工程数学第一讲

四川大学计算机学院QQ:1648277629Tel值计算方法NumericalComputationalMethod第1页教材

(TextBook)

数值计算方法

吕同富康兆敏方秀男编著

（清华大学出版社，年）参考书目

(Reference)

数值计算方法(上、下册)

林成森编著（科学出版社1998年）

Principleof

NumericalAnalysis

数值分析原理封建湖、车刚明、聂玉峰编著（科学出版社，年）

数值计算方法李维国、黄炳家、同登科、王子亭编著（石油大学出版社，年）第2页

课程评分方法

(GradingPolicies)

平时成绩和上机试验

(40%左右)

期末考试成绩

(60%左右)第3页

提问：数值计算方法是做什么用？研究对象：数值问题——有限个输入数据（问题自变量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之间函数关系一个明确无歧义描述。如一阶微分方程初值问题求函数解析表示式数学问题求函数在一些点近似函数值数值问题第4页程序设计上机计算设计高效、可靠数值方法数值问题求解近似结果输出重点讨论数值问题起源：实际问题建立数学模型数值问题第5页数值方法设计标准收敛性：方法可行性稳定性：初始数据等产生误差对结果影响便于编程实现：逻辑复杂度要小计算量要小：时间复杂度要小，运行时间要短存贮量要尽可能小：空间复杂度要小可靠性分析计算复杂性误差预计：运算结果不能产生太大偏差且能够控制误差第6页§1

误差

/*Error*/一、误差起源与分类

/*Source&Classification*/

1、从实际问题中抽象出数学模型

——模型误差

/*ModelingError*/

2、经过观察得到模型中一些参数（或物理量）值

——观察误差

/*MeasurementError*/

3、数学模型与数值算法之间误差求近似解

——方法误差

(截断误差

/*TruncationError*/)

4、因为机器字长有限，原始数据和计算过程会产生新误差

——舍入误差

/*RoundoffError*/第7页二、误差分析基本概念

/*BasicConcepts*/

设为真值（准确值），为一个近似值称为近似值绝对误差，简称误差。

注：

误差可正可负，经常是无限位

绝对误差限/*accuracy*/——绝对值上界如：

绝对误差还不能完全表示近似值好坏（绝对误差/*absoluteerror*/）第8页近似值误差与准确值比值：称为近似值相对误差，记作

注：

实际计算时，相对误差通常取因为（相对误差/*relativeerror*/）第9页

相对误差也可正可负（有效数字/*SignificantDigits*/）

相对误差限——相对误差绝对值上界/*relativeaccuracy*/如：3位6位若近似值与准确值误差绝对值不超出某一位半个单位，该位到第一位非零数字共有位则称有位有效数字第10页

有效数字(另外一个定义形式)注：0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效数字。12300假如写成0.123105，则表示只有3位有效数字。数字末尾0不可随意省去！用科学计数法，记其中，若（即截取按四舍五入规则），则称为有位有效数字，准确到。例1：问：有几位有效数字？请证实你结论。证实：有位有效数字，准确到小数点后第位。43规格化形式第11页

注：

若每一位都是有效数字，则称是有效数尤其，经“四舍五入”得到数均为有效数将近似值表示为，若是有效数字，则相对误差不超出；反之，若已知相对误差，且有，则必为有效数字。证实：首先，是有效数字，

则且第12页另首先，必为有效数字，

即最少有位有效数字注:定理1说明了有效数字与相对误差限关系.

有效数字

相对误差限已知x

有n位有效数字，则其相对误差限为第13页

相对误差限

有效数字已知x

相对误差限可写为则可见x

最少有n

位有效数字。例2：为使

相对误差小于0.001%,最少应取几位有效数字？解：假设

取到n位有效数字，则其相对误差上限为第14页要确保其相对误差小于0.001%，只要确保其上限满足已知

a1=3，则从以上不等式可解得

n>6log6，即

n6，应取

=3.14159。第15页例3计算以下多项式值为已知数据分析：输入数据为，输出数据为，若直接由算出，再乘对应系数并相加，则要做次乘法和次加法，占用个存放单元。秦九韶方法，也称为Horner算法用递推公式表示为只用次乘法和次加法，并占用个存放单元

三、数值算法及稳定性

/*NumericalAlgorithmandStability*/第16页大家一起猜？11/e解法之一：将作Taylor展开后再积分S4R4

/*Remainder*/取则称为截断误差

/*TruncationError*/|

舍入误差

/*RoundoffError*/|=0.747……由截去部分/*excludedterms*/引发由留下部分/*includedterms*/引发例4近似计算第17页

一个算法假如输入数据有扰动（即误差），而计算过程中舍入误差不增加,则称此算法是数值稳定，不然此算法就称为不稳定。（数值稳定性/*NumericalStability*/）

对数学问题本身假如输入数据有微小扰动，引发输出数据（即问题真解）很大扰动，这就是病态问题。（病态问题/*ill-posedproblem*/）

它是数学问题本身性质所决定，与算法无关，也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算都将产生不稳定性。

第18页此公式准确成立记为则初始误差????!!!Whathappened?!例5计算

公式一：第19页考查第n步误差我们有责任改变。造成这种情况是不稳定算法

/*unstablealgorithm*/快速积累，误差呈递增趋势。初始小扰动

公式二：注意此公式与公式一在理论上等价。方法：先预计一个IN

,再反推要求In(n<<N)。可取第20页取第21页考查反推一步误差：以这类推，对n<N

有：误差逐步递减,这么算法称为稳定算法

/*stablealgorithm*/

在我们今后讨论中，误差将不可回避，算法稳定性将会是一个非常主要话题。第22页例6：蝴蝶效应

——纽约一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽北京就刮起台风来了？！纽约北京这是一个病态问题关于蝴蝶效应第23页§2误差分析方法和标准

/*ErrorAnalysis*/一、误差分析方法1、向前误差分析法：利用误差限，伴随计算过程逐步向前进行分析，直至预计出最终结果。（例4）

注：两个近似数，四则运算得到误差限分别为（1）第24页（2）对于函数y=f(x)，若用x*取代x

，将对y产生什么影响？分析：e(y)=f(x*)

f(x)e(x)=x*xMeanValueTheoremx*与x

非常靠近时，可认为，则有：即：产生误差经过作用后被放大/缩小了

倍。故称

为放大/缩小因子

/*amplificationfactor*/

或

绝对条件数

/*absoluteconditionnumber*/.第25页相对误差条件数

/*relativeconditionnumber*/

f条件数在某一点是小\大，则称

f在该点是好条件

/*well-conditioned*/

\坏条件

/*ill-conditioned*/。注：关于多元函数

可类似讨论，理论工具：Taylor公式(教材第6页)第26页例7设,试求函数相对误差限.解：由题设知:近似值为,绝对误差限为

第27页2、向后误差分析法：把舍入误差累积与导出已知量某种摄动（微小误差）等价起来，

即令利用摄动理论，由界预计出最终舍入误差界。3、区间分析法：把参加运算数都看成区间量，依据区间运算规则求得最终结果近似值和误差限。4、概率分析法：利用概率统计方法，将数据和运算中舍入误差视为适合某种分布随机变量，然后确定计算结果误差分布。 第28页二、几点注意事项

/*Remarks*/1、

防止相近二数相减例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效数字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效数字。

几个经验性防止方法：当|x|<<1时：第29页2、

防止小分母:分母小会造成浮点溢出

/*overflow*/3、防止大数吃小数例：用单精度计算根。准确解为

算法1：利用求根公式在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1指数部分须