2023-2024学年江苏省九年级数学期末突击模拟卷06（含解析）

第1页（共1页）2023-2024学年江苏省九年级数学期末突击模拟卷06一．选择题（共8小题）1．下列函数中，是二次函数的有（）①y＝3（x﹣1）2+1；②y＝x+；③y＝8x2+1；④y＝3x3+2x2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．我校学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面进行，五方面按2：3：2：2：1确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为（）A．9 B．7 C．8 D．103．某农户，用26m长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长12m），且面积为80m2的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个1m宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为xm，如图所示，若可列方程为x×★＝80，则★表示的是（）A．（26﹣2x） B．（27﹣2x） C． D．4．抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+1先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线解析式为（）A．y＝﹣3（x+4）2+2 B．y＝﹣3（x﹣4）2+2 C．y＝﹣3（x+4）2 D．y＝﹣3（x﹣4）25．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（）A． B． C．4 D．2+6．设A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣2（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y37．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是12π，则正六边形的边长是（）A． B．3 C．6 D．8．如图，抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点在线段AB上运动，AB∥x轴，B（1，﹣1），AB＝3，则下列结论中正确的是（）A．b2﹣4ac＜0 B．当x＞0时，一定有y随x的增大而增大 C．0≤c≤3 D．若点C的坐标为（m，0），则点D的坐标为（m+2，0）二．填空题（共10小题）9．二次函数y＝（x+1）2+2的顶点坐标为．10．少年强，则国强、为增强青少年科技创新能力，我市将举行“青少年机器人大赛”，某校要从报名的甲、乙、丙三人中选取一人代表学校参赛，经过两轮初赛后，甲、乙、丙三人的平均成绩都是90分，方差分别是，，＝10.5，则派代表学校参赛比较合适．11．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．下图是其中的一个图形，六边形ABCDEF是⊙O的外切正六边形，现随机向该图形掷一枚小针，则针尖落在⊙O内的概率是．（结果不取近似值）．12．圆锥的底面半径是3cm，母线长10cm，则它的侧面积为．13．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2，若x1x2＝5，则k的值为．14．计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数y＝x2（x+3）和y＝x+3的图象如图所示．根据图象可知方程x2（x+3）＝x+3的解的个数为；若m，n分别满足方程x2（x+3）＝5和x+3＝5，则m，n的大小关系是．15．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③BD＝DE；④若点G为BC的中点，则BG⊥GD，其中一定正确的序号是．16．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h（单位：m）与水流喷出时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是s．17．已知一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2＝．18．如图，AE＝AB，∠E＝∠B，EF＝BC，若∠EAB＝52°，则∠EFA＝．三．解答题（共10小题）19．解下列方程：（1）；（2）（x+3）（x﹣1）＝x﹣1．20．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．（2）证明：PA+PB＝PC．21．把y＝﹣x2的图象向上平移2个单位，向左平移1个单位．（1）求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；（2）画出图象；（3）求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．22．阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．幸福中学七年级1班班主任为了解班级学生上周在家阅读时长（单位：小时）的情况，对全班40名学生进行问卷调查．所得的结果如图所示．（1）这40名学生上周阅读时间的众数为小时，中位数为小时；（2）求这40名学生上周在家阅读的平均时长？23．甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转．（1）请用树状图或列表法列出所有可能的结果；（2）若指针所指的两个数字都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则甲获胜；若指针所指的两个数字都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则乙获胜，问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+（m2﹣1）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x12+x22＝4，求m值．25．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）如果AB＝10，CD＝6，求AE的长；26．我市某公司用800万元购得某种产品的生产技术后，进一步投入资金1600万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价需要定在200元到300元之间较为合理．销售单价x（元）与年销售量y（万件）之间的变化可近似的看作是如下表所反应的一次函数：销售单价x（元）200230250年销售量y（万件）14119（1）请求出y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？27．党的二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，在数学中，我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点P满足到两坐标轴的距离之和等于4，则称点P为“高质量发展点”．（1）判断下列各点是否是“高质量发展点”，并说明理由：A（3，1），，C（﹣5，1）；（2）一次函数y＝﹣2x+3上是否存在“高质量发展点”，若存在，求出所有“高质量发展点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r．若⊙T上存在“高质量发展点”，求r的取值范围．28．抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4交y轴于点C，交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，OB＝OC．（1）如图1，求抛物线解析式；（2）如图2，点P是第四象限抛物线上一点，连接PO，连接PA交y轴于E，设P点横坐标为t，△PEO面积为S，试用t表示S；（3）在（2）的条件下，直线y＝﹣x+4﹣t交x轴于点F，交y轴于点D，点N在DF的延长线上，连接BE和BN，若BE＝BN，∠BND＝∠POC，求点P点的坐标．

参考答案一．选择题（共8小题）1．下列函数中，是二次函数的有（）①y＝3（x﹣1）2+1；②y＝x+；③y＝8x2+1；④y＝3x3+2x2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：①y＝3（x﹣1）2+1，是二次函数，故此选项符合题意；②y＝x+，不是二次函数，故此选项不符合题意；③y＝8x2+1，是二次函数，故此选项符合题意；④y＝3x3+2x2，不是二次函数，故此选项不合题意．故选：B．2．我校学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面进行，五方面按2：3：2：2：1确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为（）A．9 B．7 C．8 D．10【答案】A【解答】解：由题意可得，＝9（分），故选：A．3．某农户，用26m长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长12m），且面积为80m2的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个1m宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为xm，如图所示，若可列方程为x×★＝80，则★表示的是（）A．（26﹣2x） B．（27﹣2x） C． D．【答案】B【解答】解：由题意可得：平行于墙的一边为：（26﹣2x+1），即为：（27﹣2x）．故选：B．4．抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+1先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线解析式为（）A．y＝﹣3（x+4）2+2 B．y＝﹣3（x﹣4）2+2 C．y＝﹣3（x+4）2 D．y＝﹣3（x﹣4）2【答案】B【解答】解：∵抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1），∵这个抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，∴平移后的顶点坐标为（4，2），∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣4）2+2，故选：B．5．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（）A． B． C．4 D．2+【答案】B【解答】解：如图：BC＝AB＝AC＝1，∠BCB′＝120°，∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′＝2×＝，故选：B．6．设A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣2（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3【答案】C【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+a的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，而A（﹣5，y1）离直线x＝﹣1的距离最远，B（﹣1，y2）点离直线x＝﹣1最近，∴y1＜y2＜y3．故选：C．7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是12π，则正六边形的边长是（）A． B．3 C．6 D．【答案】C【解答】解：连接OB、OC，如图：∵⊙O的周长等于12π，∴⊙O的半径OB＝OC＝＝6，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC＝6，即正六边形的边长为6，故选：C．8．如图，抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点在线段AB上运动，AB∥x轴，B（1，﹣1），AB＝3，则下列结论中正确的是（）A．b2﹣4ac＜0 B．当x＞0时，一定有y随x的增大而增大 C．0≤c≤3 D．若点C的坐标为（m，0），则点D的坐标为（m+2，0）【答案】D【解答】解：图象与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故选项A错误；∵抛物线开口向上，顶点的纵坐标为﹣1，且横坐标在﹣2与1之间，∴当对称轴在y轴右边、x＞0时，不是y随x的增大而增大，故选项B错误；∵顶点为（0，﹣1）时，c＝﹣1，故C错误；∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝，点C在点D的左侧，∴＝＝﹣1，∴c＝﹣1，∴抛物线y＝x2﹣bx+c为y＝x2﹣bx+﹣1，当y＝0时，x2﹣bx+﹣1＝0，解得x＝±1，∴点C的坐标为（﹣1，0），D（+1，0），若点C坐标为（m，0），则﹣1＝m．∴+1＝m+2，∴点D坐标为（m+2，0），故D正确．故选：D．二．填空题（共10小题）9．二次函数y＝（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2）．【答案】（﹣1，2）．【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2+2，∴该函数图象的顶点坐标为（﹣1，2），故答案为：（﹣1，2）．10．少年强，则国强、为增强青少年科技创新能力，我市将举行“青少年机器人大赛”，某校要从报名的甲、乙、丙三人中选取一人代表学校参赛，经过两轮初赛后，甲、乙、丙三人的平均成绩都是90分，方差分别是，，＝10.5，则派甲代表学校参赛比较合适．【答案】甲．【解答】解：∵，，＝10.5，∴S甲2＜S乙2＜S丙2，∴甲的成绩稳定，∴甲参加决赛比较合适，故答案为：甲．11．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．下图是其中的一个图形，六边形ABCDEF是⊙O的外切正六边形，现随机向该图形掷一枚小针，则针尖落在⊙O内的概率是．（结果不取近似值）．【答案】见试题解答内容【解答】解：设⊙O的半径为r，则正六边形的边长为，∴正六边形的面积为：6××r＝2r2，∴随机向该图形掷一枚小针，则针尖落在⊙O内的概率是＝，故答案为：．12．圆锥的底面半径是3cm，母线长10cm，则它的侧面积为30πcm2．【答案】30πcm2．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×10÷2＝30π（cm2）．故答案为：30πcm2．13．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2，若x1x2＝5，则k的值为2．【答案】2．【解答】解：根据题意得x1•x2＝k2+1，则k2+1＝5，解得k＝±2．∵x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根，∴Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，∴k，故答案为：2．14．计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数y＝x2（x+3）和y＝x+3的图象如图所示．根据图象可知方程x2（x+3）＝x+3的解的个数为3；若m，n分别满足方程x2（x+3）＝5和x+3＝5，则m，n的大小关系是m＜n．【答案】3；m＜n．【解答】解：由函数图象可知，函数y＝x2（x+3）和y＝x+3的图象有3个交点，所以方程x2（x+3）＝x+3的解的个数为3；作直线y＝5，如图，函数y＝x2（x+3）的图象与直线y＝5，y＝x+3的图象与直线y＝5的交点（2，5），则m＜n．故答案为：3；m＜n．15．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③BD＝DE；④若点G为BC的中点，则BG⊥GD，其中一定正确的序号是①②③④．【答案】①②③④【解答】解：①∵E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，故结论①正确；②如图，连接BE，CE，∵E是△ABC的内心，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝ACB，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，故结论②正确；③如图，连接BE，OB，OC，OD，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE，故结论③正确；④∵∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BD＝DC，OD⊥BC，∵点G为BC的中点，∴G一定在OD上，∴∠BGD＝90°，∴BG⊥GD，故结论④正确．综上所述，一定正确的结论为①②③④，故答案为：①②③④．16．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h（单位：m）与水流喷出时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是6s．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵h＝30t﹣5t2，∴当h＝0时，t＝0或t＝6，∴水流从喷出至回落到水池所需要的时间是：6﹣0＝6，故答案为：6．17．已知一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2＝5．【答案】5．【解答】解：∵x1+x2＝4，x1x2＝﹣1，∴x1+x2﹣x1x2＝4﹣（﹣1）＝5．故答案为：5．18．如图，AE＝AB，∠E＝∠B，EF＝BC，若∠EAB＝52°，则∠EFA＝64°．【答案】64°．【解答】解：在△AEF和△ABC中，，∴△AEF≌△ABC（SAS），∴AF＝AC，∠EFA＝∠C，∠EAF＝∠BAC，∴∠FAC＝∠EAB＝52°，∵AF＝AC，∴，∴∠EFA＝∠C＝64°，故答案为：64°．三．解答题（共10小题）19．解下列方程：（1）；（2）（x+3）（x﹣1）＝x﹣1．【答案】（1），；（2）x1＝1，x2＝﹣2．【解答】解：（1），，，，，解得：，；（2）（x+3）（x﹣1）＝x﹣1，（x+3）（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，（x﹣1）（x+3﹣1）＝0，（x﹣1）（x+2）＝0，x﹣1＝0或x+2＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣2．20．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．（2）证明：PA+PB＝PC．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）证明：在PC上截取PH＝PA，∵∠APC＝60°，∴△APH为等边三角形，∴AP＝AH，∠AHP＝60°，在△APB和△AHC中，，∴△APB≌△AHC（AAS）∴PB＝HC，∴PC＝PH+HC＝PA+PB．21．把y＝﹣x2的图象向上平移2个单位，向左平移1个单位．（1）求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；（2）画出图象；（3）求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．【答案】（1）解析式为y＝﹣（x+1）2+2，顶点坐标为（﹣1，2），对称轴为x＝﹣1；（2）见解析；（3）当x＝﹣1时，函数存在最大值，最大值为2．【解答】解：（1）平移后的抛物线对应的函数解析式为y＝﹣（x+1）2+2，其顶点坐标为（﹣1，2），对称轴为x＝﹣1．（2）列表：x•••﹣3﹣2﹣101•••y＝﹣（x+1）2+2•••﹣2121﹣2•••描点连线：（3）如图所示：当x＝﹣1时，函数存在最大值，最大值为2．22．阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．幸福中学七年级1班班主任为了解班级学生上周在家阅读时长（单位：小时）的情况，对全班40名学生进行问卷调查．所得的结果如图所示．（1）这40名学生上周阅读时间的众数为7小时，中位数为6.5小时；（2）求这40名学生上周在家阅读的平均时长？【答案】（1）7，6.5；（2）6.375小时．【解答】解：（1）∵40名学生中阅读时间为7小时的有15人，最多，∴众数为7小时；中位数为第20和21名学生阅读的平均数，即＝6.5小时，故答案为：7，6.5；（2）40名学生上周在家阅读的平均时长＝＝6.375小时．23．甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转．（1）请用树状图或列表法列出所有可能的结果；（2）若指针所指的两个数字都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则甲获胜；若指针所指的两个数字都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则乙获胜，问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）列表如下：12342（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（2）因为，方程x2﹣5x+6＝0的解是：x1＝2，x2＝3，所以，从上表中可看出，指针所指的两个数字有12种等可能的结果，其中两个数字都是方程x2﹣5x+6＝0的解有4次，两个数字都不是方程x2﹣5x+6＝0的解有2次，所以，P（甲胜）＝＝，P（乙胜）＝，所以，此游戏甲获胜的概率大．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+（m2﹣1）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x12+x22＝4，求m值．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+（m2﹣1）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴Δ＝4（m﹣1）2﹣4（m2﹣1）＞0，x1+x2＝2（m﹣1），x1•x2＝m2﹣1，∴m＜1，∵x12+x22＝4，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝4，即4（m﹣1）2﹣2（m2﹣1）＝4，解得m1＝+2（舍去），m2＝2﹣．综上所述，m的值是2﹣．25．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）如果AB＝10，CD＝6，求AE的长；【答案】（1）证明见解析过程；（2）．【解答】（1）证明：连接OC、BC，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，AO＝OB，∵AB⊥CD，∴AB平分弦CD，AB平分，∴CH＝HD，，∠CHA＝90°＝∠CHE，∴∠BAD＝∠BAC＝∠DCB，∵∠ECD＝2∠BAD，∴∠ECD＝2∠BAD＝2∠BCD，∵∠ECD＝∠ECB+∠BCD，∴∠BCE＝∠BCD，∴∠BCE＝∠BAC，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA，∴∠ECB＝∠OCA，∵∠ACB＝90°＝∠OCA+∠OCB，∴∠ECB+∠OCB＝90°，∴半径CO⊥FC，∴CF是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝10，CD＝6，在（1）的结论中有AO＝OB＝5，CH＝HD＝3，在Rt△OCH中，，同理利用勾股定理，可求得，，∴BH＝OB﹣OH＝5﹣4＝1，HA＝OA+OH＝4+5＝9，即HE＝BH+BE，在Rt△ECH中，EC2＝HC2+HE2＝32+（1+BE）2，∵CF是⊙O的切线，∴∠OCB＝90°，在Rt△ECO中，EC2＝OE2﹣OC2＝（OB+BE）2﹣52＝（5+BE）2﹣52，∴（5+BE）2﹣52＝32+（1+BE）2，解得：，∴．26．我市某公司用800万元购得某种产品的生产技术后，进一步投入资金1600万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价需要定在200元到300元之间较为合理．销售单价x（元）与年销售量y（万件）之间的变化可近似的看作是如下表所反应的一次函数：销售单价x（元）200230250年销售量y（万件）14119（1）请求出y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？【答案】（1）y＝﹣0.1x+34（200≤x≤300）；（2）盈利，盈利160万元．【解答】解：（1）设y＝kx+b，根据题意，得：，解得：，∴y＝﹣0.1x+34（200≤x≤300）；（2）盈利160万元，由题意可知，W＝（x﹣40）（﹣0.1x+34）＝﹣0.1x2+38x﹣1360，其对称轴x＝﹣＝190，∵200≤x≤300，a＝﹣0.1＜0，∴x＝200时，W取得最大值，最大值为2240万元，∴800+1600﹣2240＝160（万元），∴赚了160万元．27．党的二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，在数学中，我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点P满足到两坐标轴的距离之和等于4，则称点P为“高质量发展点”．（1）判断下列各点是否是“高质量发展点”，并说明理由：A（3，1），，C（﹣5，1）；（2）一次函数y＝﹣2x+3上是否存在“高质量发展点”，若存在，求出所有“高质量发展点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r．若⊙T上存在“高质量发展点”，求r的取值范围．【答案】（1）点A（3，1），是“高质量发展点”，点C（﹣5，1）不是“高质量发展点”；（2）一次函数y＝﹣2x+3上存在“高质量发展点”，坐标为或；（3）r的取值范围为．【解答】解：（1）∵|3|+|1|＝3+1＝4，，|﹣5|+|1|＝5+1＝6，∴点A（3，1），是“高质量发展点”，点C（﹣5，1）不是“高质量发展点”；（2）假设一次函数y＝﹣2x+3上存在“高质量发展点”，并设一次函数y＝﹣2x+3上存的“高质量发展点”的坐标为（a，﹣2a+3），根据题意得：|a|+|﹣2a+3|＝4，当时，﹣2a+3＜0，∴a﹣（﹣2a+3）＝4，∴，∴此时发展点的坐标为，当时，﹣2a+3≥0，∴a+（﹣2a+3）＝4，∴a＝﹣1，不满足，故舍去，当a＜0时，﹣2a+3＞0，∴﹣a+（﹣2a+3）＝4，∴，∴此时发展点的坐标为，∴综上所述，一次函数y＝﹣2x+3上存在“高质量发展点”，坐标为或；（3）设“高质量发展点”的坐标为（x，y），则|x|+|y|＝4，当x≥0，y≥0时，x+y＝4，即y＝﹣x+4（0≤x≤4），当x＜0，y≥0时，﹣x+y＝4，即y＝x+4（﹣4≤x＜0），当x＜0，y＜0时，﹣x﹣y＝4，即y＝﹣x﹣4（﹣4＜x＜0），当x≥0，y＜0时，x﹣y＝4，即y＝x﹣4（0≤x＜4），画出该函数图象，如图所示：，由图象可知OD＝OE＝OF＝OM＝4，OT＝1，∵∠DOE＝90°，∴△DOE为等腰直角三角形，∴∠ODE＝45°，当⊙T与DE相切时，此时⊙T的半径最小，作TN⊥DE交直线DE于N，此时r＝TN，∴∠TND＝90°，∵∠ODE＝45°，∴△TND是等腰直角三角形，∵T