2027届高考数学一轮总复习10.7二项分布、超几何分布与正态分布（课件）

第十章计数原理、概率10.7二项分布、超几何分布与正态分布高三一轮数学内容索引必备知识回顾课时作业关键能力提升考试要求三年考情1.理解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.2.了解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题.3.了解正态分布的概念和特征,并能进行简单应用.202320242025

新课标Ⅰ卷T9

新课标Ⅱ卷T12新课标Ⅱ卷T18

必备知识回顾

1知识梳理两个n重伯努利试验X~B(n,p)

pp(1-p)npnp(1-p)

X~N(μ,σ2)x=μx=μ(3)3σ原则①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.(4)正态分布的均值与方差若X~N(μ,σ2),则E(X)=__,D(X)=__.μσ21.两点分布是二项分布当n=1时的特殊情形.2.“二项分布”与“超几何分布”的区别:有放回抽取问题对应二项分布,不放回抽取问题对应超几何分布,当总体容量很大时,超几何分布可近似为二项分布来处理.3.在实际应用中,往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼,这表明试验可视为n重伯努利试验,进而判定是否服从二项分布.知识拓展1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了20次,是n重伯努利试验.(

)(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数,则X服从二项分布.(

)(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球,连取3次,则取到红球的个数X服从超几何分布.(

)(4)当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“矮胖”.(

)基础检测√√××2.(人教B版选择性必修第二册P83练习BT4改编)已知离散型随机变量X~B(10,0.2),则E(X)=(

)A.8 B.2C.1.6 D.0.8解析:因为离散型随机变量X~B(10,0.2),所以E(X)=10×0.2=2.故选B.B3.(人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T2改编)若X~N(1,σ2),且P(X>2)=0.10,则P(X>0)=(

)A.0.10

B.0.40

C.0.80

D.0.90解析:根据题意X~N(1,σ2),且P(X>2)=0.10,则P(X<0)=P(X>2)=0.10,故P(X>0)=1-P(X<0)=0.90.故选D.D

D关键能力提升考点1

超几何分布【例1】

某科研机构为完成国家级课题,从四个实验室抽调18名研究员组成项目组.各实验室参与人数如下表:实验室人工智能实验室生物医学实验室量子计算实验室环境工程实验室人数4635

X012P1.超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的分布列.2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其本质是古典概型.规律总结

X0123P考点2

二项分布【例2】

某电影原声的音乐制作由甲、乙、丙三个音乐工作室负责.在音乐录制过程中,由于各种因素,部分录制片段会因不符合要求而不被采用.甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为6∶7∶5,音乐片段可用率(能被采用的片段数占录制片段总数的比例)分别为0.8,0.6,0.6.现在从三个工作室录制的所有音乐片段中随机抽取,且每个音乐片段被抽到的可能性是相同的,用频率估计概率.

X012P二项分布与超几何分布的区别与联系(1)二项分布是放回抽样问题,在每次试验中某一事件发生的概率是相同的,而超几何分布是不放回抽样问题,在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的.(2)二项分布不需要知道总体的容量,而超几何分布需要知道总体的容量.(3)当总体的容量非常大时,超几何分布近似于二项分布.规律总结

X123P

Y0123P

考点3

正态分布【例3】

(1)(多选)(2025·浙江绍兴二模)为了解目前本市高二学生身体素质状况,对某校高二学生进行了体能抽测,得到学生的体育成绩X~N(70,100),其中60分及以上为及格,90分及以上为优秀,则下列说法正确的是

(

)参考数据:随机变量ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)≈0.9974.A.该校学生体育成绩的方差为100B.该校学生体育成绩的期望为70C.该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当D.该校学生体育成绩的及格率不到85%ABD

BD【解析】

对于A,因为X,Y的正态曲线分别关于直线x=μ1,x=μ2对称,所以由题图可知μ1<μ2,故A错误;对于B,因为X的正态曲线“瘦高”,Y的正态曲线“矮胖”,即X的分布较集中,Y的分布较分散,所以σ1<σ2,故B正确;对于C,由正态分布在区间上的概率的几何意义,知P(X≥μ2)<P(X≥μ1),故C错误;对于D,由正态分布在区间上的概率的几何意义,知P(Y≤σ1)<P(Y≤σ2),故D正确.故选BD.解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴为直线x=μ.(2)标准差为σ.(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值;由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为直线x=0.规律总结【对点训练3】

(1)(多选)(人教B版选择性必修第二册P97练习AT3改编)某校高三年级选考地理科目的学生有100名,现将他们该科的一次考试分数转换为等级分,已知等级分X的分数区间为[30,100],若等级分X~N(80,25),则(

)参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.A.这次考试等级分的标准差为5B.这次考试等级分超过80分的约有45人C.这次考试等级分在[70,80]内的人数约为48D.P(65≤X≤75)≈0.1573ACD

C

教材深研

【典例】

通过历次考试,某教师了解到学生容易在多选题中由于多选和错选致误,因此决定为自己所带的两个班级的学生命制一套满分为100分的多项选择题专题卷,已知这两个班共有学生100名,该老师根据两个班学生的考试成绩制作了如下表所示的频率分布表:分值[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]频率0.10.30.30.20.1(1)若每个分组取中间值作代表,试求两个班学生的成绩的平均值;【解】两个班学生的成绩的平均值为35×0.1+45×0.3+55×0.3+65×0.2+75×0.1=54.

X123P

高考真题教材典题(人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T2)某市高二年级男生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(170,52),随机选择一名本市高二年级的男生,求下列事件的概率:(1){165<X≤175};(2){X≤165};(3){X>175}.考教衔接BC高考真题教材典题(人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T2)某市高二年级男生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(170,52),随机选择一名本市高二年级的男生,求下列事件的概率:(1){165<X≤175};(2){X≤165};(3){X>175}.解析:对于A,B,由题意可知,X~N(1.8,0.12),所以P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,P(X<1.9)≈0.841

3,所以P(X>2)<P(X≥1.9)=1-P(X<1.9)≈1-0.841

3=0.158

7<0.2,故A错误,B正确.对于C,D,因为Y~N(2.1,0.12),所以P(Y<2.2)≈0.841

3,P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5,所以P(2<Y<2.1)=P(2.1<Y<2.2)=P(Y<2.2)-P(Y≤2.1)≈0.841

3-0.5=0.341

3,所以P(Y>2)=P(2<Y<2.1)+P(Y≥2.1)≈0.341

3+0.5=0.841

3>0.8(另解:P(Y>2)=P(Y<2.2)≈0.841

3>0.8),故C正确,D错误.故选BC.课时作业76

基础巩固C

C

A

C

D

C

7.(6分,多选)李明上学有时坐公交车,有时骑自行车,他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到,假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布,X~N(μ1,62),Y~N(μ2,22).X和Y的分布密度曲线如图所示,则下列结论正确的是(

)A.D(X)=6B.μ1<μ2C.P(X≤38)<P(Y≤38)D.P(X≤36)=P(Y≤36)BCD解析:对于A,因为X~N(μ1,62),所以D(X)=36,故A错误;对于B,由图象知,30=μ1<μ2=34,故B正确;对于C,因为σ1=6,σ2=2,所以P(X≤38)<P(X≤μ1+2σ1)=P(Y≤μ2+2σ2)=P(Y≤38),故C正确;对于D,因为σ1=6,σ2=2,所以P(X≤36)=P(X≤μ1+σ1)=P(Y≤μ2+σ2)=P(Y≤36),故D正确.故选BCD