2027届高考数学一轮总复习9.2用样本估计总体【课件】

第2节用样本估计总体课标解读

1.结合实例,能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数),理解集中趋势参数的统计含义.2.结合实例,能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差),理解离散程度参数的统计含义.3.结合实例,能用样本估计总体的取值规律,能用样本估计百分位数,并理解其统计含义.结合具体实例,掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差.强基础•固本增分1.总体百分位数的估计(1)第p百分位数的定义一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中

的数据小于或等于这个值,且至少有

的数据大于或等于这个值.

(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步,按从小到大排列原始数据.第2步,计算i=n×p%.第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.至少有p%

(100-p)%微点拨

1.一组数据的百分位数既可能是这组数据中的数,也可能不是这组数据中的数.2.一组数据的某些百分位数可能是同一个数.2.总体集中趋势的估计

数字特征概念众数

不一定唯一,一定是这组数据中的数一组数据中出现次数

的数

中位数

唯一,不一定是这组数据中的数把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,处在

位置的一个数据(或两个数据的平均数)

平均数

唯一,不一定是这组数据中的数最多

中间

[自主诊断]1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同角度描述了一组数据的集中趋势.(

)(2)一组数据的中位数必为其中一个数.(

)(3)方差越大,数据越集中.(

)(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这组数的平均数改变,方差不变.(

)√×解析

中位数也可能是中间两个数的平均数.×解析

方差越大,数据越分散,方差越小,数据越集中.√2.(2025·全国2,1)样本数据2,8,14,16,20的平均数为(

)A.8 B.9 C.12 D.18C

3.(人A必修二教材习题)为了合理调配电力资源,某市欲了解全市50000户居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查,得到其日用电量的平均数为5.5kW·h,则可以推测全市居民用户日用电量的平均数(

)A.一定为5.5kW·hB.高于5.5kW·hC.低于5.5kW·hD.约为5.5kW·hD解析

由样本的数字特征与总体的数字特征的关系,可知全市居民用户日用电量的平均数约为5.5

kW·h.4.(人A必修二教材探究改编)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形态有关,在如图两种分布形态中,a,b,c,d分别对应平均数和中位数之一,则可能的对应关系是(

)A.a为中位数,b为平均数,c为平均数,d为中位数B.a为平均数,b为中位数,c为平均数,d为中位数C.a为中位数,b为平均数,c为中位数,d为平均数D.a为平均数,b为中位数,c为中位数,d为平均数A解析

在频率分布直方图中,中位数两侧小矩形的面积和相等,平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积之积的和近似代替,结合两个频率分布直方图得a为中位数,b为平均数,c为平均数,d为中位数.故选A.5.(2020·全国Ⅲ,文3)设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为(

)A.0.01 B.0.1 C.1 D.10C

6.(人A必修二教材习题改编)某车间12名工人一天生产某产品(单位:kg)的数量分别为13.8,13,13.5,15.7,13.6,14.8,14,14.6,15,15.2,15.8,15.4,则所给数据的第25,50,75百分位数分别是

.

13.7,14.7,15.3

研考点•精准突破考点一总体百分位数的估计例1

(1)为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间,研究人员随机调查了某地区1000名学生每天进行体育运动的时间,按照时长(单位:min)分成6组:第一组[30,40),第二组[40,50),第三组[50,60),第四组[60,70),第五组[70,80),第六组[80,90],经整理得到如图所示的频率分布直方图,则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为

.

47.5

(2)[一题多变](2025·安徽合肥模拟)某数学学习兴趣小组共8名同学,在一次数学素质拓展测试中的得分如下:122,125,128,131,133,135,138,140.这8名同学成绩得分的第60百分位数是(

)A.131 B.132

C.133

D.134C解析

因为8×0.6=4.8,则这8名同学成绩得分的第60百分位数是从小到大排序的第5个数,即133.故选C.AI变式[变式](变条件)某大学科研团队利用自主开发的新型静电电机,成功研制出仅重4.21克的太阳能动力微型无人机,实现纯自然光供能下的持续飞行.为激发同学们对无人机的兴趣,某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛,8名参赛学生的成绩依次为65,95,75,70,95,85,92,80,则这组数据的上四分位数为(

)A.93 B.92

C.91.5

D.93.5D

规律方法

频率分布直方图中第p百分位数的计算步骤

[对点训练1](1)已知一组数据1,2,3,4,x的上四分位数是x,则x的取值范围为(

)A.{3} B.[2,3] C.[3,4] D.{4}C解析

在五个数中,上四分位数为第二大的数,故1,2,3,4,x中第二大的数是x,所以3≤x≤4.故选C.(2)(2025河北石家庄模拟)为了解某病毒的致病潜伏期,通过简单随机抽样,获取100名患者的相关信息,并制作了如图所示的频率分布直方图:根据图中数据,估计病毒潜伏天数的样本数据的68%分位数是(

)A.6 B.7 C.7.2 D.8B

考点二总体集中趋势的估计例2

(1)(2025·江苏盐城模拟)某市AI智能机器人比赛项目有29位同学参赛,他们在预赛中所得的积分互不相同,只有积分在前15名的同学才能进入决赛.若某同学知道自己的积分后,要判断自己能否进入决赛,则他只需要知道这29位同学的预赛积分的(

)A.中位数 B.众数C.平均数 D.极差A解析

因为29位同学的积分,中位数是第15名的积分,所以知道中位数即可判断是否在前15,即是否能进决赛.故选A.(2)(2025·河南郑州三模)4月23日是“世界读书日”,鼓励全社会都参与到阅读中来,形成爱读书,读好书,善读书的浓厚氛围.某中学共有3000名学生,为了了解学生书籍阅读量情况,该校从全校学生中随机抽取200名,统计他们2024年阅读的书籍数量,由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况,下列估计中正确的是(

)(注:同一组数据用该组区间的中点值作为代表)A.阅读量的众数估值为8B.阅读量的中位数估值为6.5C.阅读量的平均数估值为6.76D.阅读量的第70百分位数估值为8.86D

规律方法

1.中位数、众数和平均数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”和“平均水平”,我们需根据实际需要选择使用.2.频率分布直方图中的数字特征(1)众数:最高小矩形的底边中点的横坐标.(2)中位数:中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等.(3)平均数:平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个矩形的面积与小长方形底边中点的横坐标之积的和.[对点训练2](1)(2024·新高考Ⅱ,4)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理下表:亩产量[900,

950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)生产数61218302410据表中数据,结论中正确的是(

)A.100块稻田亩产量中位数小于1050kgB.100块稻田中的亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间C

(2)(多选题)(2025·山东德州三模)某高中学校对一次高二联考物理成绩进行统计分析,记录了学生的分数,其中分组的区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],画出频率分布直方图,已知随机抽取的成绩不低于80的有300人,若从样本中随机抽取个体互不影响,把频率视为概率,则下列结论正确的是(

)A.学生成绩众数估计为75B.学生成绩的平均数大于中位数C.此次成绩在[90,100]的学生人数为120人D.学生成绩的第45百分位数为70ACD

考点三总体离散程度的估计考向1

方差与标准差例3

(2023·全国乙,理17,文17)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下:试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536

规律方法

利用样本的方差、标准差解决优化决策问题的依据(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大,越不稳定;标准差、方差越小,数据的离散程度越小,越稳定.(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.

16

D

[对点训练4](2025·广东深圳模拟)某高中有学生500人,其中男生300人,女生200人,为了获得全体学生的身高信息,按照分层随机抽样的原则抽取了容量为50的样本(其观测数的单位为厘米).已知男生身高样本均值为170,方差为17;女生身高样本均值为160,方差为30.经计算可知所有样本的均值为166,则所有样本的方差为

.

46.2

考点四均值、方差的应用例5

甲、乙两名学生参