【曼积分与勒贝格积分的区别与联系研究6100字（论文）】

曼积分与勒贝格积分的区别与联系研究目录TOC\o"1-2"\h\z\u1引言 [2]假设是中的一点集，为中的一固定点，则中的点集称为关于的截面（图2），记为.yxyx图2图2定理12（截面定理）设是可测集，则（1）对于中几乎所有的点，是中可测集； （2）作为的函数，它是上有定义的可测函数；（3）.定理13设,分别是，中的可测集，则是中的可测集且.定义7（下方图形）假设是上的一个非负函数.所以中的点集，称为在上的下方图形.记为.定理14（非负可测函数积分的几何意义）假设函数是可测集上的一个非负函数.则（1）函数为上的可测函数的充要条件是：是中的可测集；（2）当在上可测集时，.证明设，则所以由定理13，是中的可测集.设上的简单函数为，这时对于（各可测，互不相交），总有，因此，可测.设非负可测函数为，由简单函数与可测函数的关系知，总存在着一列简单函数，使.不难证明，，且，从上面已知各都可测，所以可测.反之，如果是可测的，由截面定理，是在中有定义的可测函数，且所以在上可测且.4黎曼积分与勒贝格积分性质的比较4.1被积函数连续性的比较引理3若是在定义在上的一个有界函数，则在上是黎曼可积的充分条件是在上的不连续点集为零测度集.定理15定义在有限区间上的函数若为黎曼可积，所以一定勒贝格可积，且两个积分后的值相等，即.这可以说明黎曼积分与勒贝格积分在函数在上是完全相等的，反之，勒贝格可积的函数未必是黎曼可积.例1：,在线段上不是黎曼可积的，却是勒贝格可积的.因为除了点外，闭区间上的其余点都是间断点，即它在一正测度集上间断，因此，它不是黎曼可积的，但由于是有界可测，所以这个函数勒贝格可积.4.2被积函数绝对可积性的比较（1）黎曼积分的绝对可积性性质1若在上是可积的，所以在上也可积.且但这个性质的逆命题一般不完全成立.（2）勒贝格积分的绝对可积性性质2（绝对可积性）假设在上是可积的，则也是可积的.且.这个性质的逆命题同时也是成立的，即若在上可积，则在上也可积的.例：在上不是黎曼可积；但，在上黎曼可积，由此知是上的勒贝格可积函数,则也是上的勒贝格可积函数.4.3积分区域的可加性（1）黎曼积分区域的可加性黎曼积分是具有有限可加性的，即：若（均为有限的区间），则，但是黎曼积分并不一定是具有可数可加性的.（2）勒贝格积分区域可加性勒贝格积分它不仅同样具有着有限的可加性，而且还同样具有着可数可加性，这就使它克服了黎曼积分的诸多缺陷.定理16（积分的可数可加性）假设函数在可测集上由积分确定，且其中各为互不完全相交的可测集.则.4.4黎曼积分（广义）与勒贝格积分区别及联系勒贝格可积函数的范围比黎曼积分的应用范围广，这主要还是体现在勒贝格积分中，它也包含了黎曼积分，因此，就很容易实现勒贝格积分与极限的交换：在勒贝格积分所在范围比黎曼积分所在范围能更完美的解决函数积分与极限的交换这一问题，这具体表现在积分控制收敛的定理上，这对正常的黎曼积分如此.勒贝格可积函数的范围比黎曼积分的应用范围广，这主要还是体现在勒贝格积分中，它也包含了黎曼积分，因此，就很容易实现勒贝格积分与极限的交换：在勒贝格积分所在范围比黎曼积分所在范围能更完美的解决函数积分与极限的交换这一问题，这具体表现在积分控制收敛的定理上，这对正常的黎曼积分如此.若是定义在有限区间上的函数，若黎曼可积则必勒贝格可以可积，且两个积分的数值相等，黎曼积分与勒贝格积分之间具有上述关系.但是对于广义积分来说却并非如此.定理17设是上几乎处处连续的函数，并对任意的，在上是有界的，且是上不变号，则.注：上述定理17说明了不变号的广义积分和积分之间的关系，则对上的变号函数的结论一般不再完全成立.因此，能够知道广义黎曼积分推不出勒贝格积分，反之若存在，则也存在.上述所阐述的是一个有界区域上的无界函数，下面则考虑的是无限区域的有界情况.定理18若在上连续且是勒贝格可积的，因此在上是黎曼可积，且.证明：由于在上连续并且勒贝格可积，因此由定义可以知道，对于任意，在上勒贝格可积，且有限，因此，对，令,所以，是勒贝格可测函数列，且，又单调收敛定理可知.因此，在上是勒贝格可积的，且，，又由勒贝格控制收敛定理得故.定理19设为上的非负函数，且广义黎曼积分，则在上勒贝格可积，且证明：因为在上为广义黎曼可积的，且是非负函数，则对于，并在上是黎曼可积，因此，两个积分的关系由闭区间上可以得到，所以，因此.4.5牛顿-莱布尼茨公式的适用条件定理20若函数是上的连续函数，且存在为原函数，即，，则在上是可积的，且.上式称为牛顿--莱布尼茨公式，它也常写成.所以，作为数学分析中的重要应用，微积分学基本定理的原函数存在定理、牛顿--莱布尼茨公式无不都揭示了微积分运算与积分运算之间的互逆关系.我们所讲述的一个微分运算的逆运算并不是完全就黎曼积分的这个运算，而且，其中的牛顿—莱布尼茨公式在我们实际使用的时候也表现出它的较大的局限性.所以，可以由以上的基本定理得到，对于一个可微函数定义在区间上，当其导数连续时，有.换一个说法，若给出的一个，则可以先进行微分运算，然后再对其进行积分运算，这样得到的函数依旧还是函数，所以，我们可以叫这种积分运算就是前面微分运算的一种逆运算.然则，要使得前面阐述的微积分的一些定理仍然是成立的，那么其导数就必定是可积的.但是，这个事实一般却并不是这样.例：若假设一个有界闭集为，无处稠密并且具有正测度，，在上定义，且在上，在关于线段的余区间上，易证在上仍然处处存在着，若时，的具体表达式则可以求岀.所以，在上处处存在着有限（可有界）的,故在以上连续.但这也容易由此推岀：导函数在的所有点上并不是连续的，又,所以并不可积.此时，牛顿--莱布尼兹公式是否还能成立呢？因此黎曼积分依旧还是不能解决这个积分问题,但用勒贝格积分却还能得到比较好的一个结果.例如，若在中每个确定的导数都对应着一个点，且导函数是有界的，所以，是可积的，因此，牛顿--莱布尼兹公式：成立.这也使牛顿--莱布尼兹公式的适用范围大幅度扩大，这为积分较积分的又一优越性.5小结经过本文深入的探讨经过本文深入的探讨，我们不仅了解到黎曼积分与勒贝格积分之间是如何发展的，且对这两种积分的基本性质区别进行了分析和比较，也对它们两者之间的性质区别及相互联系进行了论述.同时也阐明了勒贝格积分不仅是黎曼积分(非广义)的一个发展且是黎曼积分的一个延伸，它不仅能充分的解决黎曼积分在函数积分上的一些局限性，也同时说明了勒贝格积分并没有完全否定和直接抛弃黎曼积分，它把黎曼积分的性质作为一种积分特例形式加以充分概括，并且在一定条件下勒贝格积分也可以通过转换而成为黎曼积分，并且还探讨了两者的相互联系.同时我们也可以清楚看到现代数学积分是在不断的快速发展与稳步前进的，将来也一定会不断出现更多并且具有更好性质的积分而该理论也正等着我们大家一起去研究发现.

参考文献程其襄，吴良森，庞学诚.数学分析（第四版）[M].高等教育出版社.程其襄、张奠宙、胡善文、薛以锋.实变函数与泛函分析（第四版）[M].高等教育出版社.张良勇，董晓芳.浅谈从黎曼积分到勒贝格积分的演变[J].高等函授学报(自然科学版）,2006年8月第19卷第4期.刘松.黎曼积分的局限性和勒贝格积分的优越性[J].合肥学院学报，2016年8月第33卷第4期.潘学峰.浅谈黎曼积分与勒贝格积分的区别[J].甘肃联合大学学报（自然科学版）,2007年9月第21卷第5期.刘晓辉，刘文菡.勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性[J].新余高专学报,2006年6月第11卷第3期.汪秀荣.从黎曼积分、勒贝格积分看积分理论的发展[J].广西师院学报（自然科学版）,1996年9月第13卷第3期.张永立，黄芳，王学军，范志勇.勒贝格积分与黎曼积分的关系[J].焦作师范高等专科学校学报,2020年3月第36卷第1期.周成林.勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系[J].新乡教育学院学报，2005年6月第18卷第2期.何婷妹.浅析黎曼积分与勒贝格积分[J].科技经济导刊,2016.14期.黄永峰.也谈黎曼积分与勒贝格积分的区别及联系[J].时代教育,2011年9月.沈凤英.浅谈勒贝格积分与黎曼积分[J].苏州教育学院学刊（自然科学版）,1987年第1期.冯淑芬，文泽.从Riemann积分到Lebesque积分[J].天津师大(自然科学版)，1991年第2期.许汪涛.勒贝格积分理论