线性代数电子教案-总复习

《线性代数》电子教案总复习线性代数总复习第一部分行列式行列式排列概念性质展开式计算应用逆序奇/偶排列一种排列中，某两个元素的先后次序与原则次序不同时，就说有1个逆序。一种排列中全部逆序的总数叫做该排列的逆序数。第一部分行列式线性代数总复习行列式排列概念性质展开式计算应用逆序奇/偶排列逆序数为奇数的排列叫奇排列。逆序数为偶数的排列叫偶排列。第一部分行列式线性代数总复习行列式排列概念性质展开式计算应用

D=(不同行、不同列元素乘积的代数和)第一部分行列式线性代数总复习行列式排列概念性质展开式计算应用

性质1行列式与它的转置行列式相等。性质2行列式互换两行(列)，行列式变号。推论:

行列式有两行(列)相同，则此行列式为零。性质3行列式的某一行(列)的所有元素乘以数k，等于用数k乘以该行列式。推论:行列式的某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号外。性质4行列式中有两行(列)的元素对应成比例，则此行列式为零。第一部分行列式线性代数总复习行列式排列概念性质展开式计算应用

性质5若行列式中某一行(列)的元素都是两数之和，即若性质6行列式某一行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式值不变。则此行列式等于两个行列式之和，即第一部分行列式线性代数总复习行列式排列概念性质展开式计算应用

第一部分行列式代数余子式一般地,在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去,留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij,令Aij

=(1)i+jMij,并称之为aij的代数余子式.线性代数总复习行列式排列概念性质展开式计算应用

第一部分行列式克拉默法则(求解齐次线性方程组的一种办法)齐次线性方程组有非零解的充足条件三角化法递推法数学归纳法展开法拆项法

…线性代数总复习其它几个重要定理及结论：定理

n阶行列式的某一行(列)元素与另一行(列)的对应的代数余子式乘积之和为零.即

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(i

j)a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(i

j).上(下)三角行列式的值等于主对角线元素的乘积第一部分行列式线性代数总复习第二部分矩阵第二部分矩阵矩阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换m×n个数构成的m行n列的数表加法：A+B=(aij+bij),A、B是同型矩阵A+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C),A+O=A,

A+(

A)=O,数乘：kA=k(aij)k(lA)=(kl)A,

(k+l)A=kA+lA,k(A+B)=kA+kBcij=

aikbkj.k=1s矩阵乘法：AB=C，其中C是m×n矩阵.(AB)C=A(BC),A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(kA)B=k(AB).线性代数总复习第二部分矩阵第二部分矩阵矩阵概念矩阵运算随着矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换转置：A=(aij),AT=(aji)方阵的行列式：(AT)T=A,(kA)T=kAT,(A+B)T=AT+BT,(AB)T=BTAT.设A=[aij]nn为方阵,元素aij的代数余子式为Aij,则称以下矩阵为方阵A的随着矩阵.矩阵线性代数总复习第二部分矩阵矩阵矩阵概念矩阵运算随着矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换定义:设A为方阵,若存在方阵B,使得AB=BA=E.则称A可逆,并称B为A的逆矩阵.注意：A可逆detA≠0(A1)1=A.

(AT)1=(A1)T.

(kA)1=k1A1.

(AB)1=B1A1.

运算性质逆阵的求法:定义法用伴随矩阵用随着矩阵用初等行变换(A

E)→(A-1

A)逆阵的证法:

A

≠0，R(A)=n,反证法线性代数总复习第二部分矩阵矩阵矩阵概念矩阵运算随着矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换单位矩阵对角矩阵初等矩阵对称矩阵定义：非0子式的最高阶数求法：初等变换或定义的性质：经初等变换矩阵的秩不变几种常用的初等变换及对应的初等矩阵行阶梯矩阵、行最简型、标准型线性代数总复习其它几个重要定理及结论：第二部分矩阵矩阵等价：若矩阵A通过有限次初等变换化为B,则称A与B等价.记为A~B.（注意与相似、合同、正交相似的区别）A与B等价R(A)=R(B)定理.方阵A可逆的充要条件是A可写成有限个初等矩阵的乘积.推论1.方阵A可逆的充要条件是A与单位矩阵行等价。推论2.

m×n阶矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B。与等价有关的重要定理定理.对mn矩阵A进行一次初等行变换相称于在A的左边乘以对应的初等矩阵;对A施行一次初等列变换相称于在A的右边乘以对应的初等矩阵.线性代数总复习第三部分向量组的线性有关性与线性方程组的解第三部分向量组的线性有关性与线性方程组的解n维向量运算线性表达线性有关性k1

1+k2

2+…+kn

n=0ki均为0，则

1,

2,…,

n线性无关

只要有一种ki不为0，1,2,…,n线性有关最大线性无关组：向量组A中，能找到r个向量线性无关，任意r+1个线性有关，则这r个向量构成的向量组是A的一种最大线性无关组。求法：非零子式法、初等变换法最大无关组包含的向量的个数最大无关组向量组的秩向量组与矩阵的关系线性代数总复习第三部分向量组的线性有关性与线性方程组的解矩阵A=(

1,

2,…,

s)

列向量组:

1,

2,…,

s

注：行向量的问题与列向量相似矩阵A的秩R(A)向量组的秩RT

最高阶非零子式最大线性无关组

线性代数总复习第三部分向量组的线性有关性与线性方程组的解线性方程组Ax=bb=0?齐次方程组是否非齐次方程组行阶梯形矩阵初等行变换R(A)

nR(A)＝R(Ab)解的结构基础解系有无非零解有解判定§3.4.1齐次线性方程组第三章线性方程组例.求的基础解系与通解.解:初等行变换该方程组的基础解系可取为通解为第三章线性方程组§3.4.2非齐次线性方程组解:初等行变换可见原方程组有解,且例.求方程组的通解.第三章线性方程组§3.4.2非齐次线性方程组由此可得原方程组的通解可见原方程组有解,且向量组的线性有关性与非齐次方程组解的关系线性代数总复习第三部分向量组的线性有关性与线性方程组的解有解

无解

向量b能由

1,

2,…,

n线性表示？是

否

Ax=(

1,

2,…,

n)x=b有无穷多组解

有唯一解

有效方程数少于未知数个数？R(A)＝R(Ab)?是

否

R(A)＝R(Ab)

n?无

有

Ax=b有矛盾方程?方程组有解方程组无解

否

是

是

否

向量组的线性有关性与齐次方程组解的关系线性代数总复习第三部分向量组的线性有关性与线性方程组的解有非零解

只有零解

向量组

1,

2,…,

n线性相关？是

否

Ax=(

1,

2,…,

n)x=0R(A)

n

R(A)=n

注意：齐次线性方程组不会出现矛盾方程。只有零解

有无穷多组非零解

R(A)＝n?是

否

有效方程数少于未知数个数？否是

线性代数总复习第四部分向量空间第四部分向量空间向量空间V对于

+，k封闭

1,

2,…,

r是V中一线性无关向量组,V中任一向量都能由

1,

2,…,

r线性表示,则称

1,

2,…,

r是向量空间V的一组基.r称为V的维数.

1,

2,…,

r是向量空间V的一组基.对

V,唯一的一组有序实数k1,…,kr使

=k1

1+k2

2+…+kr

r.则称r维向量{k1,k2,…,kr}T为

在

1,…,

r这组基下的坐标.注意：由基的不唯一性可知坐标不唯一定义基、维数坐标基变换与坐标变换向量内积线性代数总复习第四部分向量空间定义基、维数坐标基变换与坐标变换向量空间基变换公式：注意：P可逆，且P的列向量pi是

i在

1,

2,…,

r这组基下的坐标。P是由

1,

2,…,

r到

1,

2,…,

r的过渡矩阵,

V在这两组基下的坐标分别为x,y。x=Py,y=P1x.坐标变换公式：称P为从基

1,

2,…,

r到

1,

2,…,

r的过渡矩阵.(

1,

2,…,

r)=(

1,

2,…,

r)P

向量内积线性代数总复习第四部分向量空间定义基、维数坐标基变换与坐标变换向量空间定义：向量内积

对称性:[

,

]=[

,

];(2)线性性:[k1

1+k2

2,

]=k1[

1,

]+k2[

2,

];(3)[

,

]0;且[

,

]=0

=0.(4)|[

,

]|[

,

][

,

].性质：正交：施密特(Schmidt)办法若[

,

]=0,则称

与

正交.(

E–A)

=0基础解系法线性代数总复习第五部分方阵的特性值与特性向量第五部分方阵的特性值与特性向量特性值与特性向量A

=

，

≠0

定义求法性质相似矩阵实对称阵特征值特征向量定义法特征方程|

E–A|=0定义法

1+…+

n=tr(A).

1…

n=|A|.A可逆

1,…,

n全不为零.|

E–A|=|

E–AT|.线性代数总复习第五部分方阵的特性值与特性向量概念求法性质相似矩阵实对称阵特性值与特性向量矩阵相似，则其特性值相似。不同特性值的特性向量线性无关。k重特性值至多有k个线性无关的特性向量。A有n个线性无关的特性向量P-1AP=BR(iE-A)=n-r，i是r重特性值

A有n个不同的特征值A是实对称阵

定义矩阵可对角化的条件应用An=P-1

nP线性代数总复习第五部分方阵的特性值与特性向量概念求法性质相似矩阵实对称阵的特性特性值与特性向量必可相似对角化不同特性值的特性向量互相正交特性值全是实数k重特性值必有k个线性无关的特性向量与对角阵合同矩阵等价、相似、合同、正交相似的联系与区别

A,B∈Mn,

A与B相似

存在可逆矩阵P，使P-1AP=BA与B合同

存在可逆矩阵C，使CTAC=BA与B正交相似

存在正交阵Q，使QTAQ=Q-1AQ=B

A,B∈Mm×n,

A与B等价

存在m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B共同的性质：自反性、对称性、传递性线性代数总复习第五部分方阵的特性值与特性向量等价、相似、合同、正交相似的关系A与B相似

A与B合同

A与B正交相似方阵A与B等价等价、相似、合同、正交相似的不变量等价:秩，即R(A)=R(B)相似:秩，即R(A)=R(B)特征多项式，