阻尼振动和受迫振动

阻尼振动和受迫振动第1页，共42页。

简谐振动的势能：

1.5简谐振动的能量以水平的弹簧振子为例

简谐振动的动能：第2页，共42页。

简谐振动的总能量：弹性力是保守力总机械能守恒，即总能量不随时间变化。第3页，共42页。求出势能的时间平均值:求出动能的时间平均值:第4页，共42页。

这些结论同样适用于任何简谐振动。求出势能的时间平均值:*振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。*任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比*即弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且等于总机械能的一半结论：第5页，共42页。1.6相图坐标和速度组成的坐标系，称为相空间。在相空间中，用每一点表示运动状态，可得出相图。简谐振动在相空间中的轨迹为椭圆。第6页，共42页。§2谐振子的阻尼振动2-2谐振子的阻尼振动2-1无阻尼的自由振动实际振动过程存在着阻力，这种由弹性恢复力和阻力共同作用的振动叫阻尼振动振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比，与其方向相反。当物体低速运动时，阻力当物体高速运动时，阻力子弹运动、卫星发射过程，受到的阻力与速度平方正比反向。由于振动系统要不断克服阻力作功，所以要逐渐损耗振动的能量使振幅逐渐变小直至振动停止。第7页，共42页。以弹簧一维振动为例

弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：阻尼振动微分方程令：称为振动系统的固有角频率，称为阻尼系数第8页，共42页。（1）阻尼较小时，为二阶常系数齐次微分方程。通解为虚数，令第9页，共42页。振幅项随时间周期性衰减。txo周期因子振动周期无阻尼时有阻尼时，周期慢长。这种情况称为欠阻尼阻力使周期增大第10页，共42页。由初始条件决定A和初相位,设即有：欠阻尼第11页，共42页。（2）阻尼较大时，方程的解：其中是积分常数，由初始条件来决定，这种情况称为过阻尼。过阻尼无振动发生。两项都衰减，不是周期振动。第12页，共42页。临界阻尼称之为临界阻尼情况。它是振动系统刚刚不能作准周期振动，而很快回到平衡位置的情况，应用在天平调衡中。是由初始条件决定的积分常数。（3）如果方程的解：是从有周期性因子到无周期性的临界点。第13页，共42页。过阻尼临界阻尼三种阻尼振动比较欠阻尼第14页，共42页。CAIUPS3-1谐振子的受迫振动§3谐振子的受迫振动共振设强迫力阻尼力：是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程。由微分方程理论：非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的解+非齐次的一个特解。在阻尼振动中，要维持振动，外界需加一个周期的强迫力------策动力。这种在周期性处力作用下进行的振动叫受迫振动。第15页，共42页。，则其通解为：受迫振动可以看成是两个振动合成的。第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰减为0。第二项为策动力产生的周期振动。开始时运动比较复杂，当第一项衰减为0后，只作受迫振动，振动频率为策动力的频率。第16页，共42页。经过足够长的时间，称为定态解：该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为：第17页，共42页。

在受迫振动中，振子因外力对它作功而获得能量，同时又因有阻尼而损耗能量。受迫振动开始时，前者大于后者，从而振动逐渐加强，随着振动加强，损耗能量增多，直到获得能量恰好补偿损耗的能量时，达到稳定状态。强调：无阻尼的线性振子的振动与受迫稳态振动，从运动学角度看，都是简谐振动。但从动力学角度看二者有本质的区别：线性振子是保守的孤立系统，系统机械能守恒，有其自身的固有频率；而受迫稳态振动是开放的耗散系统，它不断从策动力源吸收能量，同时又由于阻尼而耗散能量，它只按外力的频率振动。并且受迫振动的振幅、初位相只由振动系统和外力性质决定，而与初始条件无关。第18页，共42页。讨论：较小若很小，很大。求振幅对频率的极值，得出共振的角频率。

共振的振幅。振幅有极大值：3-2共振第19页，共42页。当强迫力的频率为某一值时，稳定受迫振动的位移振幅出现最大值的现象，叫做位移共振，简称共振（resonance)。共振的角频率。

代入共振时的初相位当弱阻尼时共振发生在固有频率处，称为尖锐共振。第20页，共42页。受迫振动相位落后于强迫力相位，即振动速度与强迫力同相位，即外力始终对系统作正功，对速度的增大有最大的效率。这正是振动振幅急剧增大的原因。但是，随着振幅的增大，阻力的功率也不断增大，最后与强迫力的功率相抵，从而使振幅保持恒定。从能量观点看在共振时，这能量转变为共振质点的能量，也叫共振吸收。陆果一书讨论阻尼弹簧振子的相图。p168第21页，共42页。通常称的关系曲线为频率响应曲线。当时，即相对振幅为0.707(即相对强度为1/2)处曲线宽度，定义为共振峰的宽度或共振带宽。可证明在弱阻尼的情况下，共振带宽为：定义振动系统的品质因数：频率响应曲线第22页，共42页。频率响应曲线

值的意义，不仅表征了受迫阻尼振动系统频率选择性能的好坏，而且系统值越低，则系统的阻尼损耗越大，能量衰减越快。定义振动系统的品质因数：第23页，共42页。§4

简谐振动的合成4.2同方向、不同频率的简谐振动的合成4.3

垂直方向、同频率简谐振动的合成4.4

垂直方向、不同频率简谐振动的合成4.1同方向、同频率的简谐振动的合成本讲提纲第24页，共42页。

代数方法：设两个振动具有相同频率，同一直线上运动，有不同的振幅和初相位§4简谐振动的合成4.1

同方向、同频率的简谐振动的合成

结论：仍然是同频率的简谐振动。合振幅第25页，共42页。式中：可见：合振幅最大。第26页，共42页。XY

几何方法第27页，共42页。上面得到：讨论一：合振幅最大。当称为干涉相长。第28页，共42页。讨论二：当时，称为干涉相消。讨论三：一般情况：第29页，共42页。4.2同方向、不同频率的简谐振动的合成利用三角函数关系式：合成振动表达式：为了简单起见，先讨论两个振幅相同，初相位也相同，在同方向上以不同频率振动的合成。其振动表达式分别为：第30页，共42页。附录：三角函数关系式的证明第31页，共42页。合成振动表达式：当都很大，且相差甚微时，可将视为振幅变化部分，合成振动是以为角频率的谐振动。其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定，即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。第32页，共42页。单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频Wave显然，拍频是振动的频率的两倍。即拍频为：第33页，共42页。4.3垂直方向、同频率简谐振动的合成设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动，即第34页，共42页。上式是个椭圆方程，具体形状由相位差决定。质点的运动方向与有关。当时，质点沿顺时针方向运动；当时，质点沿逆时针方向运动。当时，正椭圆退化为圆。第35页，共42页。讨论1

所以是在直线上的运动。ZD_7hech第36页，共42页。讨论2所以是在直线上的振动。讨论3

所以是在X轴半轴长为，

Y轴半轴长为的椭圆方程，且顺时针旋转。第37页，共42页。质点的轨道是圆。X和Y方向的相位差决定旋转方向。讨论5讨论4所以是在X轴半轴长为，

Y轴半轴长为的椭圆方程，且逆时针旋转。ZD_61ZD_62第38页，共42页。讨论6则为任一椭圆方程。综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆上进行(直线是退化了的椭圆)当两个分振动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。ZD_7hech第39页，共42页。4.4

垂直方向、不同频率简谐振动的合成一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成