第二章一元函数微分学

第二章一元函数微分学一、极限概念1、数列及数列的极限数列是按一定规律排列的一串数x1,x2……,xn，……简记作，数列也可看作是定义在正整数集合上的函数Xn=f(n),(n=1,2,……)Xn称为数列的通项或一般项。问题：给定一个数列，当项数n无限增大时，通项Xn的变化趋势是什么？,,引例：例1数列例2数列例3数列定义1，给定一个数列，若当n无限增大时，Xn无限地趋近某个固定的常数A，则称当n趋于无穷时，数列以A为极限，记作或Xn→A(n→∞)此时,也称数列收敛于A,否则,若当n无限增大时,Xn不能趋近某个固定的常数A,则称当n→∞时,数列发散。如：数列是收敛的，且数列是收敛的，且而数列都是发散的。例4求分析：由列表观察，当n→∞时,单调有界数列必有极限。记（重要极限）2、函数的极限(1)x→∞①x→+∞引例:考察,当x>0且趋于正无穷时的变化趋势。定义2设函数y=f(x)，若当x无限增大时，函数f(x)`无限趋近于某个固定的常数A，则称当x趋于正无穷时，f(x)以A为极限，记作如②x→-∞定义2,

若当x<0,而|x|无限增大时,函数f(x)无限地趋近于某个固定常数A,则称当x趋于负无穷时,f(x)以A为极限。记作如:(2)x→x0引例:①讨论当x→2时,函数y=x2的变化趋势。②讨论当x→1时,函数的变化趋势。一般地，若自变量无限接近于某一x0时，函数f(x)有接近于某一固定常数的变化趋势，就称函数f(x)在点x0处有极限。定义3设函数f(x)在点x0的邻域内（点x0可以除外）有定义，若当x无限趋于x0(但x≠x0)时，函数f(x)无限地趋近于某个固定常数Ａ，则称当x趋于x0时，f(x)以Ａ为极限，记作若自变量x趋于x0时，函数f(x)没有一个固定的变化趋势，则称函数f(x)在点x0处没有极限。如：而不存在，不存在注：极限的实质是描述在自变量的某个变化过程中函数是否有确定的变化趋势。函数有确定的变化趋势，就可能有极限；否则函数就一定无极限。3、左极限和右极限引入：书P76,讨论左、右极限的必要性。定义4设函数f(x)在点x0的邻域内(x0点可以除外)有定义，若当x<x0且x无限趋于x0(即x从x0的左侧趋于x0，记为x→x0-)时，函数f(x)无限地趋近于固定常数L，则称当x趋于x0时，f(x)以L为左极限，记作若当x>x0且x无限趋于x0(即x以x0的右侧趋于x0，记为x→x0+)时，函数f(x)无限地趋近于固定常数R，则称当x趋于x0时，f(x)以R为右极限，记作举例：xx<0设函数f(x),求f(x)=求

1x≥0定理1当x→x0时，函数f(x)极限存在的充分必要条件是当x→x0时，函数f(x)的左、右极限都存在且相等，即4、无穷小量定义5在某个变化过程中，以0为极限的变量称为在这个变化过程中的无穷小量，简称无穷小，常用希腊字母α、β、γ等表示。注:(1)无穷小量是一个特殊的变量(2)无穷小量与有极限变量的关系是：变量y以A为极限的充分必要条件是y可以表示为A与与一个无穷小量的和即定义2无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。如：在某个变化过程中，绝对值无限增大且可大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量。注：无穷大量与无穷小量的关系：无穷大量的倒数是无穷小量，而非零的无穷小量的倒数是无穷大量。二、极限的运算1、极限的四则运算法则定理3在某个变化过程中，若变量u与变量v分别以A，B为极限，则有以下结论：(1)变量u±v以A±B为极限，即Lim(u+v)=A±B(2)变量uv以AB为极限，即Lim(uv)=AB(3)当B≠0时，变量以为极限，即注：定理3的结论(1),(2)可以推广到有限个变量的情形，即若(i=1,2,……,n)则lim(u1+u2+……+un)=limu1+limu2+……+limun=A1+A2+……+Anlim(u1,u2……un)=limu1·limu2·……limun=A1A2……An推论1若在某个变化过程中，变量u以A为极限，k为常数，则lim(ku)=klimu=kA推论2若limu=A,则limun=An(n为正整数)推论3若limu=A,对正整数n,存在，则推论4若α，β为无穷小量,则α±βαβ均为无穷小量。如何求limf(x)的极限？(1)当x→x0时且f(x)为整式，则点x0处的极限值等于该点的函数值，即(2)当x→x0时，f(x)为有理分式函数，即①当x→x0时，若则②当x→x0时，若则③当x→x0时，若即型。则采取约去0因子法(因式分解、分母或分子有理化)(3)当x→x0时，型①当分子与分母的最高次幂相等时，其极限值等于分子，分母的最高次幂系数之比。如②当分子的最高次幂小于分母的最高次幂时，其极限值=0③当分子的最高次幂大于分母的最高次幂时，其极限值=∞2、两个重要极限(1)注：①该极限呈型②一般形式为：举例：书P83(2)或一般地，或注：①该极限呈“1∞”型②括号内是两项的和,其中一项为1,另一项与幂指数互例。例如：书p85练习：16,19,20161920书P84例15，设函数

f(x)=试求当b等于何值时，f(x)在x=0处的极限存在。[分析]该函数是分段函数,x=0是它的分段点，在x=0的左右两侧函数的表达式不同，因此需要考虑在此点处的左、右极限。解f(x)在x=0处有极限存在，必须得三、函数的连续性1、函数的连续与连续函数定义6设函数f(x)在点x0及其邻域内有定义并满足(△x为x0点处自变量的改变量，△y为相应的函数改变量)则称函数f(x)在点x0在处连续，点x0称为f(x)的连续点。注:(1)在几何图形上，函数f(x)的图形在其连续点x0处是不能断开的；

(2)若，则称f(x)在点x0处左连续；

(3)若，则称f(x)在点x0处右连续；

(4)f(x)在点x0处连续的充分必要条件是，在点x0处左连续又右连续即举例：证明函数

f(x)=在x=0处是连续的。证明：∵f(0)=0(5)若函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续，则称f(x)在区间(a,b)内连续，这时(a,b)称为f(x)的连续区间。若函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且在左端点a右连续，在右端点b左连续，则称f(x)在闭区间[a,b]连续。(6)对于连续函数(基本初等函数在其定义区间上都是连续函数)，极限符号与函数符号可以互相交换。即2、函数的间断点若函数f(x)在点x0处不连续，则称f(x)在点x0处发生间断，使f(x)发生间断的点x0称为f(x)的间断点。若函数f(x)在点x0处有下列三种情况之一，则f(x)在点x0处间断：(1)在点x0处没有定义；(2)在点x0处极限不存在；(3)在点x0处有定义，且极限存在，但举例：书P88～893、连续函数的运算(1)连续函数的运算法则定理4设函数f(x)，g(x)是连续函数，则下列函数在其有定义的区间内也连续。(2)连续函数的有关结论①多项式函数：在(-∞,+∞)内连续;②有理函数在分母不为0的点都是连续的。③初等函数在其定义区间内都是连续的。四、导数与微分的概念1、引入导数概念的实例(1)某时刻t0的瞬时速度(书P91)(2)切线问题（书P91～92）设曲线y=f(x)，点M(x0,y0)为曲线上一个定义点，过该点的切线倾角为α,则2、导数概念定义7设函数y=f(x)在点x0的邻域内有定义，当自变量x在x0处取得改变量△x(≠0)时，函数y取得相应的改应量若△x→0时，两个改变量之比的极限存在，则称函数函数y=f(x)在点x0处可导。并称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为即若式中极限不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导。注:(1)左导数：(2)右导数：(3)比值与导数的区别

称为函数y=f(x)从x0到x0+△x这段区间上的平均变化率；

为函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点都可导，则称函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，此时，对于区间(a,b)内每一个x都有一个导数值f/(x)与之相对应，则f/(x)也是x的一个函数，称其为函数y=f(x)在区间(a,b)内的导函数，简称导数，记为将式中的x0换成x，则

(5)f/(x0)与f/(x)的关系：f/(x0)表示导数f/(x)在点x0处的函数值，即f/(x0)=f/(x)|x=x0(6)函数y=f(x)在闭区间[a,b]上可导是指①f(x)在(a,b)内处处可导；②在左端点a存在右导数f+/(a);③在右端点b存在左导数f-/(b)(7)求导数的三步骤：①算差：△y=f(x+△x)-f(x)②作比：③求极限：举例：书P94～95例3设y=lnx,求y/解：∵①②③∴例4设y=sinx，求y`解：∵①②③∴注：常见函数的导数公式：(1)常数函数y=c,(c)`=0(2)幂函数(3)指数函数特别地，(4)对数函数特别地，y=lnx(5)三角函数：(sinx)`=cosx(cosx)`=-sinx

3、导数的几何意义；函数y=f(x)在点x0处的导数f`(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率即因此，y=f(x)上点(x0,y0)处的切线方程为：由点斜式知：举例：书P101练习5，65、求曲线y=lnx在(1,0)点处的切线的方程

解∵∴由点斜式知曲线y=lnx在(1,0)点处的切线方程为y-0=1·(x-1)即y=x-16、在抛物线y=x2上求一点，使得该点处的切线平行于直线y=4x-1[分析]当两直线的斜率相等时，两直线平行解：设(x0,y0)为抛物线y=x2上一点，则该点处切线的斜率为而直线y=4x-1的斜率为4由题意：2x0=4得x0=2

把x=2代入y=x2得y0=22=4所求点为(2,4)4、可导与连续的关系定理5若函数y=f(x)在点x处可导，则它在x处一定连续。即可导连续，但连续不一定可导。如：x,x≥0y=|x|=-xx<0在x=0处连续而所以，在x=0处不存在导数，即y=|x|在x=0处连续但不可导。5、函数的相对变化率——函数的弹性书P97～98y=f(x)在x=x0处的弹性对任意点x,若y=f(x)可导，则有6、微分的定义引入微分概念的原因书P98～99定义9设函数y=f(x)在点x0处可导，△x是自变量x的改变量，称f``(x0)△x为函数y=f(x)处的微分。记作并称f(x)在点x0处可微。注:(1)对于函数在任一可导点x处的微分，有dy=f``(x)dx(2)dy与△y的关系。(3)可导与可微的关系：可导可微由知：dy=f`(x)dx所以导数也称微商。(4)常见微分公式：y=cdy=(c)`dx=0

举例：书P100.4.(4)已知f(x)=lgx,求f`(x)及df(x)解：五、导数的计算1、导数(微分)的四则运算法则①代数和的导数(微分)法则：②乘积的导数(微分)法则：③商的导数(微分)法则：举例：书P102～104例2求函数的微分解∵∴例4设函数，求y`解：例6求y=tanx的导数解∵∴2、复合函数求导法则引入：书P104定理9设y=f(u),u=ф(x)且u=ф(x)在点x处可导,y=f(u)在点u=ф(x)处可导,则复合函数,y=f(ф(x))在点x处可导,且或复合函数的微分公式为:举例:书P105～107例12求函数的微分。[分析]若所给的表达式能简化尽量简化，再运用微分法则及公式求解。解∵∴3、隐函数求导举例设y=f(x)是由方程F(x,y)=0确定的隐函数，将y=y(x)代入方程中，得到恒等式

F(x,y(x))=0利用复合函数的求导法则，恒等式两边对自变量

x求导数，把y作中间变量，就可以求得y对x的导数隐函数微分法实质上是复合函数求导法则的应用。举例例15.求方程所确定的隐函数y=y(x)对x的导数。分析：因方程中y是x的函数，方程两边对x求导，由导数的四则运算法则和复合函数求导法则即可求出。解：

例16设函数y=y(x)由方程

确定，求d