矩平衡方程，只有一个未知力YB

。

2026/5/23402．求得XA后才能求得YA的解。可以看到P的大小不影响YA

，只影响XA

。2026/5/2341工程力学（1）直播课堂4教师：姚志刚2026/5/2342（四）考虑摩擦的平衡问题

1．静滑动摩擦定律

f称为静滑动摩擦系数,不仅与材料表面性质，也与相对滑动的速度有关。2026/5/2343

2．P、Q为主动力，引起F、N，处于平衡状态，则F、N的合力与P、Q的合力大小相等、方向相反； 最大静摩擦力大小与正压力成正比，f为比例系数方向与相对滑动方向相反。NFQP2026/5/2344

主动力合力无论大小，只要作用在摩擦角内就能使物体处于静止平衡状态。即自锁现象。在工程中有重要的用处，如千斤顶，有一种提升式的脚手架，也是应用自锁装置防止滑落。2026/5/2345 3．全约束反力 摩擦角；自锁现象。

4．考虑摩擦的平衡问题：（1）在受力分析中，除画出法向应力N外，应注意最大静摩擦力Fmax，其方向与运动方向相反。2026/5/2346

（2）补充方程：

（3）摩擦力F与作用力平衡、随作用力的大小、方向变化，其范围为－Fmax~+Fmax2026/5/2347

教材例4－10P51

物块重为P，放在倾斜角为斜面上，接触面的静滑动摩擦系数为f。用水平力Q维持物块的平衡，试求力Q的大小。2026/5/2348

分析：Qmax使物体向上滑动趋势，Fmax及P的分力向下，使其未动的临界状态。由P引起物体的向下滑动,而由于Qmin和Fmax向上，使其未动的临界状态。具体计算请见教材P51页。

2026/5/2349三、本章学习要点1．平面任意力系向一点简化的方法。一般等效为一力与一力偶。2026/5/2350

只等效为－力的能简化为―合力，即汇交力系（平行力系交于无穷远）；主矢与简化中心无关。只等效为一力偶的为―力偶系，力矩与简化中心有关。2026/5/2351

2．物体系的平衡问题（1）正确分析整体与局部的受力；（2）灵活运用三个独立的平衡方程。2026/5/2352

适当的选取整体或局部的分离体，正确地画出受力情况。根据各力之间的特点，选取适当的平衡方程。2026/5/2353

3．理解滑动摩擦的概念注意方向自锁现象

2026/5/2354

例（教材习题4－11）P57

断钢筋的设备如图所示。欲使钢筋E受到的压力，问加于A点的力应多大？图中尺寸单位为cm。（图4－11）

OB尺寸为30CM，图中130CM有误，不成比例。2026/5/2355

考虑整体5个未知约束分力，不能直接求解。（1）分离体AO

，O2026/5/2356（2）分离体CED

DP=0.343kN2026/5/2357

教材习题4－12

三拱铰桥如图所示。已知。

求支座A和B的反力。分析（1）取整体为分离体（2）取分离体AC

求2026/5/2358

（2）取分离体BC

求

或取整体分离体：2026/5/2359

教材习题4－15P57

多跨梁如图所示。，求支座的约束反力。分析：（1）取CD分离体求,

（2）取AC分离体求支座的约束反力

2026/5/2360

教材习题4－17

求图示混合结构在荷载P的作用下，杆件1、2所受的力。分析：（1）取整体为分离体求：2026/5/2361

（2）取ACD为分离体，求杆件1所受的力并求出YC；（3）取适当分离体（请考虑）求杆件2所受的力。

2026/5/2362例题分析1、边长为a＝2m的正方形板受力如图示，已知：F1＝70kN，F2＝100kN，F3＝40kN，

试求该力系向A点简化的结果，结果在图中表示。2026/5/2363F