.8.20彩票中的数学问题

彩票中的数学问题2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题

近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。

“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表1所示（X表示未选中的号码）。一．问题的提出

表1中

奖等

级10选6+1（6+1/10）

基

本

号

码

特别号码说

明一等奖abcdefg选7中（6+1）二等奖abcdef

选7中（6）三等奖abcdeXXbcdef选7中（5）四等奖abcdXXXbcdeXXXcdef选7中（4）五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef选7中（3）六等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef选7中（2）

“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。（注：应该是摇出6个，最后再摇出1个与基本号或特别号比较）投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案:先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表2所示。

表2中

奖等

级33选7（7/33）36选6+1（6+1/36）基

本

号

码

特别号码说

明基

本

号

码

特别号码说

明一等奖●●●●●●●选7中（7）●●●●●●★选7中（6+1）二等奖●●●●●●○

★选7中（6+1）●●●●●●

选7中（6）三等奖●●●●●●○选7中（6）●●●●●○★选7中（5+1）四等奖●●●●●○○★选7中（5+1）●●●●●○选7中（5）五等奖●●●●●○○选7中（5）●●●●○○★选7中（4+1）六等奖●●●●○○○★选7中（4+1）●●●●○○选7中（4）七等奖●●●●○○○选7中（4）●●●○○○★选7中（3+1）注：●为选中的基本号码；★为选中的特别号码；○为未选中的号码。

以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：

[(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖总额]×单项奖比例（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。表三序号方案一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖金额五等奖金额六等奖金额七等奖金额备注16+1/1050%20%30%50按序26+1/1060%20%20%300205按序36+1/1065%15%20%300205按序46+1/1070%15%15%300205按序57/2960%20%20%30030566+1/2960%25%15%20020577/3065%15%20%5005015587/3070%10%20%2005010597/3075%10%15%20030105107/3160%15%25%500502010奖项117/3175%10%15%320305127/3265%15%20%5005010137/3270%10%20%5005010147/3275%10%15%5005010157/3370%10%20%600606167/3375%10%15%50050105177/3465%15%20%500306187/3468%12%20%50050102197/3570%15%15%300505207/3570%10%20%500100305217/3575%10%15%1000100505227/3580%10%10%20050205237/35100%20002042无特别号246+1/3675%10%15%500100105256+1/3680%10%10%50010010267/3670%10%20%50050105277/3770%15%15%150010050286/4082%10%8%200101295/6060%20%20%30030评价一个方案的优劣，或合理性如何，主要取决于彩票公司和广大彩民两方面的利益。事实上，公司和彩民各得销售总额的50%是确定的，双方的利益主要就取决于销售总额的大小，即双方的利益都与销售额成正比。因此，问题是怎样才能有利于销售额的增加？即公司采用什么样的方案才能吸引广大的彩民积极踊跃购买彩票？具体地讲，问题涉及到一个方案的设置使彩民获奖的可能性有多大、奖金额有多少、对彩民的吸引力有多大、广大彩民如何看待各奖项的设置，即彩民的心理曲线怎样？另外，一个方案对彩民的影响程度可能与区域有关，即与彩民所在地区的经济状况以及收入和消费水平有关。为此，我们要考查一个方案的合理性问题，需要考虑以上这些因素的影响，这是我们建立模型的关键所在。二、模型分析三、模型假设与符号说明

1.彩票每期的中奖号码都是随机产生的不受外界的任何因素的影响,彩票摇奖是公平公正的。2.彩票发行单位每期拿出本期销售额的50%作为奖金发入奖金池中。3.“传统型”彩票选择的号码中的数字是可以重复的且号码是有顺序，不同的投注者选择的号码可以相同（因此一等奖可能有多个中奖者）。4.“乐透型”彩票选择的号码中的数字是不可以重复的且号码是无顺序，不同的购买者选择的号码可以相同（因此一等奖可能有多个中奖者）。5.若单注已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。6.按问题中的高项奖计算公式计算奖金额，当某期的一等奖的金额低于60万时，不足的金额由彩票销售公司补足；当计算出的某期的一等奖的金额高于500万时，公司也只将一等奖金额定为500万。9.彩民购买彩票是随机的独立事件；10.对同一方案中高级别奖项的奖金比例或奖金额不应低于相对低级别的奖金比例或奖金额；11.根据我国的现行制度，假设我国居民的平均工作年限为T=35年。

7.彩票销售规则及相应的奖金设置方案在一定的时期内是固定不变的。

8．一、二、三等奖规定为高项奖，其余的规定为低项奖；低项奖数额固定，高项奖按比例分配，高项奖额的计算方法为：[(当期销售总额总奖金比例)-低项奖总额]单项奖比例。---第等（高项）奖占高项奖总额的比例，J=1,2,3；----第等奖奖金额均值，；----彩民中第等奖的概率，；

----彩民对某个方案第等奖的满意度，即第等奖对彩民的吸引力，；----某地区的平均收入和消费水平的相关因子，称为“实力因子”，一般为常数；----彩票方案的合理性指标，即方案设置对彩民吸引力的综合指标；

四、模型的准备

（1）彩民获各项奖的概率从已给的29种方案可知，可将其分为四类,

分别给出各种类型方案的彩民获各奖项的概率公式：“传统型”：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，注意：正确概率计算是：分子是：中

奖等

级10选6+1（6+1/10）

基

本

号

码

特别号码说

明一等奖Abcdefg选7中（6+1）中

奖等

级10选6+1（6+1/10）

基

本

号

码

特别号码说

明二等奖abcdef

选7中（6）中

奖等

级10选6+1（6+1/10）

基

本

号

码

特别号码说

明三等奖abcdeXXbcdef选7中（5）中

奖等

级10选6+1（6+1/10）

基

本

号

码

特别号码说

明四等奖abcdXXXbcdeXXXcdef选7中（4）中

奖等

级10选6+1（6+1/10）

基

本

号

码

特别号码说

明五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef选7中（3）

中

奖等

级33选7（7/33）基

本

号

码

特别号码说

明一等奖●●●●●●●选7中（7）中

奖等

级33选7（7/33）基

本

号

码

特别号码说

明二等奖●●●●●●○

★选7中（6+1）注意：这种情形依然是选m个球，前m-1个都中了基本号码，但是第m个号码是中了特别号码中

奖等

级33选7（7/33）基

本

号

码

特别号码说

明三等奖●●●●●●○选7中（6）中

奖等

级33选7（7/33）基

本

号

码

特别号码说

明四等奖●●●●●○○★选7中（5+1）中

奖等

级33选7（7/33）基

本

号

码

特别号码说

明五等奖●●●●●○○选7中（5）中

奖等

级33选7（7/33）基

本

号

码

特别号码说

明六等奖●●●●○○○★选7中（4+1）中

奖等

级33选7（7/33）基

本

号

码

特别号码说

明七等奖●●●●○○○选7中（4）

乐透型”：先从n个号码球中一个一个地摇出m个基本号，再从剩余的n-m个号码球中摇出一个特别号码。投注者从n个号码中任选m个组成一注（不可重复），中

奖等

级36选6+1（6+1/36）基

本

号

码

特别号码说

明一等奖●●●●●●★选7中（6+1）中

奖等

级36选6+1（6+1/36）基

本

号

码

特别号码说

明二等奖●●●●●●

选7中（6）中

奖等

级36选6+1（6+1/36）基

本

号

码

特别号码说

明三等奖●●●●●○★选7中（5+1）中

奖等

级36选6+1（6+1/36）基

本

号

码

特别号码说

明四等奖●●●●●○选7中（5）中

奖等

级36选6+1（6+1/36）基

本

号

码

特别号码说

明五等奖●●●●○○★选7中（4+1）中

奖等

级36选6+1（6+1/36）基

本

号

码

特别号码说

明六等奖●●●●○○选7中（4），，，，

各种方案的各个奖项获奖概率及获奖总概率中

奖等

级33选7（7/33）基

本

号

码

特别号码说

明一等奖●●●●●●●选7中（7）中

奖等

级33选7（7/33）基

本

号

码

特别号码说

明二等奖●●●●●●○

选7中（6）中

奖等

级33选7（7/33）基

本

号

码

特别号码说

明三等奖●●●●●○○选7中（5）中

奖等

级33选7（7/33）基

本

号

码

特别号码说

明四等奖●●●●○○○选7中（4）表一：方案6+1/102×10-78×10-71.8×10-52.61×10-43.42×10-34.2039×10-2-----0.0457397/296.40705×10-74.48494×10-69.4184×10-52.8255×10-42.8255×10-34.7092×10-30.0298250.0377426+1/296.40705×10-71.4096×10-58.4573×10-58.8880×10-42.2200×10-31.4800×10-20.0197340.0377427/304.91207×10-73.43845×10-67.5646×10-52.2694×10-42.3828×10-33.9714×10-30.0264760.0331377/313.80290×10-72.66203×10-66.1227×10-51.8368×10-42.0205×10-33.3675×10-30.0235720.0292087/322.97101×10-72.07971×10-64.09913×10-51.4974×10-41.722×10-32.8700×10-30.0210470.0258327/332.34080×10-71.63856×10-64.0964×10-51.2289×10-41.4747×10-32.4578×10-30.0188430.0229417/341.85887×10-71.30121×10-63.3831×10-51.0149×10-41.2687×10-32.1145×10-30.0169160.0204367/351.48709×10-71.04097×10-62.8106×10-58.4318×10-51.0961×10-31.8269×10-30.0152240.018261计算结果:7/361.19794×10-78.38556×10-72.3480×10-57.0439×10-59.5092×10-41.5849×10-30.0137360.0163676+1/361.19794×10-73.47402×10-62.0844×10-52.9182×10-47.2954×10-46.5659×10-30.0087550.0163677/379.71301×10-86.79911×10-71.9717×10-55.9152×10-58.2813×10-41.3802×10-30.0124220.0147106/402.6053×10-71.5632×10-65.1584×10-51.2896×10-42.0634×10-32.7512×10-30.0284280.0334255/601.831×10-79.155×10-74.9437×10-59.8874×10-52.6202×10-32.6202×10-30.0454160.050806一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念。在此，彩民对一个方案的各个奖项及奖金额的看法（即对彩民的吸引力）的变化就是一个典型的模糊概念。由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据人们通常对一件事物的心理变化一般遵循的规律，不妨定义彩民的心理曲线为表示彩民平均收入的相关因子，称为实力因子，一般为常数。

（2）确定彩民的心理曲线（3）计算实力因子实力因子是反应一个地区的彩民的平均收入和消费水平的指标，确定一个地区的彩票方案应该考虑所在地区的实力因子，在我国不同地区的收入和消费水平是不同的，因此，不同地区的实力因子应有一定的差异，目前各地区现行的方案不尽相同，要统一来评估这些方案的合理性，就应该对同一个实力因子进行研究。为此，我们以中等地区的收入水平（或全国平均水平）为例进行研究。根据相关网站的统计数据，不妨取人均年收入1.5万元，按我国的现行制度，平均工作年限T=35年，则人均总收入为52.5万元，万元时，取（即吸引力的中位数），则有。于是，当同理，可以算出年收入1万元、2万元、2.5万元、3万元、4万元、5万元、10万元的实力因子如表二。

表二：年收入指标1万元1.5万元2万元2.5万元3万元4万元5万元10万元42039363058984078610509821261179168157121019644203928五．模型的建立与求解问题（一）要综合评价这些方案的合理性，应该建立一个能够充分反应各种因素的合理性指标函数。因为彩民购买彩票是一种风险投资行为，为此，我们根据决策分析的理论，考虑到彩民的心理因素的影响，可取为风险决策的益损函数，于是作出如下的指标函数

（1）即表示在考虑彩民的心理因素的条件下，一个方案的奖项和奖金设置对彩民的吸引力。另一方面，由题意知，单注所有可能的低项奖金总额为，根据高项奖的计算公式得单注可能的第j

项（高项奖）奖金额为故平均值为（2）于是由（1），（2）式得

（3）利用Matlab可计算出29种方案的合理性指标值F及高项奖的期望值，排在前三位的如下表三。

表三：

指标

方案排序97/304.009×10-71.086×1062067914101117/313.784×10-71.704×106324482116257/293.637×10-77.557×1053598417143问题(二)根据问题（一）的讨论，现在的问题是取什么样的方案m/n(n和m取何值）、设置哪些奖项、高项奖的比例为多少和低项奖的奖金额为多少时，使目标函数

有最大值。为决策变量，以它们之间所满足的关系为约束条件，则可得到非线性规划模型：

关于约束条件的说明：1.条件（1）（2）同问题（一）；2.条件（3）（4）是对高项奖的比例约束，的值不能太大或太小，（4）是根据已知的方案确定的；

3.条件（5）是根据题意中一等奖的保底额和封顶额确定的；

4.条件（6）中的分别为i等奖的奖金额计算结果和已知各方案的奖金数额统计得：

高的倍数，可由问题（一）的5.条件（7）是根据实际问题确定的，实际中高等奖的概率

,它的值主要由m,n确定。6.条件（8）（9）是对方案中m,n取值范围的约束，是由已知的方案确定的；这是一个较复杂的非线性（整数）规划，其中概率的取值分为四种不同的情况且由整数变量m,n确定，一般的求解