第03讲 勾股定理的应用（3种题型）（教师版）-新八年级数学暑假衔接（北师大）

第03讲勾股定理的应用（3种题型）【知识梳理】一．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．二．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．【考点剖析】题型一．勾股定理的实际应用例1．如图，一棵树从处折断了，树顶端离树底端距离，那么这棵树原来的高度是A． B． C． D．【解答】解：米，米，，折断的部分长为，折断前高度为（米．故选：．【变式】如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部，由此可计算出学校旗杆的高度是A． B． C． D．【解答】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，根据勾股定理可得：，解得，．即旗杆的高度为12米．故选：．例2．如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．【分析】设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，因为直径为20cm的杯子，可根据勾股定理列方程求解．【解答】解：设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，∵杯子的直径为20cm，∴杯子半径为10cm，∴x2+102＝（x+2）2，即x2+100＝x2+4x+4，解得：x＝24，24+2＝26（cm）．答：小木棍长26cm．【点评】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是看到构成的直角三角形以及各边的长．【变式】小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．【答案】旗杆的高度为12米【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理可得：x2+52=（x+1）2，解得，x=12．答：旗杆的高度为12米．题型二．平面展开-最短路径问题例3．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达，那么用细线最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm【答案】B【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理求出所需结果．【详解】解：如图，将长方体展开，连接A、B′，则AA′＝1＋3＋1＋3＝8（cm），A′B′＝6cm，根据两点之间线段最短，由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝82＋62＝102cm，所以AB′＝10cm．故选：B．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，本题的关键是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，构造直角三角形运用勾股定理解决．例4．一个上底和下底都是等边三角形的盒子，等边三角形的高为70cm，盒子的高为240cm，M为AB的中点，在M处有一只飞蛾要飞到E处，它的最短行程多少？【分析】根据题意得出ME2＝702+2402＝62500，进而求出即可．【解答】解：连接MC，ME，得MC⊥EC，即△MEC是直角三角形，由勾股定理，得ME2＝702+2402＝62500，解得：ME＝250故在M处有一只飞蛾要飞到E处，它的最短行程为250cm．【点评】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，得出△MEC是直角三角形是解题关键．【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如图②所示，由题意可得：，在Rt△AA′B中，根据勾股定理得：则AB＝15．所以需要爬行的最短路程是15．题型三：勾股定理中的折叠问题例5．如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，则的长为A．1 B． C． D．2【解答】解：由已知可得，△，，，，在△中，可得，．则．故选：．【变式】如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，求图中阴影部分的面积．【解答】解：由折叠可知和关于成轴对称，故，．所以，设，则．在中，由勾股定理，得．解得，故．所以阴影部分的面积为：．【过关检测】一．选择题1．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），故选：D．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．2．如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．10cm B．20cm C．cm D．100cm【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，∴AB＝8cm，BC＝BC′＝6cm，∴AC2＝62+82＝100，∴AC＝10，∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝20（cm），故选：B．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度．【详解】解：如图，由题意可得：AD2=0.72+2.42=6.25，在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，BC=1.5米，BC2+AB2=AC2，AD=AC，∴AB2+1.52=6.25，∴AB=±2，∵AB＞0，∴AB=2米，∴小巷的宽度为：0.7+2=2.7（米）．故选：D.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．4．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）A．10 B．50 C．120 D．130【解答】解：如图所示，∵它的每一级的长宽高为20cm，宽30cm，长50cm，∴AB＝＝50（cm）．答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是50cm，故选：B．二．填空题5．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为2cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁吃到食物爬行的最短距离是cm．（π取3）【分析】求至少要爬多少路程，根据两点之间直线最短，把圆柱体展开，在得到的矩形上连接两点，求出距离即可．【解答】解：把圆柱体沿着AC直线剪开，得到矩形如下：则AB的长度为所求的最短距离，根据题意圆柱的高为8cm，底面半径2cm，则可以知道AC＝4cm，BC＝底面周长，∵底面周长为2πr＝2×π×2＝4π（cm），∴BC＝2πcm≈6cm，∴根据勾股定理得出AB2＝AC2+BC2，即AB2＝82+62，∴AB＝10（cm）．答：蚂蚁至少要爬行10cm路程才能食到食物，故答案为：10．【点评】本题考查平面展开最短路径问题，关键知道圆柱展开图是长方形，根据两点之间线段最短可求出解．6．《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深________尺．【答案】12【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到水深．【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB'＝x尺，则水深AC＝（x−1）尺，因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52＋（x−1）2＝x2，解得：x＝13，即水深12尺，故答案为：12【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题关键．7．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子丈尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为．【解答】解：设折断后的竹子高为尺，则长为尺，根据勾股定理得：，即：，解得：，故答案为：4.55尺．三．解答题8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的长．【分析】直接利用勾股定理进而得出AC的长．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+AB＝10，BC＝4，设AC＝x，则AB＝10﹣x，∴x2+42＝（10﹣x）2，解得：x＝，答：AC的长为．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出等式方程是解题关键．9．如图，一架25米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端离墙有7米．（1）求梯子靠墙的顶端距地面有多少米？（2）小燕说“如果梯子的顶端沿墙下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由．【答案】（1）24米；（2）不正确，理由见解析．【分析】（1）利用勾股定理，即可求出答案；（2）由题意，先求出，，，然后利用勾股定理求出，即可得到答案．【详解】解：（1）如图，由题意得，，∴∴即顶端距地面有24米（2）她的说法不正确；由题意得，，，∴，∴，∴，∴梯子水平滑动了8米，∴她的说法不正确．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合思想的应用．10．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？【答案】7200元．【分析】依题意，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．【详解】连接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，∴∠DBC＝90°，S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝，＝；所以需费用36×200＝7200（元）．【点睛】本题考查一般四边形面积、勾股定理逆定理等，关键在对一般四边形进行分割为特殊三角形进行求解．11．我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈尺）【答案】原处还有尺高的竹子．【分析】由题意得到折后竹子竖直高度“+”斜倒部分的长度=10尺，再运用勾股定理列方程即可求解．【详解】解：设原处还有尺高的竹子，在中，由勾股定理得，所以，．答：原处还有尺高的竹子．

【点睛】此题考查勾股定理解决实际问题．此题中的直角三角形只知道一直角边，另两边未知往往要列方程求解12．如图，一个梯子AB，顶端A靠在墙AC上，这是梯子的顶端距地面的垂直高度为24米，若梯子的顶端下滑4米，底端将水平滑动了8米，求滑动前梯子底端与墙的距离CB是多少？【答案】7米【分析】设BC=xm，则CD=（x+8）m，利用勾股定理分别表示出、，∵AB=ED，∴，求出x的值即可完成.【详解】解：根据题意，AC=24m，AE=4m，BD=8m，则EC=20m设BC=xm，则CD=（x+8）m在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∵AB=ED∴解得：滑动前梯子底端与墙的距离CB是7米.【点睛】本题考查勾股定理的应用，难度较低，灵活运用勾股定理是解题关键.13．（2022春•蜀山区期中）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，（1）求高台A比矮台B高多少米？（2）求旗杆的高度OM；（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．【分析】（1）由题意直接可得．（2）作AE⊥OM，BF⊥OM，可证△AOE≌△BFO，可得AE＝OF，OE＝BF，则AE﹣BF＝EF＝7，且AE+BF＝17可求AE＝OF＝12，OE＝BF＝5，即可求OM的长．（3）根据勾股定理可求OA＝OB＝ON＝13，即可求MN的长．【解答】解：（1）10﹣3＝7（米）（2）如图：作AE⊥OM，BF⊥OM，∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°∴∠AOE＝∠OBF在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△OBF（AAS），∴OE＝BF，AE＝OF即OE+OF＝AE+BF＝CD＝17（m）∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7（m），∴2EO+EF＝17，则2×EO＝10，所以OE＝5m，OF＝12m，所以OM＝OF+FM＝15m（3））由勾股定理得OB＝OA＝ON＝13，∴MN＝15﹣13＝2（m）．答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．14．如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，