相似矩阵及二次型知识要点

内积满足下列运算规律:

(i)[x,y]=[y,x];

(ii)[

x,y]=

[x,y];

(iii)[x+y,z]=[x,z]+[y,z].

(2)

定义2

称为n

维向量x

的长度(或范数).

向量长度具有下列性质:

(i)

非负性:

当x0时,||x||>0;当x=0时,||x||=0.

(ii)

齐次性:||

x||=|

|||x||;

(iii)

三角不等式:||x+y||≤||x||+||y||.

向量内积满足施瓦茨不等式:[x,y]2

≤[x,x][y,y].称为n

维向量

x

与y

的夹角.当[x,y]=0时,称向量x

与y

正交.(3)

当||x||0,||y||0时,

(4)正交向量组的性质若n

维向量a1,a2,···,ar

是一组两两正交的非零向量组,则

(i)

a1,a2,···,ar

必线性无关;(ii)

(5)定义3

设n

维向量e1,e2,···,er

是向量空间V(VRn)的一个基,如果e1,e2,···,er

两两正交,且都是单位向量,则称e1,e2,···,er

是V

的一个规范正交基.

(6)施密特(Schmidt)正交化过程从线性无关向量组a1,a2,···,ar

导出与之等价的正交向量组b1,b2,···,br

的过程称为施密特正交化过程．若a1,a2,···,ar

是向量空间Ｖ的一组基，通过正交化,单位化,都可以找到与之等价的一组规范正交基e1,e2,···,er,称为把a1,a2,···,ar

这个基规范正交化.

(7)定义4

若n

阶方阵A

满足

ATA=E(即A-1=AT),则称A为正交矩阵.

A=(aij)n×n

为正交矩阵的充要条件是或

(8)定义5

若P

为正交矩阵,则线性变换y=Px

称为正交变换.

正交变换具有保持向量长度不变的优良性质.

2.方阵的特征值与特征向量

(1)定义6

设A

是n

阶方阵,如果数

和n

维非零列向量x使关系式

Ax=

x成立,那么,数

称为方阵A

的特征值,非零列向量x称为A

的对应于特征值

的特征向量.

|A-

E|=0称为方阵A

的特征方程,

f(

)=|A-

E|称为方阵A

的特征多项式.

n

阶方阵A

有n

个特征值.若A=(aij)的特征值为

1,

2,···,

n,则有

(i)

1+

2+···+

n=a11+a22+···+ann;

(ii)

1

2···

n=|A|.

(2)有关特征值的一些结论设

是A=(aij)n×n

的特征值,则

(i)

也是AT

的特征值.

(ii)

k

是Ak

的特征值(k

为任意自然数);

是

A

的特征值.其中

=a0+a1

+···

+am

m,

A=a0

E+a1A+···

+amAm.

(iii)

当A

可逆时,1/

是A-1

的特征值;|A|/

是A

的特征值.

(3)有关特征向量的一些结论

(i)

对应于不同特征值的特征向量是线性无关的.

(ii)

对应于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量.

3.相似矩阵

(1)定义7

设A，B

都是

n

阶方阵,若有可逆矩阵

P,使

P-1AP=B,则称B

是A

的相似矩阵,或说矩阵A

与B

相似.

相似关系的性质:

(i)

自反性:矩阵A与自身相似;

(ii)

对称性:若矩阵A与

B相似,则矩阵B与

A也相似；

(iii)

传递性:若矩阵A与

B相似,矩阵B与

C相似,则矩阵A与

C相似.

(2)有关相似矩阵的性质

(i)

若矩阵A与

B相似,则A

与B

的特征多项式相同,从而A

与B

的特征值亦相同.

(ii)

若矩阵A

与相似，则

1,

2,···,

n

是A

的

n

个特征值.

(iii)

若A=PBP-1,则Ak=PBkP-1;

(A)=P(B)P-1.

特别地,若有可逆矩阵P,使P-1AP=

为对角矩阵,则有Ak=PkP-1;

(A)=P(

)P-1.

(3)An×n

的对角化

(i)

A

能对角化的充要条件是A

有n

个线性无关的特征向量.

(ii)

若A

有n

个互异的特征值,则A

与对角矩阵相似,即A

可对角化.

4.实对称矩阵的相似矩阵

(1)

实对称矩阵的特征值为实数.

(2)

实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量必正交.

(3)

若

是实对称矩阵A

的r

重特征值,则对应于

的特征向量必有

r

个,且它们线性无关.

(4)

实对称矩阵必可对角化.即若A为n

阶实对称矩阵,则必有正交矩阵P,使得P-1AP=

,其中

是以A

的n个特征值为对角元素的对角矩阵.

5.二次型及其标准形

(1)定义8

含有n

个变量

x1,

x2,···,

xn的二次齐次函数

f(x1,

x2,···,

xn)=a11x12+a22x22+···+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+···+2an-1,nxn-1xn

称为二次型.

二次型可记为f=xTAx,其中AT=A.A

称为二次型f

的矩阵,f

称为对称矩阵A

的二次型.对称矩阵A

的秩称为二次型

f

的秩.二次型与它的矩阵是一一对应的.

当aij

是复数时,f称为复二次型;当aij

是实数时,f

称为实二次型.我们只讨论实二次型.

(2)

只含平方项的二次型,称为二次型的标准形(或法式).

(3)

化二次型为标准形

(i)

任给可逆矩阵C,令B=CTAC,如果A

为对称矩阵,则B

亦为对称矩阵,且R(B)=R(A).

(ii)

任给实二次型总有正交变换x=Py,使f

化为标准形

f=

1y12+

2y22+···+

nyn2,其中

1,

2,···,

n

是

f的矩阵A=(aij)n×n

的特征值.

(iii)

拉格朗日配方法亦可把二次型化为标准形,此时所用的可逆变换一般而言不是正交变换.

6.正定二次型

(1)定义9

设有实二次型f(x)=xTAx,如果对任何

x

0,都有f(x)>0(显然f(0)=0),则称f

为正定二次型,并称对称矩阵A

是正定的,记作A>0;如果对任何

x

0都有f(x)<0,则称f

为负定二次型,并称对称矩阵A

是负定的,记作A<0.

(2)惯性定理设有实二次型f=xTAx,

它的秩为

r,有两个实的可逆变换

x=Cy

及x=Pz,使得

f=

k1y12+k2y22+···+kryr2,及f=

1y12+

2y22+···+

ryr2,则k1,k2,···,kr

中正数的个数p

与

1,

2,···,

r中正数的个数相等.p

称为正惯性指数;r

-

p=N

称为负惯性指数;s=p

-

N=2p

-

r

称为f的符号差