第13讲 一次函数的应用（5种题型）（学生版）-新八年级数学暑假衔接（北师大）

第13讲一次函数的应用（5种题型）【知识梳理】一．一次函数与一元一次不等式（1）一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．二．一次函数与二元一次方程（组）（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．三．两条直线相交或平行问题直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．（1）两条直线的交点问题两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．（2）两条直线的平行问题若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．四．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．五．一次函数综合题（1）一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．（2）一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．（3）用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．【考点剖析】一．一次函数与一元一次不等式1．（2022秋•无为市校级月考）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并利用图象解决下列问题：（1）求方程的解；（2）求不等式＜0的解集；（3）若﹣2≤x≤4，求y的取值范围．2．（2022秋•亳州期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点B（2，0），与y轴交于点A（0，5），与正比例函数y＝mx的图象交于点C，且点C的横坐标为（1）求一次函数y＝kx+b和正比例函数y＝mx的解析式；（2）结合图象直接写出不等式0＜kx+b＜mx的解集．3．（2022秋•花山区期中）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+1与y轴交于点C，直线y＝x+k（k≠0）与y轴交于点A，与直线y＝﹣2x+1交于点B，设点B的横坐标为﹣2．（1）求点B的坐标及k的值；（2）求直线y＝﹣2x+1、直线y＝x+k与y轴所围成的△ABC的面积；（3）根据图象直接写出不等式﹣2x+1＞x+k的解集．二．一次函数与二元一次方程（组）4．（2022秋•蚌埠期中）如图，l1，l2分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点P，（1）求出两条直线的函数关系式；（2）点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解；（3）求出图中△APB的面积．5．（2021秋•大观区校级期中）如图，直线y1＝x+3与直线y2＝mx+交于点M（﹣1，2），与x轴分别交于点A，B，与y轴分别交于C，D．（1）根据图象写出方程组的解是．（2）根据函数图象写出不等式x+3≤mx+的解集．（3）求直线AC，直线BD与x轴围成的△ABM的面积．三．两条直线相交或平行问题6．（2022秋•全椒县期中）已知一次函数与的图象相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）已知一次函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象与x轴交于点B，若直线l经过点P和线段AB的中点C，求直线l的函数表达式．7．（2022秋•霍邱县期中）直线y＝kx+b与直线y＝x+3的交点M的纵坐标为5，其与直线y＝3x﹣9的交点N的横坐标也为5．（1）求k，b的值；（2）求直线y＝kx+b与坐标轴围成的三角形面积．8．（2022秋•无为市月考）如图，已知直线AB：y1＝kx+3分别与y轴，x轴交于A，B两点，直线CD：y2＝ax+b分别与x轴，y轴交于点C（﹣6，0），点D，两直线的交点M为（﹣4，﹣1）．（1）求k，a，b的值．（2）连接OM，试说明S三角形BCM+S三角能AOB＝S三角形DOM（S表示几何图形的面积）．（3）若x轴上存在点P，使得S三角形APM＝S三角形ADM（S表示几何图形的面积），求出此时点P的坐标．9．（2022秋•迎江区校级期末）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象分别与x轴，y轴的正半轴交于点A、B，一次函数y＝kx﹣4的图象与直线AB交于点C（m，2），且交于x轴于点D．（1）求m的值及点A、B的坐标；（2）求△ACD的面积；（3）若点P是x轴上的一个动点，当S△PCD＝时，求出点P的坐标．四．一次函数的应用10．（2022春•周村区期中）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如表所示的一次函数关系．售价x（元/千克）…22.62425.226…销售量y（千克）…34.83229.628…（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量；（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元/千克？11．（2022春•大竹县校级期中）如图表示小华骑自行车离家的距离y（千米）与时间t（时）的关系．他9时离开家，15时回家．请根据图象回答下列问题：（1）小华到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（2）他何时开始第一次休息？休息多长时间？（3）第一次休息时，离家大约多远？（4）11时到12时，他大约骑了多少千米？（5）他可能在哪段时间休息，并吃午餐？（6）返回时的平均速度是多少？12．（2021秋•扶风县期末）我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.05mL．小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x小时后，水龙头滴了yml水．（1）试写出y与x之间的函数关系式？（2）当滴了1620mL水时，小明离开水龙头几小时？13．（2021秋•任城区校级期末）某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题：（1）乙复印社要求客户每月支付的会员费是元；甲复印社每张收费是元；（2）求出乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式，并说明一次项系数的实际意义；（3）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同；（4）如果每月复印200页时，应选择哪家复印社？五．一次函数综合题14．（2021春•海淀区校级期末）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将△AOB沿直线CD对折，使点A和点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．（1）求A，B两点的坐标；（2）求OC的长；（3）设P是x轴上一动点，若使△PAB是等腰三角形，写出点P的坐标（不需计算过程）15．（2021•永嘉县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点P（x，y）是第一象限直线y＝﹣x+6上的点，点A（5，0），O是坐标原点，△PAO的面积为S．（1）求S与x的函数关系式，写出x的取值范围，并画出函数图象；（2）当点P的横坐标为2时，△OAP的面积为多少？（3）当△OAP的面积为5时，求点P的坐标；（4）△OAP的面积能大于15吗？为什么？16.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB位于x轴，A（1，0），B（3，0），矩形的宽AD为1，一条直线y＝kx+2（k≠0）与折线ABC交于点E．（1）证明：直线y＝kx+2始终经过一个定点，并写出该定点坐标；（2）当直线y＝kx+2与矩形ABCD有交点时，求k的取值范围；（3）设△CDE的面积为S，试求S与k的函数解析式．17．（2022春•杨浦区校级期中）如图，直线AB经过点A（﹣3，0），B（0，2），经过点D（0，4）并且与y轴垂直的直线CD与直线AB交于第一象限内点C．（1）求直线AB的表达式；（2）在x轴上有一点Q，若△AQC的面积为8，求点Q的坐标；（3）在x轴的正半轴上是否存在一点P，使得△OCP为等腰三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在线段CA上有一动点E，联接OE，以OE为一边作正方形OEMN，请直接写出正方形OEMN的最小面积值是多少？【过关检测】一、单选题1．（2023春·河北邯郸·八年级校联考期末）如图，已知点，当直线与线段有交点时，k的取值范围是（

）

A． B． C．或 D．或2．（2023春·河南安阳·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（

）

A．， B．， C．， D．，3．（2023春·重庆忠县·八年级统考期末）如下图，四边形是矩形，有一动点P从点B出发，沿路线绕矩形的边匀速运动，当点P到达点A时停止运动．在点P的运动过程中，的面积S随时间t变化的函数图象大致是（

）A．B．C． D．4．（2023春·河北邢台·八年级统考期末）已知等腰三角形的周长为16，设底边长为，腰长为．可得出关于的函数表达式为，对于自变量的取值范围，小丽、小强给出不同的解答：小丽：由于是底边长，因此小强：由于三角形两边和大于第三边，因此，解得，对于两人的解法，正确的是（）A．小丽对 B．小强对 C．小丽和小强合在一起对 D．小丽和小强合在一起也不对5．（2023春·江西宜春·八年级统考期末）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点、分别为线段、的中点，点为上一动点，当的值最小时，点的坐标为（

）

A． B． C． D．6．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，直线交轴于点，交轴于点为线段（端点除外）上一动点，点与点关于轴对称，过点作轴的平行线交的延长线于点，则线段的最小值是（

）

A． B． C． D．7．（2023春·广东东莞·八年级统考期末）如图，已知点，当直线与线段有交点时，k的取值范围是（

）

A． B．或 C． D．8．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有且只有6个整点，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）某电信公司推出两种不同的收费标准：A种方式是月租20元；B种方式是月租0元．一个月本地网内打出电话费S（元）与打出时间t（分）的函数图象如图所示，当打出150分钟时，这两种方式的电话费相差（

）

A．5元 B．10元 C．15元 D．20元10．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，矩形被直线分成面积相等的两部分，，若线段的长是正整数，则矩形面积的最小值是（）

A． B．81 C． D．121二、填空题11．（2023春·广东汕头·八年级统考期末）一根蜡烛长25cm，点燃后每小时燃烧5cm，蜡烛燃烧时剩下的高度(厘米)与燃烧时间(小时)()之间的关系是______________．12．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆市南渝中学校校考期中）若直线：与直线经过轴上同一点，且与两坐标轴围成的三角形面积等于，则_______．13．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）拖拉机工作时，油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）d关系式为．当时，_________升，从关系式可知道这台拖拉机最多可工作_________小时．14．（2023春·福建莆田·八年级校考期末）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为线段上的一个动点，过点P分别作轴于点F，轴于点，连接，则长的最小值为___________________．

15．（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，点的坐标为，且点在的内部，则的取值范围是____________________．16．（2023春·北京通州·八年级统考期中）如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，2．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是________．17．（2023春·上海长宁·八年级统考期末）已知汽车装满油之后，油箱里的剩余油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的函数图象如图所示．为了行驶安全，油箱中的油量不能少于（升），那么这辆汽车装满油后至多行驶______（千米）后需要再次加油．

18．（2023春·广东广州·八年级校考期中）甲、乙两车从A城出发沿一条笔直公路匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示，当______时，两车相遇．

三、解答题19．（2023春·广东惠州·八年级统考期末）某城市出租车的收费标准为：千米以内（含千米）收费元，超过千米时，超过部分每千米收费元．(1)写出车费（元）和行车里程（千米）之间的关系式；(2)甲乘坐千米需付多少元钱？20．（2023春·广东汕头·八年级统考期末）某水果店老板购进一批优质枇杷，经调查，该枇杷每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间符合一次函数关系(如图所示)．

(1)求y与x的函数关系式；(2)如果该老板购进的枇杷为3500千克，其保质期为20天，若以12元/千克销售，问能否在保质期内销售完这批枇杷？请说明理由．21．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）周末，小华与小亮两家自驾去离家的古镇游玩，小华按照约定时间早上准时出发．小亮有事耽误，早上出门，他先匀速行驶了，然后为了追上小华，小亮提高车速，结果比小华先到目的地．如图为他们离家的距离与小华出