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文档简介

二次型第1页本节主要内容1.二次型；2.二次型标准形；3.惯性定理；4.正定二次型.第2页二次型当系数矩阵为实（复）矩阵时，上述二次型称为实（复）二次型；定义：含有个自变量二次齐次函数叫做二次型.其中为对称矩阵，称为二次型矩阵.二次型矩阵秩就是二次型秩.思索：矩阵元素与二次型各项系数关系怎样？二者怎样相互确定？第3页例题1设为任意阶矩阵，求证：二次型矩阵为注意：并不一定表明为二次型矩阵，只有当为对称矩阵时候才是二次型矩阵.例题2求二次型矩阵，并求该矩阵秩.例题3求二次型经过线性变换之后表示式.本例说明：一个二次型经可逆线性变换后能够化为只含平方项二次型.第4页二次型标准形定义：只含平方项二次型称为二次型标准形.轻易看出，标准形二次型矩阵是对角阵若二次型能够经过可逆线性变换化为标准形，则就是寻找可逆矩阵使得为对角阵.第5页定义：设为n阶方阵，假如存在n阶可逆矩阵，使得则称矩阵是协议，称矩阵为协议变换矩阵.性质：若为对称矩阵，为一可逆矩阵，则(1)也是对称矩阵；(2).第6页惯性定理用不一样可逆线性变换所得到标准形不一样，这些标准形系数不一定就是二次型矩阵特征值！不过这些标准形有共同特点：非零项数相同（称为惯性指标或惯性指数），且非零项个数等于二次型矩阵非零特征值个数（也等于该矩阵秩）；正项个数相同（称为正惯性指标或正惯性指数）且正项个数等于二次型矩阵正特征值个数.这个结论就是惯性定理.非零项个数就是二次型秩，它等于二次型矩阵秩，这就是我们定义二次型矩阵秩为二次型秩原因.第7页注意1：这里必须对得到特征值进行正交规范化，只有正交规范化后向量组成矩阵才是协议变换矩阵！注意2：变换关系是，其中是变换之前向量，是变换之后向量.定理：任给二次型，为实对称矩阵，其特征值设为，对应标准正交特征向量为，令则正交变换使二次型化为标准形第8页例题4求以下平面图形所围图形面积：第9页正定二次型与判定方法定义：设有实二次型，假如对任何，都有，则称为正定二次型，称对称矩阵是正定矩阵；假如对任何，都有，则称为负定二次型，称对称矩阵是负定矩阵；假如对任何，都有，则称为半正定二次型，对称矩阵称为半正定矩阵。正定二次型判定定理：设是实对称阵，则以下命题等价：(1)是正定二次型，即是正定矩阵；(2)正惯性指标（正惯性指数）为；(3)存在可逆矩阵，使得；(4)个特征值全大于零.第10页结论1：若是正定矩阵，则也是正定矩阵.结论2：(霍尔维茨定理)对称矩阵正定充要条件是：各阶次序主子式都为正.即对称矩阵负定充要条件是：奇数阶次序主子式为负，偶数阶次序主子式为正.即第11页例题5：判断二次型是否为正定二次型.方法1：二次型矩阵特征值全

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