2027届高考数学一轮复习7.2空间点、直线、平面之间的位置关系（课件）

第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一平面的基本性质基本事实1.__________的三点确定一个平面．基本事实2.如果一条直线上的__________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且__________________的公共直线．推论1.经过一条直线和__________________，有且只有一个平面．推论2.经过两条________直线，有且只有一个平面．推论3.经过两条________直线，有且只有一个平面．不共线两个点只有一条过该点这条直线外一点相交平行注：1.基本事实1、基本事实2和三个推论是判断点、线共面的依据；2．基本事实3是判断两个平面相交及三点共线及三线共点的依据．知识点二空间点、直线、平面之间的位置关系知识点三异面直线所成角、基本事实4及等角定理1．异面直线(1)定义：异面直线——不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．两条既不平行也不相交的直线是异面直线．(2)异面直线的画法画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托．(3)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的______________叫做异面直线a与b所成的角．锐角或直角2．基本事实4.(平行公理)平行于同一条直线的两条直线________.3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__________.平行相等或互补归

纳

拓

展异面直线的判定定理过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．用符号可表示为：若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线AB与l是异面直线(如图)．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(

)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(

)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(

)(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(

)(5)两两相交的三条直线共面．(

)(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．(

)[答案]

(1)√

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×

(6)×题组二走进教材2．(必修2P132T3改编)下列说法正确的是(

)A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面B．两两相交的三条直线一定共面C．与两异面直线分别相交的两条直线一定不平行D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交[答案]

C[解析]

两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；如图1，直线AA1与AB和AD两两相交，显然这三条直线不共面，故B错误；如图2，直线AB与CD是异面直线，若AC∥BD，则AC与BD确定一个平面α，则AC⊂α，BD⊂α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB⊂α，CD⊂α，这与直线AB与CD是异面直线矛盾，则直线AC与BD一定不平行，故C正确；如图1，AB∥CD，而直线AA1与AB相交，但与直线CD不相交，故D错误．故选C.3．(必修2P147例1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(

)A．30° B．45°C．60° D．90°[答案]

C[解析]

连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.故选C.4．(必修2P134例1)如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA上的点．(2)若E，F，G，H分别为棱AB，BC，CD，DA的中点，①当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；②当AC，BD满足条件______________时，四边形EFGH为正方形．[答案]

(1)共面(2)AC＝BD

AC＝BD且AC⊥BD题组三走向考场5．(2021·全国高考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(

)[答案]

D考点突破·互动探究平面基本性质的应用——自主练透(多选题)(2024·湖南新高考教学教研联盟联考改编)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法正确的是(

)A．E，F，G，H四点共面B．EF∥GHC．EG，FH，AA1三线共点D．∠EGB1＝∠FHC1[答案]

ABC[引申]本例中，若HF∩AC＝P，GE∩AB＝Q，GF∩平面ABC＝R，判断P，Q，R是否共线？[解析]

由HF∩AC＝P，GE∩AB＝Q，知平面ABC∩平面EFHG＝PQ，又R∈GF⊂平面EFHG，∴R∈平面EFHG，又R∈平面ABC，∴R∈PQ，即P，Q，R共线．名师点拨：1．证明空间点共线问题的方法(1)基本事实法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本事实3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．2．点、线共面的常用判定方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．3．证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．【变式训练】(多选题)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点共面的是(

)[答案]

ABC[解析]

在A图中分别连接PS，QR，易证PS∥QR，∴P，Q，R，S共面；在C图中分别连接PQ，RS，易证PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面；如图所示，在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；D图中PS与QR为异面直线，∴四点不共面，故选ABC.空间两条直线的位置关系——师生共研1．(多选题)(2026·山东潍坊期中)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊂平面ABB1A1，直线m⊂平面BCC1B1，直线n⊂平面ABCD，则直线l，m，n的位置关系可能是(

)A．l，m，n两两垂直

B．l，m，n两两平行C．l，m，n两两相交

D．l，m，n两两异面[答案]

ACD[解析]

当l为BB1，m为BC，n为AB时，l，m，n两两垂直，A正确；不妨假设l∥m，l，m和BB1不重合，因为l⊄平面BCC1B1，m⊂平面BCC1B1，则l∥平面BCC1B1，又l⊂平面ABB1A1，平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1，故l∥BB1，则m∥BB1，又BB1⊥平面ABCD，n⊂平面ABCD，故BB1⊥n，则l⊥n，m⊥n，即l，m，n不可能两两平行，B错误；当l为BB1，m为BC，n为AB时，l，m，n两两相交，C正确；当l为AA1，m为B1C1，n为CD时，l，m，n两两异面，D正确．故选ACD.2．(2025·福建龙岩模拟)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是(

)A．直线CD与直线GH异面B．直线CD与直线EF共面C．直线AB与直线EF平行D．直线GH与直线EF共面[答案]

B[解析]

如图，点C与点G重合，故A错误；∵CE∥BD，且CE＝BD，∴四边形CDBE是平行四边形，∴CD∥EF，∴CD与EF共面，故B正确；∵AB∩EF＝B，∴AB与EF相交，故C错误；∵GH与EF既不平行也不相交，∴GH与EF是异面直线，故D错误．故选B.名师点拨：1．判断空间直线的位置关系的方法一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断，二是排除法．特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．”2．判定平行直线的常用方法(1)三角形中位线的性质．(2)平行四边形的对边平行．(3)平行线分线段成比例定理．(4)公理：若a∥b，b∥c，则a∥c.【变式训练】(多选题)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是(

)[答案]

BD[解析]

图A中，直线GH∥MN；图B中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉HG，因此直线GH与MN异面；图C中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图D中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，G∉MN因此GH与MN异面，故选BD.异面直线所成的角——师生共研[答案]

D2．(2025·河北石家庄模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝AB＝AA1，∠BAC＝120°，D，E，F分别是棱B1C1，BC，A1C1的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为(

)[答案]

D3．若两条异面直线a、b所成角为60°，则过空间一点O与两异面直线a、b所成角都为60°的直线有________条．[答案]

3[解析]

如图，过O分别作a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成角为60°，如图易知过O与a′，b′所成角都为60°的直线有3条，即与a，b所成角都为60°的直线有3条．[引申]本例3中与异面直线a、b所成角都为75°的直线有________条．[答案]

4名师点拨：求异面直线所成角的方法1．定义法定义法求异面直线所成角的步骤(1)找或作：在图中找或平移异面直线中的一条或两条构造异面直线所成的角．(2)证：说明所作的角是异面直线所成的角．(3)算：寻找或作出含有此角的三角形并解之．(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0°<θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．2．向量法【变式训练】1．如图所示，已知空间四边形ABCD，AC与BD所成角为60°，且AC＝BD＝2，E、F分别为BC、AD的中点，则EF＝(

)[答案]

C2．(2024·湖北部分学校联考、黑龙江大庆质检)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1，D，E分别为AC，BC的中点，则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为(

)[答案]

D名师讲坛·素养提升空间几何体的截面问题A．六边形 B．五边形C．四边形 D．三角形[答案]

B名师点拨：1．作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．2．作交线的方法有如下两种(1)利用基本事实3作交线；(2)利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．注：正六面体的一些截面：说明：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形．【变式训练】1．若E，F，H分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CC1，A1D1的中点，则过E，F，H三点的截面图形是____________.[答案]

正六边形[解析]

取A1B1的中点M，连接EM，MC1，EF，并延长MC1，EF交于Q，连接HQ并延长交C1D1于N，交B1A1的延长线于S，连接SE并延长交A1A于P，交B1B的延长线于R，连接FR交BC于G，连EG，FN，HP得过E，F，H三点的截面EGFNHP，易证EGFNHP为正六边形．2．(2024·四川泸州三模)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，P为DD1的中点，过A，B，P三点作平面α，则该正方体的外接球被平面α截得的截面圆的面积为(

)[答案]

D提能训练练案[40]A组基础巩固一、单选题1．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行．其中正确命题的个数是(

)A．0B．1 C．3 D．4[答案]

B[解析]

只有②正确，故选B.2．(2024·宁夏银川三模)A，B是两个不同的点，α，β为两个不同的平面，下列推理错误的是(

)A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈α[答案]

C[解析]

直线上两个不同点在某个平面内，则直线在该平面内，故A正确；两个不同点同时在两个不同平面内，则两点所在直线为两平面的交线，故B正确；l⊄α有两种情况，l与α相交或l∥α，其中l与α相交，且交点为A点，则C错误；直线在面内，则直线上的点都在面内，故结论D正确．故选C.3．(2025·山东济南模拟)如图，P是正方体ABCD－A1B1C1D1对角线A1C1上的动点，下列直线中，始终与直线BP异面的是(

)A．直线DD1B．直线B1CC．直线AD1D．直线AC[答案]

D[解析]

当P位于A1C1的中点时，易知P∈B1D1，由正方体的特征可知四边形BB1D1D为平行四边形，此时BP，DD1⊂平面BB1D1D，故A不符合题意；当P与C1重合时，BP，B1C⊂平面BB1C1C，故B不符合题意；当P与C1重合时，由正方体的特征可知四边形ABC1D1为平行四边形，此时BP∥AD1，故C不符合题意；由正方体的特征可知四边形ACC1A1为平行四边形，而B∉平面ACC1A1，P∈平面ACC1A1，AC∥A1C1，AC，A1C1⊂平面ACC1A1，BP∩A1C1＝P，所以AC与BP始终异面，故D符合题意．故选D.4．(2026·四川仁寿一中调研)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则直线A1C1与CE所成角的余弦值为(

)[答案]

A[答案]

B6．(2026·黑龙江新时代高中教育联合体摸底)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若DD1的中点为Q，则过点Q，A，B1三点的截面是(

)A．三角形 B．梯形C．菱形 D．矩形[答案]

B7．(2024·河南新乡三模)已知球O的半径为5，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面α被球O所截的截面面积的最小值是(

)A．9π B．12πC．16π D．20π[答案]

C8．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作(

)A．1条 B．2条C．3条 D．4条[答案]

D二、多选题9．下列命题中的真命题是(

)A．若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P，Q，R三点，则P，Q，R三点共线B．若直线a，b是异面直线，直线b，c是异面直线，则直线a，c是异面直线C．若三条直线a，b，c两两平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面D．对于三条直线a，b，c，若a⊥c，b⊥a，则c∥b[答案]

AC[解析]

由公理3，A正确；易知B错误；C正确；若a，b，c是过长方体一顶点的三条棱，则D错误，故选AC.10．(2025·山东聊城模拟预测)已知a，b，c是两两异面的三条直线，a⊥b，c⊥a，直线d满足d⊥a，d⊥b，a∩d＝P，b∩d＝Q，则c与d的位置关系可以是(

)A．相交 B．异面C．平行 D．垂直[答案]

BC[解析]

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线a，b，d如图所示．c为ED1(E为AA1上不与A、A1重合的点)时与d异面，B正确；c为DD1时与d平行，C正确；若c与d相交，则a垂直于c，d确定的平面，又a垂直于b，d确定的平面，则b，c，d在同一个平面内，即b与c共面，与已知矛盾，A错误；若c与d垂直，则c垂直于a，d确定的平面，而b垂直于a，d确定的平面，推出b与c平行或重合，与已知矛盾，D错误，故选BC.11．(2024·河北秦皇岛部分学校联考)如图为一正方体的展开图，则在原正方体中(

)A．AB∥CDB．AB⊥CDC．直线AB与EF所成的角为60°D．直线CD与EF所成的角为60°[答案]

BCD[解析]

画出原正方体如图所示，由图可知：AB与CD不平行，A选项错误；根据正方体的性质可知BH∥AG，BH＝AG，所以四边形ABHG是平行四边形，所以AB∥GH，而GH⊥CD，所以AB⊥CD，所以B选项正确；根据正方体的性质可知，△ABC是等边三角形，直线AB与EF所成的角为∠BAC，所以直线AB与EF所成的角为60°，C选项正确；又△EFD是等边三角形，直线CD与EF所成的角为∠FCD，所以直线CD与EF所成的角为60°，D选项正确．故选BCD.[答案]

ABC三、填空题13．(原创)E，F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，C1D1的中点，则过A，E，F三点的截面的图形是________.[答案]

五边形[解析]

作直线EF分别与直线DC，DD1相交于P，Q，连AP交BC于M，连AQ交A1D1于N，连接NF，ME.则五边形AMEFN即为过A，E，F三点的截面．14．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为上底面的中心，则AO与B1C所成角的余弦值为________.15．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点D作直线l与异面直线AC和BC1所成的角均为θ，则θ的取值范围为____________.B组能力提升1．(2026·陕青宁晋金太阳联考)如图，可任意转动的正方体ABCD－A1B1C1D1容器(忽略容器的器壁厚度)内部装满了水，E为AA1的中点，在点E，B，C1的位置凿出三个小洞(将三个小洞视为质点)，则这个容器最多可盛原来水的(

)[答案]

B2．(2024·内蒙古呼和浩特二模)如图，已知正四棱锥P－