多元函数的基本概念31621

多元函数的基本概念31621演示文稿第1页，共50页。（优选）多元函数的基本概念31621ppt讲解第2页，共50页。

一元函数类比法

多元函数

推广、深化

学习方法

一元函数

多元函数温故知新、注意差异

二元函数

n元函数以二元函数为主第3页，共50页。多元函数的基本概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性第4页，共50页。多元函数的基本概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性第5页，共50页。一、多元函数的概念（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义第6页，共50页。一、多元函数的概念（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义第7页，共50页。(一)引例圆柱体的体积rh三角形的面积abc例1底面半径：高：例2三边长：(海伦公式)两边长：夹角：(1)(2)(正弦定理)C二元函数三元函数第8页，共50页。一、多元函数的概念（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义第9页，共50页。一、多元函数的概念（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义第10页，共50页。(二)平面点集圆柱体的体积rh三角形的面积abc例1底面半径：高：例2三边长：(海伦公式)两边长：夹角：(1)(2)(正弦定理)C定义域平面点集空间点集二元函数三元函数第11页，共50页。平面点集的有关概念二维空间：二元有序实数组(x,y)的全体,即：记作：注二维空间的几何意义—坐标平面二维空间的元素—坐标平面内的点平面点集：二维空间的任一子集,记作：平面点集E通常是具有某种性质的点的集合,记作：E={(x,y)|(x,y)具有性质P}(1)(2)注或第12页，共50页。例第一象限内的点n维空间中的点集：记作：(1)y轴上的点(2)(3)单位圆内的点n维空间：n元有序实数组的全体构成的集合,即：n维空间中的元素：或中的一个点或一个n维向量中的任一子集第13页，共50页。一、多元函数的概念（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义第14页，共50页。一、多元函数的概念（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义第15页，共50页。二元函数的定义的一个非空子集,设D是称映射为定义在D上的二元函数,记为

f(D)因变量自变量定义域值域注（2）注意符号f和f(x,y)的区别.（3）表示函数的记号可以任意选取.（1）二元函数也常记作：n元函数的定义

把二元函数定义中的平面点集D换成n维空间的点集D，映射f:D→R就称为定义在D上的n元函数.第16页，共50页。对于在z=f(x,y)的定义域内任意取定的点P(x,y)，对应的函数值为z=f(x,y).当(x,y)遍取D上的一切点时，得到的空间点集称为二元函数的图形.M二元函数的图形通常是一张曲面.xoyz二元函数的图形二元函数的定义域使算式有意义的点的集合.求下列函数的定义域:例3(1)(2)第17页，共50页。多元函数的基本概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性第18页，共50页。多元函数的基本概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性第19页，共50页。二多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性第20页，共50页。二多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性第21页，共50页。邻域点P0的去心邻域记为注设的距离小于

的点P(x,y)的全体,称为点P0的

邻域.是xoy平面上的一个点,

是某一正数.与点记作即：也就是：若不需要强调邻域半径

,邻域也可写成第22页，共50页。聚点若对任意给定的

,点P的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E

注第23页，共50页。二多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性第24页，共50页。二多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性第25页，共50页。也记作：记作:定义设二元函数常数A为函数是D的聚点,若存在常数A,都有对任意给定的正数

,的定义域为D,总存在正数

,使得当点时,成立，那么就称当时的极限,或或注二元函数的极限也称二重极限.第26页，共50页。证明下列极限:例4(1)(2)第27页，共50页。二多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性第28页，共50页。二多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性第29页，共50页。四则法则夹逼准则复合法则运算法则例5求下列极限:(1)(2)(3)第30页，共50页。二多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性第31页，共50页。二多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性第32页，共50页。例6讨论下列函数极限的存在性:(1)当时(2)当时第33页，共50页。多元函数的基本概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性第34页，共50页。多元函数的基本概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性第35页，共50页。三、多元函数的连续性（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质第36页，共50页。三、多元函数的连续性（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质第37页，共50页。定义设二元函数是D的聚点,的定义域为D,且如果则称函数在连续.设函数在D上有定义，D内的每一点都是函数定义域的聚点，如果函数在D的每一点都连续，那么就称函数在D上连续，或者称是D上的连续函数.例7设证明是上的连续函数.定义第38页，共50页。定义设函数是D的聚点,的定义域为D,如果函数在不连续,则称为函数的间断点.例8指出下列函数的间断点:(1)(2)第39页，共50页。三、多元函数的连续性（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质第40页，共50页。三、多元函数的连续性（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质第41页，共50页。由常数和具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的一个式子表示的多元函数称为多元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.结论例9求下列函数的极限:(1)(2)第42页，共50页。三、多元函数的连续性（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质第43页，共50页。三、多元函数的连续性（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质第44页，共50页。（三）有界闭区域上多元连续函数的性质1．有关概念2．有关性质第45页，共50页。（三）有界闭区域上多元连续函数的性质1．有关概念2．有关性质第46页，共50页。内点、外点、边界点

若存在点P的某邻域U(P),使得U(P)

E,

若存在点P的某邻域U(P),使得U(P)∩E=,则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.

若点P的任一邻域U(P)内既含有属于E的点也含有不属于的点,

E的内点必属于E

E的外点必不属于E

E的边界点可能属于E,也可能不属于E.设有点集及点注第47页，共50页。D开区域及闭区域

若点集E的点都是内点，则称E为开集；

若点集的边界EE,则称E为闭集；

开区域连同它的边界一起称为闭区域.

连通的开集称为开区域,简称区域;。