选修1-1导数例题及训练题

典例剖析:题型一求函数的单调区间例1函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.分析：讨论函数的单调区间，可以利用导数来判断解答：y′=(x+)′=1－=令＞0.解得x＞1或x＜－1.∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)点评：利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，再求函数f(x)的导数f′(x).，然后解不等式f′(x)＞0，得递增区间，解不等式f′(x)＜0，得递减区间.题型二函数的单调性，求参数的取值范围例2.假设函数在区间内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围．分析：常利用导数与函数单调性关系：即“假设函数单调递增，那么；假设函数单调递减，那么”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否那么漏解．解答：函数求导得，令得或，因为函数在区间内为减函数，所以当时，又因为在函数区间上为增函数，所以当时，，∴，∴．即实数的取值范围[5，7]点评：单调区间求参数a的取值范围是近年来常见的考查导数的一种题型。备选题例3：函数f〔x〕=2ax－,x∈〔0,1］，假设f〔x〕在x∈〔0,1］上是增函数，求a的取值范围；解:由可得f′〔x〕=2a+,∵f〔x〕在〔0,1〕上是增函数，∴f′〔x〕＞0,即a＞－,x∈〔0,1］.∴a＞－1.当a=－1时，f′〔x〕=－2+对x∈〔0,1〕也有f′〔x〕＞0，满足f〔x〕在〔0,1］上为增函数，∴a≥－1.评述:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.点击双基1.函数y=x+cosx在〔-，+〕内是〔〕A增函数B减函数C有增有减D不能确定解：因为=1-sinx0恒成立，应选A2.．函数的单调减区间是〔D〕A．〔 B.C．， D.以上都不对。解：〔x〕=3+2>0恒成立，不存在单调减区间，应选D3.函数(,那么()A．B.C．D.大小关系不能确定解：〔x〕=-=<0时x<1,所以(为减区间，又，应选C4.函数的单调增区间是 解：〔x〕=1+2cosx>0,所以cosx>-;单调增区间为(0,)5.如果函数y=+lnx-ax在定义域为增函数，那么a的取值范围是 解：定义域为〔0，，=x+-a0,即ax+在定义域〔0，上恒成立，又x+最小值为2,所以a2课外作业一．选择题，1.．函数的单调减区间是()A．〔 B.C．〔和 D.解:〔x〕=-3-2x+1<0，所以x>或x<-1，应选C2．函数，那么()A．在内是减函数 B.在内是增函数C．在内是减函数 D.在内是增函数解:〔x〕=，当x时〔x〕<0，应选A3..函数的单调递增区间是〔〕A.[0，＋∞〕B.[2，＋∞〕C.〔－∞，2]D.〔－∞，1]解：令〔x〕=-〔x-1〕>0,得2-x>0,x<2，应选C4..是f〔x〕的导函数，的图象如右图所示，那么f〔x〕的图象只可能是〔〕ABCDA．B．C．D．解：越大表示曲线f〔x〕递增〔减〕速度越快，应选D5.以下函数中,在上为增函数的是〔〕A.y=sinx+1,B.C.D.解：y=sinx+1是周期函数，不满足条件；，那么=+x,当x>0时>0成立。应选B6.对于R上可导的任意函数，假设满足，那么必有〔〕A.B.C.D.解：x1时〔x〕0；x1时〔x〕0。所以f(1)最小，f(0)f(1),f(2)f(1)，应选C7.函数在上是单调函数,那么实数的〔〕A.B.C.D.解：曲线f〔x〕在上是单调函数，〔x〕=-3+2ax-1,=4-120，应选B8.右图为是函数f(x)的导数图像，它是一条直线。 Y假设f(x)图像过原点，那么其顶点在〔〕 bA．第一象限B第二象限C．第三象限D第四象限解：f(x)图像大致如右图，应选A 0ax O a 二．填空题9.如果函数f(x)=x+在〔2，〕上是增函数，那么a的取值范围是 解：令f(x)=1-0，那么a.在〔2，〕上>4,只需a410.函数的单调递减区间为解：令f(x)=6-6x<0,解得0<x<1,单调递减区间为.11.函数f(x)=-sinx,x.那么其单调递增区间为解：令f(x)=-cosx0,那么cosx,其单调递增区间为()三、解答12.求函数的单调区间。证明：因为当时解得时，所以函数的减区间是。当>0时解得x>1或x<-2,所以函数的增区间是〔和〔1，〕。13.求以下函数单调区间〔1〕；〔2〕解：〔1〕在时恒成立，函数在递增，在递增。〔2〕，因为定义域为；由得。在递增，在递减。14.假设函数有三个单调区间，求的取值范围．解：，因为函数有三个单调区间，所以方程有两个相异的根，故有两个相异的根，。思悟小结1.〔x〕>0f〔x〕为增函数〔〔x〕<0f〔x〕为减函数〕.2.f〔x〕是增函数〔x〕≥0〔f〔x〕为减函数〔x〕≤0〕.函数的极大值和极小值第一课时典例剖析题型一函数极值的求法例1在与时，都取得极值．(1)求的值；(2)假设，求的单调区间和极值；分析：可导函数在点取到极值时，；求函数极值时，先求单调区间，再求极值。解：〔1〕f′(x)＝3x2＋2ax＋b由题设，x＝1，x＝－eq\F(2,3)为f′(x)＝0的解．－eq\F(2,3)a＝1－eq\F(2,3)，eq\F(b,3)＝1×(－eq\F(2,3))．∴a＝－eq\F(1,2)，b＝－2．〔2〕f(x)＝x3－eq\F(1,2)x2－2x＋c，由f(－1)＝－1－eq\F(1,2)＋2＋c＝eq\F(3,2)，c＝1．∴f(x)＝x3－eq\F(1,2)x2－2x＋1．x〔－∞，－eq\F(2,3)〕〔－eq\F(2,3)，1〕〔1，＋∞〕f′(x)＋－＋∴f(x)的递增区间为〔－∞，－eq\F(2,3)〕，及〔1，＋∞〕，递减区间为〔－eq\F(2,3)，1〕．当x＝－eq\F(2,3)时，f(x)有极大值，f(－eq\F(2,3))＝eq\F(49,27)；当x＝1时，f(x)有极小值，f(1)＝－eq\F(1,2)．评析：列表求单调区间和极值不容易出错。题型二例2设函数的图象如下图，且与在原点相切，假设函数的极小值为，〔1〕求的值；〔2〕求函数的递减区间．分析;从图上可得是函数的极大值点，函数的图象经过〔0，0〕点且图象与x轴相切于〔0，0〕点，可先求出的值。解：〔1〕函数的图象经过〔0，0〕点∴c=0，又图象与x轴相切于〔0，0〕点，=3x2+2ax+b∴0=3×02+2a×0+b，得b∴y=x3+ax2，=3x2+2ax当时，，当时，当x=时，函数有极小值－4∴，得a=－3〔2〕=3x2－6x＜0，解得0＜x＜2∴递减区间是〔0，2〕评析：求出的值后，利用导数就可求出单调区间。备选题例3：函数+lnx,求的极值.解;因为f(x)=-,令f(x)=0，那么x=注意函数定义域为〔0，〕，所以驻点是x=,当x(0,)时f(x)<0,为减函数，当x(，+)时f(x)>0,为增函数，所以x=是极小值点，的极小值为f()=(1+ln2),没有极大值。评析：注意函数的定义域点击双基1、函数y=1+3x-x有〔〕A．极大值1，极小值-1，B。极小值-2，极大值2C．极大值3，极小值–2，D。极小值-1，极大值3解：=-3+3,令=0得x=-1或x=1，易得x=-1是极小值点，x=1.是极大值点，应选D，2、函数y=3+mx+x有极值的充要条件是()Am>0Bm<0Cm0D,m0解：=3+m=0那么方程要有两解，函数y=3+mx+x才有极值。所以m<0，应选B3、f(x)在区间〔a,b〕的图像如右 Y 那么f(x)在区间〔a,b〕内有极大值点〔〕A2个B。3个C4个D1个 a A B C D x 0 b 解:A,B,D三点左右导数异号，是极值点，其中A，D是极大值点B是极小值点。注意C不是极值点，应选A4、y=x+的极大值为＿＿＿＿＿＿极小值为＿＿＿＿＿＿＿＿解：=1-=0，那么x=-2或x=2，x=-2是极大值点,所以极大值为-4，x=2是极小值点，所以极小值为4.5、假设函数在处有极大值，那么常数的值为_________；解;，时取极小值,时取极大值，故常数的值为6课外作业一．选择题1、函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的〔〕A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．必要非充分条件解：对于不能推出在取极值，反之成立，应选D2、函数,在时取得极值,那么()A.2B.3C.4D.5解：，应选D3、函数=-x+3x-3x+6有〔〕A.极大值5B极小值5C极小值1D无极值解：f(x)=-3x+6x-3=-3〔x-1〕0,所以在R上为减函数，应选D4、函数的极大值为6，那么等于〔〕A.6 B.0C.5 解：令f(x)=6-6x=0.得x=0或x=1,易得x=0极大值点，由f(0)=6得a=6，应选A5、以下四个函数，在处取得极值的函数是〔〕①②③④A.①② B.②③C.③④ D.①③解：可以分别画出四个函数的图像，得到在处取得极值的函数是和应选B6、函数=ax+3x+(a-1)x-5有极值的充要条件是〔〕Aa=-3或a=4B-3<a<4Ca>4或a<-3DaR解：f(x)=3ax+6x+a-1,有极值的充要条件是方程f(x)=0有两个不等实根。令>0,解得-3<a<4应选B7、如右图是函数的导数的图象，那么有()A,唯一极值点x=1Bx=0极大值点，x=2是极小值点Cx=0极小值点，x=2是极大值点D无极值解：x=0和x=2是方程f(x)=0的两根，由点x=0和x=2它们左右两侧导数值的正负号，应选B8、函数=2sinx-x那么有()Ax=是极小值点,Bx=是极小值点 Cx=是极大值点,Dx=是极大值点, 解：=2cosx-1,f〔〕=0，图像可知在x=左侧>0，在x=右侧＜0,所以x=是极大值点，应选C二．填空题9、函数的极大值为解：，当时，；当时，当时，10、函数=-x-的极大值为解：令=-1+>0，那么x(-,0)或x(0,)，令=-1+<0,那么x(-))或x(,+)，所以极大值为=-2，11、函数y=x3－4x+的极小值为解：，极小值在时取到，极小值为三．解答题12、求函数的极值。解：y=令y=0的=-2,=2函数驻点左右的符号如下表所示：x(-,-2)(-2,2)(2,)y+_+yx=-2是极大值点，x=2是极小值点所以极大值是y=,极小值是y=-13、求函数的极值：y＝2ex＋e解一;y′＝2ex－e－x令y′＝02ex＝ex2e2x＝1e2x＝x＝－ln2在x＝－ln2附近y′由负到正∴y有极小值，y极小＝2解二:y′＝2ex－e－x令y′＝0那么x＝－ln2y″＝2ex＋e－x由于：y″(－ln2)＝2e＋e＝＋＝2＞0．说明y′在x＝－ln2附近是增函数，即由负到正，所以y有极小值2．14、求函数y＝x4－8x2＋2的极值：解：y′＝4x3－16x，令y′＝0，解得x1＝0，x2＝2，x3＝－2．当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x〔－∞，－2〕－2〔－2，0〕0〔0，2〕2〔2，＋∞〕y′－0＋0－0＋y极小值－14极大值2极小值－14当x＝0时，y有极大值，y极大值＝2；当x＝±2时，y有极小值，y极小值＝－14．思悟小结1.可导函数f〔x〕在极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点.如果f〔x〕在x0处连续，在x0两侧的导数异号，那么点x0是函数f〔x〕的极值点.2.求可导函数f〔x〕的极值的步骤如下：〔1〕求f〔x〕的定义域，求〔x〕；〔2〕由〔x〕=0，求其稳定点；〔3〕检查〔x〕在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f〔x〕在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f〔x〕在这个根处取极小值；如果左右同号，那么f〔x〕在这个根处不取极值.第二课时典例剖析:题型一函数最大值和最小值的求法例1(1)求f〔x〕＝x3－3x2－9x＋5在[－4，4]上的最大值和最小值．(2)求函数在[]上的最大值和最小值．分析：求闭区间上函数最大最小值的方法为：①求出导数为0的点和导数不存在的点，②求出导数为0的点和导数不存在的点及端点的函数值，③比拟它们的大小。解答：(1)f′(x)＝3x2－6x－9＝3〔x＋1〕〔x－3〕令f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝3∴f〔x〕在x＝－1处有极大值f〔－1〕＝10f〔x〕在x＝3处有极小值f〔3〕＝－22在区间端点处f〔－4〕＝－71，f〔4〕＝－15比拟上述结果得：f〔x〕在[－4，4]上的最大值为f〔－1〕＝10，最小值为f〔－4〕＝－71．(2)当时，．由得，．为不存在的点．由于．所以，函数的最大值是最小值是．点评：利用导数求最值问题是导数的一个重要应用。题型二函数最大值和最小值的综合应用例2．在区间上最大值是5，最小值是－11，求的解析式.分析：先讨论在区间上的单调性，再求最大值和最小值。解令=0,得假设a>0,0+0-↗极大↘因此f(0)必为最大值,∴f(0)=5,得b=5,假设a<0,同理可得f(0)为最小值,∴f(0)=-11,得b=-11,评析：函数的单调性要借助导数的符号，故要对a的符号进行讨论。备选题例3：函数f〔x〕=2ax－,x∈〔0,1］.〔1〕假设f〔x〕在x∈〔0,1］上是增函数，求a的取值范围；〔2〕求f〔x〕在区间〔0,1］上的最大值.剖析:〔1〕要使f〔x〕在〔0,1］上为增函数，需f′〔x〕＞0,x∈〔0,1〕.〔2〕利用函数的单调性求最大值.解:〔1〕由可得f′〔x〕=2a+,∵f〔x〕在〔0,1〕上是增函数，∴f′〔x〕＞0,即a＞－,x∈〔0,1］.∴a＞－1.当a=－1时，f′〔x〕=－2+对x∈〔0,1〕也有f′〔x〕＞0，满足f〔x〕在〔0,1］上为增函数，∴a≥－1.〔2〕由〔1〕知,当a≥－1时,f〔x〕在〔0,1］上为增函数,∴［f〔x〕］max=f〔1〕=2a当a＜－1时，令f′〔x〕=0得x=,∵0＜＜1,∴0＜x＜时,f′〔x〕＞0;＜x≤1时，f′〔x〕＜0.∴f〔x〕在〔0,〕上是增函数，在〔,1]减函数.∴［f〔x〕］max=f〔〕=－3.评析:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.点击双基1、函数在区间上的最小值为〔〕ABCD解：得而端点的函数值，得，应选D2、函数y=1+3x－x3有〔〕A.极小值－2,极大值2B.极小值－2,极大值3C.极小值－1,极大值1D.极小值－1,极大值3解：y′=3－3x2=3〔1+x〕〔1－x〕.令y′=0得x1=－1,x2=1.当x＜－1时,y′＜0,函数y=1+3x－x3是减函数;当－1＜x＜1时,y′＞0,函数y=1+3x－x3是增函数;当x＞1时,y′＜0,函数y=1+3x－x3是减函数.∴当x=－1时,函数y=1+3x－x3有极小值－1;当x=1时,函数y=1+3x－x3有极大值3，应选D3、以下结论正确的选项是〔 〕A．假设是在上的极大值点，那么是在上的最大值B．假设是在上的极大值点，那么是在上的最大值C．假设是在上唯一的极大值点，那么是在上的最大值D．假设是在上唯一的极大值点，且在上无极小值点，那么是在上的最大值解：应选D4、函数的最小值为____________。解：在恒成立，为增函数，故最小值为5、函数在区间上的最大值是。解：，比拟处的函数值，得课外作业一．选择题1、在区间上的最大值是〔〕(A)-2(B)0(C)2(D)4解：，令可得x＝0或2〔2舍去〕，当－1x0时，0，当0x1时，0，所以当x＝0时，f〔x〕取得最大值为2，应选C2、值是〔〕A.－37B.－29C解：或，故，应选D3、函数在内有最小值，那么的取值范围是〔〕ABCD解：，应选B4、函数f(x)=x2-4x+1在[1，5]的最大值和最小值分别为〔〕A、f(1)，f(5)B、f(2)，f(5)C、f(1)，f(2)D、f(5)，f(2)解：由二次函数可得，应选D5、方程的实根的个数是〔

〕

A

3

B

2

C

1

D

0解：设f(x)=,∴方程f′(x)=0的△=4>0,方程的两根,并且的系数大于0,那么函数f(x)的图象为先增后减再增，且在x=1取得极大值，在x=3取得极小值，又f(3)=-10<0，由此可得出函数f(x)的简图。可知方程x3-6x2+9x-10=0有三个实根，应选A6、设M，m分别是函数在上的最大值和最小值，假设，那么A、等于0B、小于0C、等于1D、不确定解：因为，所以为常数函数，故，应选A7、函数的最大值为〔〕A． B．C．D．解：令，当时，；当时，，，在定义域内只有一个极值，所以，应选A8、函数，在上的最大、最小值分别为A.、B、C、D、解：，讨论点，应选B.二．填空题9、函数的最大值是__________。解：，当时，的最大值是210、函数f(x)=－x在［-2,2］上的最小值为____解：=-1,x>0时>0；x<0时<0.x=0是极小值点，也是最小值点。最小值为1。11、对于总有≥0成立，那么=．解：假设x＝0，那么不管取何值，≥0显然成立；当x＞0即时，≥0可化为，，设，那么，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；三．解答题12、求函数在内的最小值．解：．在上，令得．当时，；当时，，故在处取得极小值．那么函数在点处取得最小值．13、在时有极大值6，在时有极小值，求的值；并求在区间[－3，3]上的最大值和最小值..解：〔1〕由条件知〔2〕，x－3(－3,－2)－2(－2,1)1(1,3)3＋0－0＋↗6↘↗由上表知，在区间[－3，3]上，当时，，时，14、：f(x)=log3,x∈(0,+∞).是否存在实数a、b,使f(x)同时满足以下两个条件：〔1〕f(x)在〔0，1〕上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；〔2〕f(x)的最小值是1，假设存在，求出a,b，假设不存在，说明理由.解：设g(x)=∵f(x)在〔0，1〕上是减函数，在［1，+∞)上是增函数∴g(x)在〔0，1〕上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.x=1是g(x)的极小值点，∴∴解得经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件.思悟小结求可导函数f〔x〕的最值的方法：〔1〕求f〔x〕在给定区间内的极值；〔2〕将f〔x〕的各极值与端点值比拟，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.三次函数的性质：单调区间和极值典例剖析题型一三次函数的单调区间和极值例1设f〔x〕=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f〔x〕的单调区间.解：〔x〕=3x2－6ax+2b，由题意知即解之得a=，b=－.此时f〔x〕=x3－x2－x，〔x〕=3x2－2x－1=3〔x+〕〔x－1〕.当〔x〕>0时，x>1或x<－，当〔x〕<0时，－<x<1.∴函数f〔x〕的单调增区间为〔－∞，－〕和〔1，+∞〕，减区间为〔－，1〕.评析：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点.题型二求待定常数例2函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，y=g(x)令g(x)=x-ax-2,只须g(-1)0且g(1)0.解之得：-11x评析：三次函数的导数是二次函数，要充分利用抛物线的性质。备选题例3：函数f〔x〕=ax3+3x2－x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围.解：〔x〕=3ax2+6x－1.〔1〕当〔x〕<0时，f〔x〕为减函数.3ax2+6x－1<0〔x∈R〕，a<0时，Δ=36+12a<0，∴a∴a<－3时，〔x〕<0，f〔x〕在R上是减函数.〔2〕当a=－3时，f〔x〕=－3〔x－〕3+.由y=x3在R上的单调性知：a=－3时，f〔x〕在R上是减函数，综上，a≤－3.评析：f〔x〕在R上为减函数〔x〕≤0〔x∈R〕.点击双基1.函数y=x2〔x－3〕的减区间是〔〕A.〔－∞，0〕B.〔2，+∞〕C.〔0，2〕D.〔－2，2〕解：y′=3x2－6x，由y′<0，得0<x<2，应选C2、函数y=-3x+2在闭区间上的最大值和最小值分别为〔〕A，2，1，B2，-18C.1，-17D4，-16解；=3x-3=0,那么x=-1或x=1.又f(0)=2,f(-1)=4,f(1)=0,f(-3)=-16，应选D3、函数的递增区间是〔〕ABCD解：对于任何实数都恒成立，应选C4、假设，那么的值为_________________；解：5、曲线在点处的切线倾斜角为__________；解：课外作业一选择题：1.函数的“驻点”是A．1 B.C．和2 D.0解：f(x)=3-12=0，x=2，应选C2．函数的单调减区间是A．〔 B.C．〔， D.解：f(x)=3x-2x-1<0,得-<x<1，应选D3.在上的单调递增，那么〔〕A、a0且 B、且 C、且 D、且解:f(x)=6-a0,即a6在xR上恒成立，应选A4.函数的导数为0的值也使值为0，那么常数的〔〕A、0 B、±3 C、0或±3 D、3解：=3x+2ax=0,得x=0或x=-,把两根分别代入方程，再解a的方程知a=0或a=3，应选C5.最小值是〔〕A.－37B.－29C.－5D.5解;令=-12x=0，那么x=0或x=2,在A6.设是函数的导数,的图象如下图,那么的图象最有可能是()解:图象显示，x>2或x<0时f(x)>0，f(x)为增函数。0<x<2时f(x)<0，f(x)为减函数，应选C7.假设对任意的有-2且，那么此函数的解析式可能是〔〕A、-2 B、 C、x+1 D、解:将条件代入验证即可，应选C8.的图象在处的切线与圆的位置关系是〔〕A、相切 B、相交但不过圆心 C、过圆心 D、相离解：f′(x)=3+4，f′(1)=7，又f(