微分经济数学赵树嫄

17六月20261第五节函数的微分一、微分的概念

二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用

第二章

17六月20262

恩格斯在《自然辩证法》中，对微分作了一个形象的解释：

硫磺在一定温度下被蒸发为硫磺气，取一块正方形硫磺薄板，放入容器，立刻降低容器内的温度，则硫磺气凝固为硫磺，一部分附着于薄板，设薄板的一对相邻的两边和两面均被某种不能附着硫磺的物质遮盖，再设另一对相邻两边的那一层硫磺分子，而误差就是附着在角点的一个硫磺分子。因为两条直线上的分子很多，误差的这一个分子和它们相比，是微不足道的。17六月20263边长由一、微分的概念

引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为

x,面积为

A,则面积的增量为关于△x

的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当

x

在取得增量时,变到其17六月20264的微分,定义:若函数在点的增量可表示为(A

为不依赖于△x

的常数)则称函数而

称为记作即在点可微,注1：注2：17六月20265定理:函数证:“必要性”

已知在点可微,则故在点的可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即17六月20266定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可导,则17六月20267注1：函数的变化率问题函数的增量问题微分:导数:注3：导数与微分的区别17六月20268注4：时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当17六月20269微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记17六月202610例如,基本初等函数的微分公式(见

P115表)又如,17六月202611二、微分运算法则设

u(x),v(x)均可微,则(C

为常数)分别可微,的微分为微分形式不变性5.复合函数的微分则复合函数17六月202612例1.求

解:例2.设求

解:利用一阶微分形式不变性,有17六月202613例2.

在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:

上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意:

数学中的反问题往往出现多值性.例如17六月202614三、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:17六月202615特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得17六月202616的近似值.解:设取则例4.求17六月202617的近似值.解:例5.计算17六月202618例6.有一批半径为1cm的球,

为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为镀铜体积为

V

在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.

估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为

0.01cm,17六月202619四、微分在估计误差中的应用某量的精确值为

A,其近似值为

a,称为a

的绝对误差称为a

的相对误差若称为测量

A

的绝对误差限称为测量

A

的相对误差限17六月202620误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算

y

值时的误差故

y

的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得

x,17六月202621例7.

设测得圆钢截面的直径

测量D的

绝对误差限欲利用公式圆钢截面积,解:计算

A

的绝对误差限约为

A

的相对误差限约为试估计面积的误差

.计算(mm)17六月202622内容小结1.微分概念

微分的定义及几何意义

可导可微2.微分运算法则微分形式不变性:(u

是自变量或中间变量

)3.微分的应用近似计算估计误差17六月202623思考与练习1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并说明其正负.17六月2026242.5.

设由方程确定,解:方程两边求微分,当时由上式得求得17六月2026256.设

且则作业P1221;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1)