达朗贝尔方程及其解

标量位与矢量位

设媒质是线性均匀且各向同性，那么对微分形式麦克斯韦方程中全电流定律两边取旋度，再将电磁感应定律 代入，整理后得若对电磁感应定律两边取旋度，再将全电流定律代入，整理后得利用矢量恒等式，同时考到及 ，那么上述两式变为

6/19/202611/14由此可见，时变电磁场场强与场源关系比较复杂，直接求解上述方程需要较多数学知识。为简化求解过程，引入标量位与矢量位作为求解时变电磁场两个辅助函数。

已知时变磁场是无散场，所以能够表示为矢量场A旋度，即可令式中A称为矢量位。将上式代入式中，得6/19/202622/14上式又可改写为由此可见，矢量场为无旋场。所以它能够用一个标量场梯度来表示，即可令式中称为标量位。由此得注意，这里矢量位A

及标量位均是时间及空间函数。当它们与时间无关时，矢量位A及标量位与场量关系和静态场完全相同。所以矢量位A

又称为矢量磁位，标量位又称为标量电位。6/19/202633/14位函数与源关系

为了导出位函数与源关系，依据位函数定义式及麦克斯韦方程，求得

利用矢量恒等式，上两式又可写为6/19/202644/14依据亥姆霍兹定理得知，只有当矢量场散度及旋度共同给定后，这个矢量场才被惟一地确定。已知要求了矢量场A旋度，，必须再要求其散度。标准上，其散度值能够任意给定，不过为了简化计算，由上式可知，若令则前两式能够简化为罗伦兹条件由上可见，按照罗伦兹条件要求A散度后，原来两个相互关联方程变为两个独立方程。矢量位

A

仅与电流J相关，标量位

仅与电荷

相关。6/19/202655/14由上可见，已知电流分布，即可求出矢量位A。已知电荷分布，由即可求出标量位

。求出A

及以后，即可求出电场与磁场。麦克斯韦方程求解归结为位函数方程求解，而且求解过程显然得到了简化。因为原来电磁场方程为两个结构复杂矢量方程，在三维空间中需要求解六个坐标分量，而位函数方程分别为一个矢量方程和一个标量方程，且结构较为简单，在三维空间中仅需求解四个坐标分量。尤其在直角坐标系中，矢量位方程能够分解为三个结构如同标量位方程一样标量方程。所以，实际上等于求解一个标量方程。由此可见，位函数A及

引入显著地简化了麦克斯韦方程求解。6/19/202666/14

函数方程直接求解需要较多数学知识，我们依据静态场结果，采取类比方法，推出其解。位函数方程求解当场源是位于坐标原点时变点电荷时，其场分布一定含有球对称特点，即场量仅为变量r函数，与球坐标变量

及

无关。那么，在除坐标原点以外整个空间，位函数满足方程式为首先求解标量位函数方程。为此设场源是位于坐标原点时变点电荷，求出其解后，采取叠加原理推出任意分布时变体电荷解。式中6/19/202677/14上式为函数（

r）齐次波动方程，其通解为由后面分析能够获知，式中第二项不符合实际物理条件，应该舍去。所以，求得位于原点时变点电荷产生标量电位为已知位于原点静止点电荷产生电位为将此式同上式比较，可见函数f1为:6/19/202688/14所以，求得位于原点时变点电荷产生标量位为式中r

为体元dV至场点距离。对于位于V

中任意体分布电荷，如图示。r'rzyx

m(r,t)VdV'r'-r0点电荷位置矢量为r'，则全部电荷在r

处产生电位由上式积分求得6/19/202699/14为了求出矢量位函数A，可将矢量位函数方程在直角坐标系中展开，则各个分量均满足结构相同非齐次标量波动方程式，即显然，对于每一个分量均可求得结构如同前式解。三个分量合成后，矢量位A

解为式中V'为电流J

分布区域。6/19/20261010/14首先两式均表明，空间某点在时刻t

产生标量位或矢量位必须依据时刻场源分布函数进行求积。换言之，位于r

处

t

时刻场强不是由同一时刻t源分布决定，而是取决于比t

时刻超前时刻源分布。这就意味着，位于r

处源产生场传到r

处需要一段时间，这段时差就是。已知(

r-r’)为源点至场点距离，所以v代表电磁波传输速度。6/19/20261111/14恒定电流或低频交流电情况下，场量往往是经过电流、电压及负载阻抗等参数表现，表面给人造成能量是经过电荷在导线内传输假象。I如能量真是经过电荷在导线内传输，常温下导体中电荷运动速度约10-5m/s，电荷由电源端到负载端所需时间约是场传输时间（L/c）亿万倍负载只需经过极短（t=L/c，其中c为光速）时间就能得到能量供给。6/19/20261212/14由式可见，电磁波传输速度与媒质特征相关。在真空中，最新测得数据为这就是光波在真空中传输速度，或简称为光速。光速通常以c表示。值得注意是，既然