2027届高考数学一轮总复习素能培优(2)在导数应用中如何构造函数【课件】

素能培优(二)在导数应用中如何构造函数高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2027函数构造问题是高考考查的热点,多以客观题形式呈现.此类问题的核心在于:基于与导数相关的已知等式或不等式的结构特征,构造出新函数,并对其单调性进行分析,从而有效解决比较大小、解不等式、恒成立等各类问题.题型一利用f(x)与xn构造函数

例1

(1)(2025·天津西青模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf'(x)<0成立,若a=20.2f(20.2),b=ln2f(ln2),c=(log0.30.09)·f(log0.30.09),则a,b,c的大小关系是(

)A.a>b>c

B.c>a>b C.b>a>c

D.c>b>aB解析

令g(x)=xf(x),当x<0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)<0,所以g(x)在(-∞,0)内单调递减,又f(x)是奇函数,则g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)为R上的偶函数,则g(x)在(0,+∞)内单调递增,又log0.30.09=2>20.2>20=1=ln

e>ln

2>ln

1=0,所以g(log0.30.09)>g(20.2)>g(ln

2),即c>a>b.故选B.(2)(2025·湖南常德模拟)已知y=f(x)是定义在(1,+∞)上的连续可导函数,其导函数为y=f'(x),若xf'(x)<f(x),且f(3)=6,则不等式f(lnx)>2lnx的解集为(

)A.(1,3) B.(3,e2)C.(1,e3) D.(e,e3)D

[对点训练1](2025·贵州毕节二模)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,f'(x)是f(x)的导函数,f(1)=0,当x<0时,xf'(x)+3f(x)>0,则不等式f(x)<0的解集为(

)A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(1,+∞)D解析

令g(x)=x3f(x),则g'(x)=3x2f(x)+x3f'(x)=x2[3f(x)+xf'(x)],由题意知当x<0时,g'(x)>0,故g(x)在(-∞,0)内单调递增.因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以g(-x)=(-x)3f(-x)=x3f(x)=g(x),所以g(x)是定义域为R的偶函数,所以g(x)在(0,+∞)内单调递减,又f(1)=0,所以f(-1)=-f(1)=0,所以g(1)=g(-1)=0,所以当x∈(-∞,-1)时,g(x)=x3f(x)<0,则f(x)>0;当x∈(-1,0)时,g(x)=x3f(x)>0,则f(x)<0;当x∈(0,1)时,g(x)=x3f(x)>0,则f(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)=x3f(x)<0,则f(x)<0.综上,不等式f(x)<0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).故选D.题型二利用f(x)与ex构造函数

D

(2)(2025·山东威海模拟)已知f(x)为定义在R上的可导函数,f'(x)为其导函数,且f(x)<f'(x)恒成立,e是自然对数的底数,则下列选项正确的是(

)A.f(2024)<ef(2025) B.ef(2024)<f(2025)C.ef(2024)=f(2025) D.ef(2024)>f(2025)B

[对点训练2](2025·湖南娄底模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>1,f(1)=3,则不等式exf(x)>ex+2e的解集为(

)A.(2,+∞) B.(1,+∞)C.(-∞,2) D.(-∞,1)B解析

设g(x)=exf(x)-ex(x∈R),则g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1].因为f(x)+f'(x)>1,所以f(x)+f'(x)-1>0,又ex>0,所以g'(x)>0恒成立,所以y=g(x)是定义域为R的增函数,原不等式可转化为exf(x)-ex>2e,又f(1)=3,所以g(1)=ef(1)-e=2e,所以有g(x)>g(1),所以x>1,故不等式exf(x)>ex+2e的解集为(1,+∞).故选B.题型三利用f(x)与sinx,cosx构造函数

B

ACD

C

题型四构造具体函数关系例4

(1)(2025·山东烟台模拟)设2a=6-ln3,40.5b=2e-1,c=log2(4-ln2),则下列选项正确的是(

)A.a>b>c

B.a>c>b C.c>a>b

D.c