薛定谔方程的应用

薛定谔方程的应用第1页，共27页。第2页，共27页。式中A、B、k可由边界条件、归一化条件确定其通解为：代入：边界条件:得:第3页，共27页。由上述两式:B=0代入通解故波函数:0aUE第4页，共27页。E0aUx由归一化条件:故波函数:本征能量En——本征函数第5页，共27页。能量公式：粒子出现的几率：第6页，共27页。能量是量子化的相邻两能级的间隔：当势阱宽度a小到原子的尺度，E很大，能量的量子化显著当势阱宽度a大到宏观的尺度，E很小，能量量子化不显著可把能量看成连续，回到了经典理论一维无限深方势阱中粒子特点：这是解薛方程的必然结果，不是玻尔理论中的人为假设量子数例.电子在原子中，a=10-10m的势阱中，其能量为：——量子化显著若电子在a=10-2m的宏观势阱中——不可分辨，量子化消失第7页，共27页。粒子的能级图当时经典量子等价玻尔的对应原理（2）一维无限深方势阱中粒子特点：在高能级上可看成能级连续分布第8页，共27页。势阱中电子最低能量不可能为零最低能量状态称之为基态,对应于n=1的状态经典理论中粒子的能量可以为零，量子理论认为势阱中的粒子能量不可能为零。这是由测不准关系决定的!此本征值能量称为零点能,是无限深势阱内粒子所具有的最低能量.第9页，共27页。粒子势阱中各处出现的几率n+1个节点稳定的驻波能级！ax00aa/2第10页，共27页。例：n=8（4）当n，粒子在各处出现的几率相同——量子化消失（能级连成一片）说明：1）粒子被限制在势阱中，它的状态称为束缚态，从物理意义上理解束缚定态方程的解，是一些驻波。这些驻波图形,形象地表示出处在某个能量状态的粒子在0<x<a范围内哪些地方出现粒子的几率最大、最小。（3）第n个能级,波函数在总区间内有n+1个节点。节点处找到粒子的几率为零.（2）束缚定态能级的高低，由驻波的半波数来定，半波数越多(驻波波长越短)，对应粒子的能级越高。第11页，共27页。二.势垒穿透和隧道效应xU

U0薛定谔方程：对应的解：Em3第12页，共27页。对应的解：即使在E<U0时，在x>a的地方仍有粒子出现的几率，即粒子仍可穿通方势垒---“隧道效应”。xU

U0Em3第13页，共27页。例题：一粒子在一维势场

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：无关，是定态问题。其定态S—方程

在各区域的具体形式为第14页，共27页。Ⅰ：②③Ⅲ：①Ⅱ：由于(1)、(3)方程中，由于要等式成立，必须

即粒子不能运动到势阱以外的地方去。第15页，共27页。方程(2)可变为令得

其解为

④

根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得

⑤

⑥

⑤

⑤

⑥

⑤

第16页，共27页。⑥

⑤

⑤

⑥

∴

由归一化条件第17页，共27页。

由

可见E是量子化的。第18页，共27页。

对应于的归一化的定态波函数为

第19页，共27页。例题2证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数具有下面的性质这种性质称为正交性，即不同能级的波函数是互相正交的。解将m能级的波函数

取其复共轭

，与n能级的波函数

相乘并在粒子所能到达的整个空间（在此就是阱区内)得：第20页，共27页。所以，不同能级的波函数是正交的。如果把波函数的正交性和归一性表示在一起，可写为定义克罗内克符号：

第21页，共27页。分子振动光谱是一种重要的分子光谱学方法，能提供有关分子结构的基础信息，而谐振子为研究原子在分子及晶体中的振动提供了一个模型，在化学中有广泛的应用。但是，由于其数学处理的复杂性，这里的讨论只是并不给出证明的细节，只是给出结论。16.4一维谐振子

若一质量m的物体，连在力常数k的弹簧上，对平衡位置x0，产生一位移x，由牛顿第二定律：1.一维谐振子的经典力学处理）第22页，共27页。2.一维谐振子的量子力学处理：一维谐振子的哈密顿算符是：第23页，共27页。其定态薛定谔方程是：第24页，共27页。由上面的递推公式，