2025-2026学年广西柳州市铁一中学高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2025-2026学年广西柳州市铁一中学高三（上）9月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.芳芳高考前5次数学模拟成绩分别为：126，135，142，132，145，则其平均数为()A.132B.134C.136D.1382.已知复数z=1+i，则)3.已知集合A={x|__1≤x≤3}，B={x|x≤0,x∈Z}，则A∩B=()A.[__1,0]B.{0,1,2,3}C.[0,3]4.已知等差数列{an}，前n项和为sn，s30__s20=100，则s50=()A.200B.300C.500D.10005.△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则角A的大小是()6.不等式≥1的解集为()7.已知sin则sinsin)A1B.18.已知F是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，直线l与抛物线的准线l1交于点M，若PM=2FP，则|PQ|=(A.B.C.D.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知{an}是递增的等比数列，其前n项和为sn，若a)A.a1=1B.a5__aC.sD.{sm+2}是等比数列10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e__x(x__1)，则()A.函数f(x)的极大值点为2B.函数f(x)有2个零点C.函数f(x)在点(__1,0)处的切线方程为x+ey+1=0D.函数f(x)的值域为(__1,1)11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线C右支上的动点，过点P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B.若圆(x__2)2+y2=1与双曲线C的渐近线相切，则下列说法正确的是()A.双曲线的渐近线方程为yxB.双曲线C的离心率eC.当点P异于双曲线C的顶点时，△PF1F2的内切圆的圆心总在直线x=3上D.|PA|.|PB|为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向a=(k,2k)(k>0)，b=(3,4)，若(a+b)⊥(a__13.若函数f(x)=x(x__a)2在x=2处取得极小值，则a=．14.在立方体中放入9个球，一个与立方体6个面都相切，其余8个相等的球都与这个球及立方体的三个面相切，已知8个相等的球的半径都为2__3，则立方体的体积为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数fsinx+cos，将函数f(x)图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象．(1)求g(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，若g求△ABC面积的最大值．16.(本小题15分)如图，在三棱柱ABC__A1B1C1中，侧面BCC1B1为矩形，平面(1)证明：A1C⊥平面ABC；(2)若AB1=13，求直线AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．17.(本小题15分)已知甲、乙两个箱子中各装有9个大小相同的球，其中甲箱中有4个红球、5个白球，乙箱中有2个红球、7个白球.定义一次“交换”：先从其中一个箱子中随机摸出一个球放入另一个箱子，再从接收球的箱子中随机摸出一个球放回原来的箱子.每次“交换”之前先抛掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1，6，则从甲箱开始进行一次“交换”；若点数为2，3，4，5，则从乙箱开始进行一次“交换”．(1)求第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率；(2)已知第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球.第二次“交换”后，设乙箱中白球的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．l8.(本小题17分)已知f′(x)是函数f(x)的导函数，x0是f(x)的零点，若在x∈D上，f(x)>f′(x0)恒成立，则称f(x)是D上的“优函数”．(1)试判断函数f(x)=ex__x__1是否是(0,+∞)上的“优函数”，请说明理由；(2)已知函数gx2__mlnx+x，m>0．①证明：g(x)只有一个零点；②已知x0是g(x)的零点，证明：g(x)是(0,1)上的“优函数”．l9.(本小题17分)已知A(__2,0)，B(2,0)，F1(__1,0)，F2(1,0)，动点P满足kPA.kPB动点P的轨迹为曲线τ：PF1交τ于另外一点Q，PF2交τ于另外一点R．(1)求曲线τ的标准方程；(2)已知是定值，求该定值；(3)求△PQR面积的范围．参考答案2.B3.D4.C6.B7.C8.B9.ACD11.ABC根据题意可知，将f(x)=sin(x+)的图象向左平移个单位长度，得到g=sinsincosx，因为y=cosx的单调递增区间是2kπ__π≤x≤2kπ,k∈Z，所以g(x)的单调递增区间是[2kπ__π,2kπ]，k∈Z；已知g=cosB因为0<B<π,所以B由余弦定理b2=a2+c2__2accosB，则(a2+c2__2ac即12=a2+c2__ac，根据基本不等式a2+c2≥2ac，所以12=a2+c2__ac≥2ac__ac=ac，当且仅当a=c时取等号，即ac≤三角形面积公式SΔABCacsinBacsinac，因为ac≤12，所以SΔABCac，即△ABC面积的最大值为3．16.(1)证明：侧面BCC1B1为矩形，BC丄CC1，又因为平面BCC1B1丄平面ACC1A1，BCC平面BCC1B1，平面BCC1B1∩(2)解：连接AC1，由(1)易知LA1AC=45o，在△ACC1中由余弦定理可得AC由(1)易知CA，CB，CA1两两互相垂直，故以C为坐标原点，CA，CB，CA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设平面BCC1B1的法向量为=(x,y,z)，设直线AB1与平面BCC1B1所成的角为θ,所以直线AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为17.(1)依题意，每次“交换”从甲箱开始的概率为，从乙箱开始的概率为，且每次“交换”后箱子总球数仍然为9个，要使第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球，则无论从哪个箱子开始“交换”，甲箱中摸出的都是白球，乙箱中摸出的都是红球，若第一次“交换”从甲箱开始，则第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率为；若第一次“交换”从乙箱开始，则第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率为；设第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球为事件A，所以．P(2)因为第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球，所以此时甲箱中有5个红球、4个白球，乙箱中有1个红球，8个白球，x的取值为7，8，9x789p49 423228184f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(0)=0，所以f(x)有唯一零点x=0，当x>0时，f(x)>f(0)=0=f′(0)，所以f(x)是(0,+∞)上的“优函数”；(2)证明：xm10+0g(x)单调递减单调递增单调递减因为g(1)=m+>0，g(m)=m2+m__mlnm>0，所以g(x)在(0,1)无零点，当x>1时，g(x)=__x2__mlnx+(m+1)x<__x2+(m+1)x，所以g(2m+2)<0，所以g(x)在(1,+∞)上有一个零点，所以g(x)在(0,+∞)上有一个零点；(ii)当m=1时，g′(x)≤0，所以g(x)在(0,+∞)单调递减，又g(1)=>0，g(4)=__ln4<0，所以g(x)在(0,+∞)上有一个零点，(iii)当m>1时，x1m0+0g(x)单调递减单调递增单调递减因为g=mm2+m__mlnmmmφ(m)在(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，所以g(m)>0，所以g(x)在(0,m)无零点；当x>m时，gx2__mlnx+x，所以g(2m+2)<0，所以g(x)在(m,+∞)上有一个零点，所以g(x)在(0,+∞)上有一个零点，综上：g(x)在(0,+∞)上只有一个零点；②由①知g(x)有唯一零点x0，(i)当0<m<1时，x0>1，g≥gm2+m__mlnm>0，所以g(x)>0>g′(x0)；(ii)当m=1时，x0>1，g(x)>g(1)=>0，所以g′(x)在(1,+∞)上单调递减，所以g′(x0)<g(1)=0，所以g(x)>0>g′(x0)；(iii)当m>1时，x0>m，g(x)>g(1)=m+>0，所以g′(x)在(m,+∞)上单调递减，综上，g(x)>g(x0)，所以g(x)是(0,1)上的“优函数”．19.解：(1)令P(x,y)，因为kPA.kPB所以整理可得即曲线τ的标准方程为：(2)设P(x0,y0)，Q(x1,y1)，R(x2,y2)，设直线PQ和直线PR的方程为x=my__1，x=ny+1，联立PQ和椭圆联立整理可得：(3m2+4)y2__