现代控制理论现代控制理论控制系统的数学模型

第一节状态空间表示式第九章状态空间分析法第1页“三域”模型及其相互关系第2页对控制系统分析（根轨迹法和频率响应法），都以传递函数或频率特征形式来描述控制系统。方法不足：传递函数只描述系统输出与输入间关系，不包括到系统内部状态信息，因而这种描述不完整；传递函数概念主要适用零初始条件于单输入单输出系统。无法表示时变系统，非线性系统以及非零初始条件线性定常系统。以传函方法表示控制系统，有时达不到系统最优性能。第3页状态空间表示式：

经过输入，状态变量和输出来描述系统；

经过将高阶微分方程或传递函数改写成一阶微分方程组，即系统状态方程。状态方程能够用向量和矩阵形式来表示，使模型简单，易于计算，分析。第4页9.1.1线性系统数学描述系统描述中惯用基本概念系统外部描述传递函数

系统内部描述状态空间描述一、状态、状态变量和状态空间第5页解：以作为中间变量，列写该回路微分方程

求解这个微分方程组，出现两个积分常数。它们由初始条件第6页状态变量：系统状态变量就是确定系统状态最小一组变量。（或完全表征系统运动状态最小一组变量。）和就能够表征这个电路行为。若将和视为一组信息量，则这么一组信息量就称为状态。这组信息量中每个变量均是该电路状态变量。状态:表征系统运动信息和行为。第7页假如知道这些变量在任意时刻t0值以及t≧t0系统输入，便能完整地确定系统在时刻t状态。这么一组最小变量称为系统状态变量。这里所说“完整”是指系统全部可能运动情况都能表示出来；所谓“最小”既是变量个数最少。一个系统有几个储能元件，就有几个状态变量。第8页补充：

定义2设α1，α2，…，αm是一组n维向量，假如存在m个不全为0常数k1，k2，…，km使得k1α1+k2α2+…+kmαm=0，则称向量组α1，α2，…，αm线性相关(linearlydependent)；不然，称向量组α1，α2，…，αm线性无关。定义1设α1，α2，…，αm，β是一组n维向量，若存在m个实数k1，k2，…，km使得β=k1α1+k2α2+…+kmαm，则称β能够由α1，α2，…，αm线性表示(linearrepresentation)。或称α1，α2，…，αm线性表示(lineargenerate)β。第9页状态空间：以选择一组状态变量为坐标轴而组成正交空间，称为状态空间。系统在任意时刻状态能够用状态空间中一个点来表示。比如t1时刻状态，在状态空间中表示为第10页第11页二、状态空间表示式第12页这个方程组描述了系统状态变量和输入量之间关系，称为电路状态方程。这个方程组描述了系统状态变量和输出量之间关系，称为电路输出方程。第13页普通情况：其中，第14页线性定常连续系统状态图：第15页三、状态变量选取视研究问题性质和输入特征而定。

对一个物理系统而言，通常可选择系统中反应独立储能元件状态特征量为状态变量。比如电路中电容两端电压，流过电感电流，机械系统中速度和位置（转角）均可作为系统状态变量。状态变量选取不唯一。状态变量数目是唯一。第16页四、状态空间表示式建立举例例1求图示机械系统状态空间表示式外力

位移

牛顿力学定律令---弹性系数阻尼系数第17页动态方程以下第18页状态空间表示式为：

第19页例2求图示RLC电路系统状态空间表示式第20页

为系统两状态变量，则原方程可化成写成矩阵—向量形式为：

第21页令为状态向量则：第22页9.1.2线性定常连续系统状态空间表示式1.由系统微分方程建立状态空间表示式1）系统输入量中不含导数项第23页选取：状态空间表示式：第24页第25页第26页第27页例

设

求系统状态空间表示式。

解：选

第28页则：第29页状态空间表示式为第30页2.系统输入量中含有导数项假如单输入—单输出系统微分方程为：普通输入量中导数项次数小于或等于系统次数n。为了防止在状态方程中出现u导数项，能够选择以下一组状态变量。设，选取：第31页为了用状态空间分析系统，对于已知由传递函数（或微分方程）描述系统，就需要先将它们转变为对应动态防城，且不改变系统输入—输出特征，这么求得动态方程称为系统一个状态空间实现。动态方程各种不一样形式，实现方法也各种，这里介绍最常见四种标准实现：能控标准形实现，能观标准形实现对角标准形实现，约当标准形实现第32页

2.由传递函数列写动态方程（状态空间表示式）

设单输入/输出系统传递函数：

其中，。为传递函数普通形式。第33页传递函数中存在着有零、极点对消和没有零、极点对消情况。这里所讨论实现是没有零、极点对消情况，据此求得动态方程，其状态变量数量少，对应矩阵维数也最小。若组成硬件系统时，所需积分器个数也最少，故这种实现有最小实现之称。第34页（一）能控标准形实现1传递函数无零点第35页矩阵特点说明p336第36页图9-5传递函数无零点时能控标准形状态图第37页例9-3已知一系统传递函数为试写出能控标准形状态空间表示式。第38页2传递函数有零点第39页（1）串联分解形式dy(s)y2(s)y1(s)第40页选取状态变量第41页则状态方程为：第42页输出方程为：写成向量-矩阵形式为：第43页第44页例9-4已知一系统传递函数为试写出能控标准形状态空间表示式。第45页(二)能观标准形实现

第46页写成向量-矩阵形式为：第47页第48页图9-8能观标准形状态图第49页（三）对角标准形实现第50页并联分解（对角标准形）把传递函数展开成部分分式求取状态空间表达式只含单实极点，设可分解为：其中为系统单实极点则：第51页其中：

为极点留数第52页a.选取状态变量:将上式整理，并进行拉氏变换，可得状态方程再将代入：展开：第53页

第54页

第55页特点：传函极点全1对应极点留数b.选取状态变量:第56页第57页第58页状态变量图（并联结构）

对角标准形(a)第59页对角标准形(b)第60页例9-5已知一系统传递函数为试写出对角标准形状态空间表示式。第61页（四）约当标准形实现当含重实极点第62页为了简单起见，设T(s)只有r重极点，则传递函数部分式展开式为：第63页.状态空间表示式第64页..

第65页其中第66页.状态变量图第67页例9-6已知一系统传递函数为试写出约当标准形状态空间表示式。第68页第69页例：设系统传递函数为：试求其状态空间表示式。解：分母三重极点用部分分式为：第70页

第71页状态空间表示式第72页3由动态方程求系统传递函数矩阵定义：初始条件为零时，输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换之间传递关系传递函数矩阵（简称传递矩阵）表示式：设动态方程令初始条件为零，求拉氏变换式：第73页则系统传递矩阵表示式为：第74页第75页例9-6已知系统动态方程式为求系统传递函数矩阵。第76页第77页9.2线性变换前面已指出一个给定动态系统、状态变量选取有许多方法。所以一个系统有许不一样状态空间表示式来描述。状态变量不一样选取，其实是状态向量一个线性变换。

一个给定动态系统，状态变量选取有许多不一样方法（如前面电路），所以状态空间表示式也不一样，即一个系统有许多不一样状态空间表示式来描述。第78页状态变量不一样选取状态向量线性变换（或坐标变换）1.系统状态线性变换目标：便于揭示系统特征及分析计算且不会改变系统性质假如是一组由个状态变量组成维状态向量，则线性组合也完全能够作为一组新状态变量，组成新状态向量，第79页在与之间存在以下非奇异线性变换关系：或其中是非奇异变换矩阵第80页于是有：即使状态变量和状态表示式不一样，但和都是描述同一系统动态行为描述。第81页设线性常定系统状态空间表示为令则其中第82页例：设系统状态空间表示式为：取变换矩阵则第83页

第84页

取变换矩阵则第85页

对角化！状态变量之间