用消元法解下列方程组的过程

分析:用消元法解以下方程组过程.引例:求解线性方程组§12.6.1矩阵初等变换本章先讨论矩阵初等变换,建立矩阵秩概念,并提出求秩有效方法.再利用矩阵秩反过来研究齐次线性方程组有非零解充分必要条件和非齐次线性方程组有解充分必要条件,并介绍用初等变换解线性方程组方法.内容丰富,有一定难度.一、消元法解线性方程组第1页解:①

②③2②

③③2①④3①②2第2页③+5②④–3②③2④③

④用“回代”方法求出解.于是得解:其中x3能够任意取值.或令x3=c,方程组解可记作:第3页1.上述解方程组方法称为消元法．2.一直把方程组看作一个整体变形,用到以下三种变换:(2)其中c为任意常数.或归纳以上过程:(3)一个方程加上另一个方程k倍:(2)以不等于0数k乘某个方程:(1)交换方程次序:

i与j相互替换;以i

k替换i;以i+k

j

替换i.第4页因为三种变换都是可逆,所以变换前方程组与变换后方程组是同解.故这三种变换是同解变换.3.上述三种变换都是可逆.因为在上述变换过程中,未知量并未参加本质性运算,仅仅只对方程组系数和常数进行运算.第5页若记则对方程组变换完全能够转换为对矩阵B(方程组(1)增广矩阵)变换.二、矩阵初等变换定义1:

下面三种变换称为矩阵初等行变换:(1)对调两行(对调i,j两行,记作ri

rj);(2)以非零数k乘以某一行全部元素(第i行乘k,记作ri

k

);(3)把某一行全部元素k倍加到另一行对应元素上去(第j行k倍加到第i行上去,记作ri+k

rj).同理可定义矩阵初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．第6页

定义2:

矩阵初等行变换与初等列变换统称为初等变换.初等变换逆变换仍为初等变换且变换类型相同.ri

rj逆变换为rj

ri;ri

k逆变换为ri(1/k),或ri

k;ri+k

rj逆变换为ri+(–k)

rj,或ri–k

rj.定义3:假如矩阵A可经过有限次初等行变换变为矩阵B,则称矩阵A与B行等价.记作A

B.(2)

假如矩阵A可经过有限次初等列变换变为矩阵B,则称矩阵A与B列等价.记作A

B.(3)

假如矩阵A可经过有限次初等变换变为矩阵B,则称矩阵A与B等价.记作A

B.rc第7页含有以下三条性质关系称为等价关系:(1)自反性:A

A;(2)对称性:若A

B,则B

A;(3)传递性:若A

B,且B

C,则A

C.矩阵(行、列)等价

满足等价关系定义.第8页§12.6.2矩阵秩定义:在m

n矩阵A中任取k行k列(k

m,k

n),位于这k行k列交叉处k2个元素,不改变它们在A中所处位置次序而得到k阶行列式,被称为矩阵Ak阶子式.m

n矩阵Ak阶子式共有定义:若在矩阵A中有一个r阶子式D非零,且全部r+1阶子式(假如存在话)都为零,则称D为矩阵A一个最高阶非零子式,称数r为矩阵A秩,记作R(A).第9页要求零矩阵秩为零.

m

n矩阵A秩R(A)是A中不等于零子式最高阶数.对于AT,显然有:R(AT)=R(A).解:在矩阵A中例1:求矩阵A=秩.又因为矩阵A3阶子式只有|

A

|,且|

A

|

=

0.所以,R(A)=2.第10页例2:求矩阵A=秩.解:因为计算A3阶子式.所以,R(A)=2.第11页定理:初等变换不改变矩阵秩另解:用初等变换将A化为行阶梯形矩阵:显然,非零行行数为2.所以,R(A)=2.特点(1).可划出一条阶梯线,线下方全为零;特点(2).每个台阶只有一行,台阶数即是非零行行数,阶梯线上第一个元素为非零元,即非零行阶梯线上第一个元素为非零元.行阶梯矩阵第12页例3:求矩阵A=秩.解:用初等行变换将A化为行阶梯矩阵:Ar1

r4r2

r4r32r1r43r1r33r2r44r2r4

r3由阶梯形矩阵有三个非零行可知:R(A)=3.第13页r1

r2r32r2–r3r3–2r1r4–3r1例4:第14页r3+5r2r4–3r2r22r3–2r4r4

r3r2–r3r1–r3r1–r2第15页

注意:

行最简形矩阵是由矩阵(方程组)唯一确定,行阶梯形矩阵非零行行数也是由矩阵(方程组)唯一确定.行阶梯矩阵B6还称为行最简形矩阵,即非零行第一个非零元为1,且这些非零元所在列其它元素都为零.行最简形矩阵再经过列初等列变换可化成标准形.B6c3

c4c4+c1+c2对任何矩阵Am

n,总能够经过有限次初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.第16页c5–4c1–3c2+3c3矩阵F称为矩阵B标准形.特点:标准形F左上角是一个单位矩阵,其余元素全为零.全部与矩阵A等价矩阵组成一个集合,称为一个等价类,标准形F是这个等价类中最简单矩阵.任一个矩阵Am

n总可经过初等变换化为标准形标准形由m,n,r三个数唯一确定,其中r就是行阶梯形矩阵中非零行行数.第17页1.初等行(列)变换初等变换逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．3.矩阵等价含有性质:自反性,对称性,传递性.三、小结(1)ri

rj(ci

cj);(2)ri

k(ci

k