2027届高考数学一轮总复习6.2等差数列（课件）

第六章数列6.2等差数列高三一轮数学内容索引必备知识回顾课时作业关键能力提升考试要求三年考情1.理解等差数列的概念和通项公式的意义,探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.2.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.3.体会等差数列与一元一次函数的关系.202320242025新课标Ⅰ卷T7,T20新课标Ⅰ卷T19全国一卷T16新课标Ⅱ卷T18新课标Ⅱ卷T12全国二卷T7必备知识回顾1.等差数列的概念(1)等差数列的定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的__都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的____,公差通常用字母d表示,即____________=d(n∈N*,且n≥2)或________=d(n∈N*).(2)等差中项:若三个数a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A=______.1知识梳理差公差an-an-1an+1-ana+b

a1+(n-1)ddn+(a1-d)

3.等差数列的性质(1)与项有关的性质①在等差数列{an}中,若公差为d,则an=am+(n-m)d,当n≠m时,d=.②在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.特别地,若m+n=2p,则am+an=2ap.③若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列{λan+b}(λ,b为常数)是公差为λd的等差数列.

④若数列{an},{bn}(项数相同)是公差分别为d1,d2的等差数列,则数列{λ1an+λ2bn}(λ1,λ2为常数)也是等差数列,且公差为λ1d1+λ2d2.⑤若数列{an}是公差为d的等差数列,则从数列中抽出项ak,ak+m,ak+2m,…,组成的数列仍是等差数列,且公差为____.md

nd

1.若an=pn+q(p,q为常数),则{an}一定是公差为p的等差数列.2.等差数列{an}的前n项和Sn的最值与{an}的单调性有关.(1)若a1>0,d<0,则Sn存在最大值.(2)若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.(3)若a1>0,d>0,则{Sn}是递增数列,S1是Sn的最小值;若a1<0,d<0,则{Sn}是递减数列,S1是Sn的最大值.3.{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B是常数).若Sn=An2+Bn+C且C≠0,则{an}从第2项起成等差数列.知识拓展1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)数列{an}为等差数列的一个充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(

)(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(

)(3)数列{an}为等差数列的一个充要条件是其通项公式为关于n的一次函数.(

)(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数.(

)基础检测√√××2.(人教A版选择性必修第二册P15练习T4改编)在等差数列{an}中,a1=3,a4=24,则数列{an}的通项公式为an=________.解析:设等差数列{an}的公差为d,由题意得3d=a4-a1=21⇒d=7,则an=a1+(n-1)d=7n-4.3.(人教A版选择性必修第二册P17例5改编)在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=60,则a2+a14的值为____.解析:等差数列{an}中,a1+3a8+a15=5a8=60,解得a8=12,所以a2+a14=2a8=24.7n-424

13关键能力提升考点1

等差数列基本量的计算【例1】

(1)(一题多解)(2025·全国二卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3=6,S5=-5,则S6=(

)A.-20 B.-15C.-10 D.-5B

ABD

C1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,d,n,an,Sn,已知其中三个量就能求另外两个量,体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是解决数列问题的常用方法.规律总结

C

B(3)数学在生活中无处不在.如图所示,某建筑工人在施工时经常使用双面折叠人字梯,其一面每层的梯杆宽度从上往下依次构成从小到大的等差数列,且该人字梯共有5层,第1层梯杆的宽度为37厘米,第5层梯杆的宽度为45厘米,则生产该双面折叠人字梯的所有梯杆所需原材料的总长度为(

)A.2米 B.2.05米C.4米 D.4.1米D

1.等差数列的判定与证明的常用方法(1)定义法:对任意n∈N*,an+1-an是同一常数⇔{an}为等差数列.(2)等差中项法:2an+1=an+an+2⇔{an}为等差数列.(3)通项公式法:an=an+b(a,b是常数)⇔{an}为等差数列.(4)前n项和公式法:Sn=an2+bn(a,b为常数)⇔{an}为等差数列.2.若要判定一个数列不是等差数列,则只需找出三项an,an+1,an+2,使得这三项不满足2an+1=an+an+2即可.规律总结【对点训练2】

在数列{an}中,已知a1=5,an=2an-1+2n-1(n≥2).(1)求a2,a3的值.解:因为a1=5,an=2an-1+2n-1(n≥2),所以a2=2a1+2=2×5+2=12,a3=2a2+22=2×12+22=28.

B命题角度2

和的性质【例4】

(1)(2025·吉林长春二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=S9=6,则S12的值为

(

)A.0 B.3C.6 D.12【解析】

因为{an}是等差数列,所以S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,又S3=S9=6,所以6,S6-6,6-S6,S12-6成等差数列,则6+S12-6=S6-6+6-S6,则S12=0.故选A.A

D命题角度3

和的最值【例5】

(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,下列选项正确的有

(

)A.a10=0 B.S7=S12

C.数列{Sn}的最小项为S10

D.S20=0AB

1.项的性质:在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.2.和的性质:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1).(2)S2n-1=(2n-1)an.(3)依次k项和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.规律总结3.求等差数列前n项和的最值的常用方法(1)邻项变号法:利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值.(2)函数法:利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0)为二次函数,通过二次函数的性质求最值.【对点训练3】(1)(人教A版选择性必修第二册P17例5改编)在等差数列{an}中,a4+a6+a8+a10=22,则a1+a13=(

)A.-11 B.11C.22 D.33解析:由等差数列的性质可知a4+a10=a6+a8=a1+a13,而a4+a6+a8+a10=22,所以2(a1+a13)=22,即a1+a13=11.故选B.B

C(3)如图,北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环的扇面形石板依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则中、下两层共有扇面形石板(

)A.2699块 B.3474块C.3402块 D.2997块D

【例】

已知等差数列{an}(公差不为0)和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,如果关于x的实系数方程1003x2-S1003x+T1003=0有实数解,那么以下1003个方程x2-aix+bi=0(i=1,2,…,1003)中,有实数解的方程至少有

(

)A.499个 B.500个

C.501个 D.502个D

本题利用一元二次方程有实数解建立不等式,利用等差数列角标和的性质将问题简化,看似计算量非常大的一道题目,其本质是考查利用不等式及等差数列的性质分析问题、解决问题的能力,新高考强调的多想少算,在本题中体现明显.创新解读高考真题教材典题1.(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=____.1.(人教A版选择性必修第二册P23练习T4)在等差数列{an}中,若S15=5(a2+a6+ak),求k.考教衔接

95高考真题教材典题2.(人教A版选择性必修第二册P23例9)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=10,公差d=-2,则Sn是否存在最大值?若存在,求Sn的最大值及取得最大值时n的值;若不存在,请说明理由.高考真题教材典题

课时作业42

基础巩固A

B3.(5分)(2025·天津卷)已知数列{an}的前n项和为Sn=-n2+8n,则数列{|an|}的前12项和为

(

)A.144 B112 C.80 D.48解析:因为Sn=-n2+8n,所以当n=1时,a1=S1=-12+8×1=7,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-n2+8n)-[-(n-1)2+8(n-1)]=-2n+9,经检验,a1=7满足上式,所以an=-2n+9,令an=-2n+9≥0⇒n≤4,令an=-2n+9≤0⇒n≥5,设数列{|an|}的前n项和为Tn,则T4=S4=-42+8×4=16,T12=|a1|+|a2|+…+|a12|=a1+a2+a3+a4-a5-a6-…-a12=2S4-S12=2×16-(-122+8×12)=80.故选C.C

C

5.(5分)(一题多解)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S21∶S7=6∶1,则S28∶S14=(

)A.16∶1 B.6∶1 C.12∶1 D.10∶3解析:方法一

由等差数列前n项和的性质可得,S7,S14-S7,S21-S14,S28-S21成等差数列,设S7=s(s≠0),则S21=6s,即s,S14-s,6s-S14成等差数列,故2(S14-s)=s+6s-S14,得S14=3s,故S7,S14-S7,S21-S14,S28-S21即s,2s,3s,4s,故S28-6s=4s,S28=10s,故S28∶S14=10∶3.故选D.D

B

BC8.(6分,多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,已知S14<0,a8>0,则下列选项正确的有

(

)A.d>0B.a7>0C.Sn>0时,n的最小值为15D.Sn最小时,n=8AC

12.(17分)已知数列{an}满足