2027届高考数学一轮总复习第三章培优专题二　不等式的证明（课件）

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第三章一元函数的导数及其应用培优专题二不等式的证明高三一轮数学内容索引课时作业关键能力提升考试要求三年考情掌握证明不等式的基本方法,会用构造函数法、分拆函数法、放缩法等证明不等式.202320242025新课标Ⅰ卷T19

全国一卷T19新课标Ⅱ卷T22

全国二卷T18关键能力提升

1.若待证不等式的一边含有自变量,另一边为常数,可直接求函数的最值,利用最值证明不等式.2.若待证不等式的两边含有同一个变量,一般地,可以直接构造“左减右”的函数,

有时对复杂的式子要进行变形,利用导数研究其单调性和最值,借助所构造函数的单调性和最值即可得证.规律总结

1.若直接求导比较复杂或无从下手,或两次求导都不能判断导数的正负,可将待证式进行变形,构造两个函数,从而找到可以传递的中间量,达到证明的目标.含ln

x与ex的混合式不能直接构造函数,要将指数与对数分离,分别计算它们的最值,借助最值进行证明.2.等价变形的目的是便于求导后找到极值点,一般地,ex与ln

x要分离,常构造xn与ln

x,xn与ex的积、商形式,便于求导后找到极值点.规律总结

考点3

适当放缩证明不等式【例3】

当x>0时,求证:ex-sinx-1>xlnx.【证明】

设h(x)=x-sin

x,则h'(x)=1-cos

x≥0,h(x)在(0,+∞)上单调递增,则当x>0时,h(x)>h(0)=0,即x>sin

x(x>0).故ex-sin

x-1>ex-x-1,则要证ex-sin

x-1>xln

x,只需证明ex-x-1>xln

x.设f(x)=ex-x-1,则f'(x)=ex-1,则x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.f(x)的最小值为f(0)=0.

规律总结

于是当x=-1时,h(x)min=h(-1)=0,因此x+1≥ln(x+2)(当且仅当x=-1时取等号),因为等号不同时成立,所以当x>-2时,f(x)>ln(x+2).课时作业22

2.(15分)已知函数f(x)=(x2+4)(1+xlnx).(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;解:f'(x)=2x(1+xln

x)+(x2+4)(1+ln

x),则f'(1)=2+5=7,因为f(1)=5,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-5=7(x-1),即7x-y-2=0.

(2)若a=-1,求证:当x∈[0,+∞)时,f(x)≤2ex-2.证明:令g(x)=(2ex-2)-f(x),x∈[0,+∞).当a=-1时,g(x)=2ex-2-sin

x-ln(x+1)=2(ex-x-1)+x-sin

x+x-ln(x+1),下证:ex-x-1≥0(x≥0),x-sin

x≥0(x≥0),x-ln(x+1)≥0(x≥0),且在x=0处取等号,令r(x)=ex-x-1(x≥0),则r'(x)=ex-1≥0,故r(x)=ex-x-1在[0,+∞)上单调递增,故r(x)≥r(0)=0,即ex-x-1≥0,且在x=0处取等号;由(1

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